Experimentos Fatoriais

Transcrição

1 Experimentos Fatoriais Lucas Santana da Cunha 14 de março de 2019 Londrina

2 Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator;

3 Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator; Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;

4 Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator; Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse; Em geral, os experimentos fatoriais são mais eficientes para este tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou mais níveis.

5 O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento;

6 O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento; Os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental;

7 O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento; Os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental; Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos fatores.

8 Exemplo 1 Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um antibiótico com 2 diferentes níveis de vitamina B12. Neste caso tem-se um fatorial 2 2, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 níveis (A 1 e A 2 ) e 2 níveis (V 1, V 2 ), respectivamente, e os 2 2 = 4 tratamentos seriam: A 1 V 1 A 1 V 2 A 2 V 1 A 2 V 2.

9 Exemplo 2 Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma droga com 2 idades distintas. Neste caso tem-se um fatorial 3 2 pode-se combinar 3 Doses de uma droga (D 1, D 2 e D 3 ), 2 Idades (I 1 e I 2 ) e tem-se 3 2 = 6 tratamentos, que seriam: D 1 I 1 D 1 I 2 D 2 I 1 D 2 I 2 D 3 I 1 D 3 I 2

10 Tipos de efeitos avaliados Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;

11 Tipos de efeitos avaliados Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores; Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator.

12 Exemplo 1 Consideremos um experimento fatorial 2 2, com os fatores, Antibiótico (H) e Vitamina B12 (V) nos níveis: H 1 (sem antibiótico) e H 2 (com antibiótico); V 1 (sem vitamina B12) e V 2 (com vitamina B12), adicionados a uma dieta básica. Suponha os seguintes resultados de ganho de peso (kg), para os 2 2 = 4 tratamentos, nas seguintes situações:

13 Não há interação entre os fatores Fator H Fator B Vitamina B12 Dose do antibiótico V 1 V 2 Totais H H Totais

14 Há interação entre os fatores Fator H Fator B Vitamina B12 Dose do antibiótico V 1 V 2 Totais H H Totais

15 Vantagens As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos experimentos simples são: 1 Pode-se estudar dois ou mais fatores num único experimento. 2 Pode-se, por meio dos efeitos das interações, verificar se um fator é independente ou dependente do(s) outro(s).

16 Desvantagens As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: 1 O número de tratamentos ou combinações de níveis de fatores cresce, rapidamente, com o aumento do número de níveis, em cada fator, ou mesmo com o aumento do número de fatores. 2 A interpretação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.

17 Tabulação com dois fatores Seja y ijk a resposta observada para o i-ésimo nível (i = 1, 2,..., a) do fator A e j-ésimo nível (j = 1, 2,..., b) do fator B, para a k-ésima repetição (k = 1, 2,..., n). Em geral, os dados serão apresentados na forma da Tabela 1. Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial. Fator B b 1 y 111, y 112,..., y 11n y 121, y 122,..., y 12n... y 1b1, y 1b2,..., y 1bn Fator A 2 y 211, y 212,..., y 21n y 221, y 222,..., y 22n... y 2b1, y 2b2,..., y 2bn..... a y a11, y a12,..., y a1n y a21, y a22,..., y a2n... y ab1, y ab2,..., y abn

18 Modelo estatístico As observações podem ser descritas pelo modelo estatístico linear: em que y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n µ é o efeito da média geral; τ i é o efeito do i-ésimo nível do fator A; β j é o efeito do j-ésimo nível do fator B; (τβ) ij é o efeito da interação entre τ i e β j ; ɛ ijk é o componente de erro aleatório.

19 No experimento fatorial, em geral, deseja-se testar primeiramente a significância da interação entre os fatores. Isto é: H 0 : (τβ) ij = 0 para todo i, j H 1 : Pelo menos um (τβ) ij 0 Caso a interação não seja significativa, testa-se os efeitos principais: H 0 : τ 1 = τ 2 =... τ a = 0 H 1 : Pelo menos um τ i 0 H 0 : β 1 = β 2 =... β b = 0 H 1 : Pelo menos um β j 0

20 Do modelo estatístico y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n Tem-se que os estimadores de mínimos quadrados para µ, τ i, β j e (τβ) ij são ˆµ = ȳ; ˆτ i = ȳ i ȳ, i = 1, 2,..., a; ˆβ j = ȳ j ȳ, j = 1, 2,..., b; (τβ) ˆ ij = y ij ȳ i ȳ j ȳ, i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b

21 ANAVA Tabela 2: Análise de variância para um experimento fatorial com 2 fatores. C.V. G.L. S.Q. Q.M. F cal A a 1 SQ A QM A = SQ A a 1 B b 1 SQ B QM B = SQ A b 1 A B (a 1)(b 1) SQ A B QM A B = SQ A B (a 1)(b 1) F cal = QM A QM Res F cal = QM B QM Res F cal = QM A B QMRes Resíduo ab(n 1) SQ Res QM Res = SQ Res ab(n 1) Total abn 1 SQ Total

