Esquema Fatorial. Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina

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1 Esquema Fatorial Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 22 de junho de 2016

2 Muitos experimentos envolvem o estudo dos efeitos de dois ou mais fatores. Em geral, experimentos fatoriais são mais eficientes para este tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores. Cada subdivisão de um fator é denominada nível do fator e os tratamentos consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis. O tipo mais simples de experimento fatorial é o 2 2. Nesses experimentos são analisados dois fatores, em dois níveis.

3 Por exemplo: num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um antibiótico com 2 diferentes níveis de vitamina B12. Neste caso tem-se um fatorial 2 2, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 níveis (A 1 e A 2 ) e 2 níveis (V 1, V 2 ), respectivamente, e os 2 2 = 4 tratamentos são: A 1 V 1 A 1 V 2 A 2 V 1 A 2 V 2. Outro exemplo: num experimento fatorial 3 2 pode-se combinar 3 Doses de uma droga (D 1, D 2 e D 3 ), 2 Idades (I 1 e I 2 ) e tem-se 3 2 = 6 tratamentos, que resultam de todas as combinações possíveis dos níveis dos 3 fatores, ou seja, D 1 I 1 D 1 I 2 D 2 I 1 D 2 I 2 D 3 I 1 D 3 I 2

4 Em alguns experimentos, pode-se encontrar que a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma para os níveis de outros fatores. Quando isto ocorre, há uma interação entre os fatores. Obs.: Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental, e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em qualquer dos delineamentos experimentais.

5 Exemplo A Consideremos um experimento fatorial 2 2, com os fatores, Antibiótico (H) e Vitamina B12 (V) nos níveis: H 1 (sem antibiótico) e H 2 (com antibiótico); V 1 (sem Vitamina B12) e V 2 (com vitamina B12), adicionados a uma dieta básica e os seguintes resultados de ganho de peso (kg) para os 2 2 = 4 tratamentos: Fator H Fator B Vitamina B12 Totais Dose do antibiótico V 1 V 2 H H Totais

6 Exemplo B Consideremos um experimento fatorial 2 2, com os fatores, Antibiótico (H) e Vitamina B12 (V) nos níveis: H 1 (sem antibiótico) e H 2 (com antibiótico); V 1 (sem Vitamina B12) e V 2 (com vitamina B12), adicionados a uma dieta básica e os seguintes resultados de ganho de peso (kg) para os 2 2 = 4 tratamentos: Fator H Fator B Vitamina B12 Totais Dose do antibiótico V 1 V 2 H H Totais

7 (A) (B) Figura 1: Experimento fatorial sem interação (A) e experimento fatorial com interação (B).

8 As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos experimentos simples são: a) Pode-se estudar dois ou mais fatores num único experimento. b) Pode-se, por meio dos efeitos das interações, verificar se um fator é independente ou dependente do(s) outro(s). As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: a) O número de tratamentos ou combinações de níveis de fatores cresce, rapidamente, com o aumento do número de níveis, em cada fator, ou mesmo com o aumento do número de fatores. b) A interpretação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.

9 Experimento Fatorial com dois fatores Seja y ijk a resposta observada para o i-ésimo nível (i = 1, 2,..., a) do fator A e j-ésimo nível (j = 1, 2,..., b) do fator B, para a k-ésima repetição (k = 1, 2,..., n). Em geral, os dados serão apresentados na forma da Tabela 1. Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial. Fator B b 1 y 111, y 112,..., y 11n y 121, y 122,..., y 12n... y 1b1, y 1b2,..., y 1bn Fator A 2 y 211, y 212,..., y 21n y 221, y 222,..., y 22n... y 2b1, y 2b2,..., y 2bn..... a y a11, y a12,..., y a1n y a21, y a22,..., y a2n... y ab1, y ab2,..., y abn

10 Modelo estatístico As observações podem ser descritas pelo modelo estatístico linear: y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n em que µ é o efeito da média geral, τ i é o efeito do i-ésimo nível do fator linha A, β j é o efeito do j-ésimo nível do fator coluna B, (τβ) ij é o efeito da interação entre τ i e β j e ɛ ijk é o componente de erro aleatório.

11 No experimento fatorial com 2 fatores, deseja-se testar a significância de ambos os fatores. Há interesse em testar hipóteses sobre a igualdade dos efeitos de tratamentos nas linhas, isto é: H 0 : τ 1 = τ 2 =... τ a = 0 H 1 : Pelo menos um τ i 0 e a igualdade nos efeitos de tratamentos nas colunas, ou seja: H 0 : β 1 = β 2 =... β b = 0 H 1 : Pelo menos um β j 0 e, ainda, se há interação entre linhas e colunas: H 0 : (τβ) ij = 0 para todo i, j H 1 : Pelo menos um (τβ) ij 0

12 Tabeça da Análise de Variância Tabela 2: Análise de variância para um experimento fatorial com 2 fatores. C.V. S.Q. g.l. Q.M. F cal A SQ A a 1 QM A = SQ A a 1 B SQ B b 1 QM B = SQ A b 1 A B SQ A B (a 1)(b 1) QM A B = SQ A B (a 1)(b 1) F cal = QM A QM Res F cal = QM B QM Res F cal = QM A B QMRes Resíduo SQ Res ab(n 1) QM Res = SQ Res ab(n 1) Total SQ Total abn 1

13 Assim, tem-se: SQ Total = SQ A + SQ B + SQ A B }{{} +SQ Res, de forma que a soma de quadrados total, usualmente calculada, é dada por: SQ Total = a b n i=1 j=1 k=1 y 2 ijk ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn ) 2 (1) As somas de quadrados para os efeitos principais são: SQ A = SQ B = a i=1 b j=1 T 2 Ai bn T 2 Bj an ( a ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn ) 2 ) 2 (2) (3)

14 Para o cálculo da soma de quadrados da interação, SQ AxB, deve-se, inicialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B, denotada por SQ A,B. Logo, SQ A,B = a b i=1 j=1 T 2 AiBj n ( a ) 2 b n i=1 j=1 k=1 y ijk abn Esta soma de quadrados contém SQ A e SQ B. Portanto, a soma de quadrados da interação é: SQ AxB = SQ A,B SQ A SQ B, e, a soma de quadrados de resíduos, obtém pela diferença: SQ Res = SQ Total SQ A SQ B SQ AxB. Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do efeito conjunto é sempre igual à soma de quadrados de tratamentos.

15 EXEMPLO A Tabela a seguir apresenta os dados de uma análise de variância no esquema fatorial, em que a variável em consideração é a concentração de cálcio no sangue (mg/100 ml) em uma população de aves, e os dois fatores sendo testados simultaneamente são: tratamento hormonal e sexo. Trat. Hormonal (B) Sexo (A) T Ai Com Hormônio (B 1) Sem Hormônio (B 2) 39,1 16,5 26,2 18,4 Fêmeas (A 1) 21,3 12,7 237,0 35,8 14,0 40,2 12,8 32,0 14,5 23,8 11,0 Machos (A 2) 28,8 10,8 199,5 25,0 14,3 29,3 10,0 T Bj 301,5 135,0 Proceda a análise de variância considerando um nível de significância de 5%.