COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

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1 ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA LUIZ DE QUEIROZ COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Josiane Rodrigues Lilian Emerick Fernandes 2009

2 INTRODUÇÃO Comparação entre médias de tratamentos ou dos níveis de um fator de tratamentos; Hipóteses: Teste F Necessidade de continuar a análise estatística dos dados;

3 Níveis do fator são quantitativos: análise de regressão; Níveis do fator são qualitativos: comparações múltiplas;

4 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS A técnica de comparações múltiplas permite testar hipóteses do tipo: onde: é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator, com i = 1,..., I; é o número de repetições referente ao i-ésimo nível do fator ou tratamento, podendo = J para todo i; é o coeficiente associado a ou negativos; Impondo a restrição de que denomina-se contraste., podendo assumir valores positivos, a função linear Y

5 Um estimador não tendencioso de Y é cuja estimativa é dada por tal que:

6 Como Sob a hipótese de que

7 Se é um contraste quando com cuja a estimativa é obtida através de:

8 MÉTODO DOS CONTRASTES ORTOGONAIS APLICAÇÃO DO TESTE F O método dos contrastes ortogonais consiste em: Definir um conjunto de (I -1) contrastes ortogonais, representados por Y(h), com h = 1,,(I -1). Obs.: Define-se que dois contrastes: e para

9 Decompor os (I - 1) graus de liberdade associado à SQTratamentos, em (I - 1) componentes com um grau de liberdade, referente a soma de quadrados devido a Y(h), representada por SQY(h), de tal forma que: onde:

10 Seja um estimador não viezado de, cuja estimativa é dada por: tal que e independentes. Se para todo i = 1,,I então:

11 E a soma dos quadrados para Y(h) é: como, então:

12 Este método permite testar as seguintes hipóteses: através da aplicação do teste F (Snedecor), da seguinte maneira: Assim, pelo teste F, rejeita-se H 0, ao nível α de significância, quando F h F (α,1,n) onde n é o número de graus de liberdade do resíduo.

13 Exemplo - teste F Os dados apresentados a seguir referem-se ao enchimento de latas por seis máquinas, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualisado. A B C D E F 11, ,16 12,25 12,1 12, ,11 12,15 12,3 12, ,25 12,30 12,08 12,1 12,02 12,69 12,10 12,5 12,1 12,25 12,02 12,33 Testemos o seguinte conjunto de contrates:

14 Que podem ser escritas da seguinte maneira: As suas estimativas são obtidas de: h 1-0,55 2-0,79 3-0,55 4-0,41 Hipóteses: 5-1,58 Temos que:

15 Assim: Análise de Variância com Aplicação de Contrastes Ortogonais para as Maquinas Causas de Variação h SQY(h) 1 0, , , , ,312 GL SQ QM F Y(1) 1 0,006 0,390 Y(2) 1 0,078 4,844 Y(3) 1 0,0189 1,174 Y(4) 1 0,021 1,304 Y(5) 1 0,312 19,379 Maquinas Resíduo 18 0,289 0,0161 Como não há evidências para aceitar e e concluindo-se que: De e de

16 APLICAÇÃO DO TESTE T Este método é recomendado, também, quando se deseja testar: para h = 1,,(I - 1). E, ainda, os contrastes de interesse devem ser ortogonais. Um estimador não tendencioso de é: e independentes.

17 Além disso: Para o caso de para todo i, então: A estatística do teste é: Que segue distribuição t de Student com n graus de liberdade.