22 Soma de quadrados Assim, tem-se: SQ Total = SQ A + SQ B + SQ A B }{{} +SQ Res, de forma que a soma de quadrados total é dada por: SQ Total = a b n i=1 j=1 k=1 y 2 ijk ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn As somas de quadrados para os efeitos principais são: SQ A = SQ B = a i=1 b j=1 T 2 A i bn T 2 B j an ( a ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn ) 2 ) 2 ) 2

23 Para o cálculo da soma de quadrados da interação, SQ AxB, deve-se, inicialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B, denotada por SQ A,B. Logo, SQ A,B = a i=1 b j=1 T 2 AiBj n ( a ) 2 b n i=1 j=1 k=1 y ijk abn Esta soma de quadrados contém SQ A e SQ B. Portanto, a soma de quadrados da interação é: SQ AxB = SQ A,B SQ A SQ B, e, a soma de quadrados de resíduos, obtém pela diferença: SQ Res = SQ Total SQ A SQ B SQ AxB. Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do efeito conjunto é sempre igual à soma de quadrados de tratamentos.

24 Exemplo 1 Consideremos um experimento para avaliar três tipos de silagens e dois tipos de manejo à variação do ganho diário de peso para bovinos em confinamento. Para tanto, utilizou-se um esquema fatorial duplo, em um delineamento inteiramente casualizado, com três repetições. Os dados encontram-se abaixo: Tipos de Silagem Tipos de Manejo Milho Sorgo Polpa A B Ao nível de 1% de significância, pede-se: a) Há efeito da interação entre os fatores Manejo e Silagem no ganho médio de peso diário dos bovinos. b) Há efeito do fator principal Tipos de Silagem? Se sim, há um melhor tipo para o ganho médio do peso dos bovinos? c) Há efeito do fator principal Tipos de Manejo? Se sim, há um melhor tipo de manejo para o ganho médio do peso dos bovinos?

25 Interação Significativa Quando a hipótese H 0 para a interação entre os fatores é rejeitada, então dizemos que a interação é significativa.

26 Interação Significativa Quando a hipótese H 0 para a interação entre os fatores é rejeitada, então dizemos que a interação é significativa. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nível do outro fator.

27 Interação Significativa Quando a hipótese H 0 para a interação entre os fatores é rejeitada, então dizemos que a interação é significativa. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nível do outro fator. Assim, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não significativa.

28 O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação.

29 O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação. Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.

30 Desdobramento dos níveis de A dentro de cada nível de B, ou seja, estudar A/B Tabela 3: Análise de variância para o desdobramento do fator A dentro de cada nível de B. C.V. G.L. S.Q Q.M. F cal B b 1 SQ B QM B = SQ B b 1 A B 1 a 1 SQ A B1 QM A B1 = SQ A B 1 a 1 A B 2 a 1 SQ A B2 QM A B2 = SQ A B 2 a 1 F calc = QM B QM Res F cal = QM A B 1 QM Res F cal = QM A B 2 QM Res..... A B j a 1 SQ A Bj QM A Bj = SQ A Bj a 1 QM A Bj F cal = QM Res Resíduo ab(n 1) SQ Res QM Res = SQ Res ab(n 1) - Total SQ Total abn 1 - -

31 Desdobramento dos níveis de B dentro de cada nível de A, ou seja, estudar B/A Tabela 4: Análise de variância para o desdobramento do fator B dentro de cada nível de A. C.V. G.L. S.Q Q.M. F cal A a 1 SQ A QM A = SQ A a 1 B A 1 b 1 SQ B A1 QM B A1 = SQ B A 1 b 1 B A 2 b 1 SQ B A2 QM B A2 = SQ B A 2 b 1 F calc = QM A QM Res F cal = QM B A 1 QM Res F cal = QM B A 2 QM Res..... B A j b 1 SQ B Aj QM B Aj = SQ B Aj b 1 QM B Aj F cal = QM Res Resíduo ab(n 1) SQ Res QM Res = SQ Res ab(n 1) - Total SQ Total abn 1 - -

32 Exercício Foi realizada uma pesquisa para testar dois tipos de ambiente (com luz artificial e sem luz artificial no período da noite) e dois tipos de ração (com cálcio e sem cálcio). Para tanto foram utilizadas 24 poedeiras similares, escolhidas aleatoriamente. Ao final da avaliação foram obtidos os seguintes resultados (ovos/poedeira): Ambiente à noite Ração com luz artificial sem luz artificial Total com cálcio sem cálcio Total Ao nível de 5% de probabilidade e admitindo que se trata de um experimento instalado segundo o DIC, pede-se: a) Pode-se afirmar que o tipo de Ração e o tipo de Ambiente atuam independentemente na produção de ovos? b) Qual o melhor tipo de ração para o ambiente com luz artificial? Justifique sua resposta (use o teste Tukey, se necessário). c) Qual o melhor ambiente à noite para o tipo de ração sem cálcio? Justifique sua resposta (use o teste Tukey, se necessário).