18 Se, rejeita-se H 0, ao nível α de significância, e concluise que o valor obtido para é significativo.

19 Exemplo - teste T Consideremos o conjunto de contrastes do exemplo do teste F. Vamos testar as hipóteses: Pela aplicação do teste t: h Como, não há evidências para aceitar e e conclui-se que: De e de

20 MÉTODO DE SCHEFFÉ O Método de Scheffé, utilizado para testar contrastes, mesmo que estabelecidos a posteriori deve ser aplicado apenas nos casos em que o valor de F for significativo. É indicado para testar as hipóteses: Onde:

21 Um estimador não tendencioso de Y é: Onde é um estimador não tendencioso de e independentes. Temos que: Para o caso de para todo i, então:

22 Os intervalos de confiança para todos os contrastes Y, com coeficiente de confiança 100(1- α)%, são obtidos de: Quando para todo i, então: Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando

23 Exemplo - teste de Scheffé Um experimento completamente casualisado foi conduzido para investigar o efeito da vitamina b12 e antibióticos na alimentação de suínos. A resposta foi a média de ganho de peso diário. Antibióticos Sejam os contrastes e as hipóteses a serem testadas são: A tabela de análise de variância é: Vitamina B ,30 1,26 0 1,19 1,21 1,08 1,19 1,05 1, ,00 1,56 1,05 1,55 Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Antibiotico Vitamina Antibiotico:Vitamina Residuo

24 , Para o primeiro contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar, ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

25 Para o segundo contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para aceitar, ou seja, se identificou diferença entre o tratamento com antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

26 Para o terceiro contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar, ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico e sem vitamina com o tratamento com antibiótico e sem vitamina.

27 Portanto, a combinação do tratamento com antibiótico e do tratamento com vitamina foi o que produziu melhores resultados.

28 MÉTODO DE TUKEY I( I 1) É recomendado quando se deseja testar todos os contrastes 2 do tipo Y, para 1 i i' I, cujas hipóteses são: i i' H 0 : i i ' 0 ou H 0 : i i' H a : ' 0 i i ou Ha : i i' Considerando um estimador não tendencioso de, tal que e independentes, demostra-se que : 1 1 P[[( yi yi' ) q(,1, n) Vˆ( yi yi' )] i i' [( yi yi' ) q(,1, n) Vˆ( yi yi' )]] para os I( I 1) 2 contrastes.

29 Onde é a amplitude total estudentizada, encontrada na tabela de Tukey, com nível α de significância, I médias envolvidas e n graus de liberdade associado a Vˆ( ). y i y i' A diferença mínima significativa (DMS) obtida para o teste, ao nível α de significância é: Rejeita-se H 0, ao nível α de significância, quando Yˆ y i y i' DMS

30 Exemplo - Teste de Tukey Os dados apresentados a seguir referem-se a produção (Kg/100 m 2 ), de 4 variedades de milho, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento em blocos ao acaso. Fazendo a análise de variância: Causas de variação Variedade Blocos A B C D Totais I II III IV V Totais GL SQ QM F p-valor Blocos Variedades ,33 6, Resíduo Como p-valor é significativo a um nível de 5%, temos, pelo teste de Tukey:

31 Tratamento Média Fazendo a diferença entre as médias dos tratamentos vem que: Médias comparadas A 32 B 35 C 43 D 30 Assim, temos que as médias dos tratamentos A e D são significativamente diferentes da média do tratamento C a um nível de significância de 5%. Ou seja, a variedade C é a mais produtiva. Diferença entre as médias A-D 2 B-D 5 C-D 13 B-A 3 C-A 11 C-B 8

32 MÉTODO DE DUNCAN É indicado para testar qualquer contraste entre duas médias de tratamentos, ou seja: H H a 0 : i i ' 0 : ' 0 i i ou ou H Ha 0 : i i' : i i' Leva em consideração o número de médias ordenadas em ordem crescente ou decrescente e abrangidas pelo contraste, representado por k.

33 A diferença mínima significativa (D k ) obtida para o teste, ao nível α de significância é: onde é a amplitude total estudentizada, a nível de proteção α, para k médias abrangidas e n graus de liberdade associado ao QMResíduo, obtida nas tabelas do teste de Duncan. Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando Onde e são estimadores não tendenciosos de i e respectivamente, além de serem independentes. i '

34 Exemplo - teste de Duncan Consideremos os dados apresentados na tabela abaixo, para comparar o efeito de cinco drogas na diminuição da pressão arterial: A B C D E Controle Para fazer esse experimento um médico tomou 30 pacientes e dividiu-os ao acaso em seis grupos: o grupo controle recebeu um placebo e os outros grupos receberam, cada um, uma das drogas. Os valores apresentados na tabela são a diminuição da pressão arterial, dada pela diferença entre a pressão arterial no início e no fim do experimento.

35 Os dados da tabela foram submetidos à análise de variância: Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Tratamentos ,17 470,83 13, Resíduo ,00 36,00 Total ,17 Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância). A ordem dos tratamentos, segundo a grandeza das médias apresentadas é: Controle B C E A D (2) (8) (10) (13) (21) (29) Para comparar a média do controle com a média do tratamento D temos: D k 36 3,276 8,79 5 Como , então a média de D é significantemente maior que a média do controle ao nível de 5%.

36 Podem ser feitas agora as comparações entre controle e A, e entre B e D: D k 36 3,226 8,66 5 Como e , então a média de A é significantemente maior que a média do controle, e a média de D também é significantemente maior que a média de B. Podem ser testadas agora as diferenças de médias entre controle e E, entre B e A e entre C e D: D k 36 3,160 8,48 5 As diferenças de médias entre controle e E(11), entre B e A(13) e entre C e D(19) são todas significantes ao nível de 5%.

37 Podem ser então comparadas as médias de tratamentos correspondendo a intervalos que abrangem três médias. Nesse caso: As diferenças de médias entre controle e C(8), e entre B e E(5) não são significantes. Esses resultados são indicados sublinhando os respectivos intervalos: Controle B C E A D

38 As diferenças de médias entre C e A(11) e entre E e D(16) são significantes. Para comparar médias duas a duas calcula-se: D k 36 2,919 7,83 5 que pode ser utilizada para comparar E com A e A com D. As diferenças entre médias são, nos dois casos, iguais a 8, e são, portanto, significantes. O resultado final da aplicação do teste de Duncan é representado da seguinte maneira: Controle B C E A D

39 MÉTODO DE DUNNETT Este método é recomendado quando se deseja testar um contraste do tipo: c Y Onde: é a média populacional do tratamento testemunha ou controle e i é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator. As hipóteses são do tipo: c i H H 0 a : c i 0 : 0 c i Para i = 1,, p; sendo p o número de tratamentos excluindo o controle ou a testemunha.

40 Para a totalidade dos contrastes Y tem-se: P[[ Yˆ t ˆ ( ; p, n) Vˆ( Yˆ)] Y [ Y t( ; p, n) Vˆ( Yˆ)]] 1 Onde: sendo e estimadores não tendenciosos de e respectivamente, além de serem independentes. associadas a n graus de liberdade. Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando: onde é obtido nas tabelas do teste de Dunnett.

41 Exemplo - teste de Dunnett Suponhamos que queremos comparar, no mesmo exemplo do teste de Duncan, as médias dos tratamentos apenas com a média do controle. A análise de variância está, mais uma vez, apresentada na tabela abaixo: Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Tratamentos ,17 470,83 13, Resíduo ,00 36,00 Total ,17 Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância). As médias dos grupos tratados podem ser comparadas com a média do grupo controle através do teste de Dunnett. Para isso, temos que : t(, p, n) Vˆ( Yˆ) t(0.05,5,24) 2,70 10,25 5 5

42 As médias dos grupos tratados e a média do grupo controle estão apresentados na tabela abaixo: Fazendo os valores absolutos das diferenças entre as médias dos grupos tratados e a média do grupo controle: Controle e A: Controle e B: Controle e C: Controle e D: Controle e E: Tratamento Média A 21 B 8 C 10 D 29 E 13 Controle 2 Temos que as médias dos tratamentos A, D e E diferem, a um nível de significância de 5%, da média do grupo do controle. Assim, podemos concluir que os tratamentos A, D e E apresentaram, em média, resultados melhores que o do controle.

43 Bibliografia NOGUEIRA, M. C. S., Experimentação Agronômica I conceitos, planejamentos e análise estatística. Piracicaba. São Paulo PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental, Livraria Nobel. São Paulo. São Paulo VIEIRA, Sonia. Estatística Experimental.- 2ª ed. ATLAS São Paulo. São Paulo. 1999