Tópicos Extras 1ª parte. Testes Não Paramétricos, Análise Multivariada, Outras Técnicas

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1 Tópicos Extras 1ª parte Testes Não Paramétricos, Análise Multivariada, Outras Técnicas 1

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3 Técnicas de dependência 3

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5 Situações Comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados (em s) entre duas máquinas. Comparar 3 tipos de cimento em termos da resistência à compressão (em MPa) do concreto produzido. Comparar o tempo (em s) para abastecer caixas de cereais utilizando 3 máquinas diferentes. 5

6 Planejamento de Experimentos Experimentos: relações de causa e efeito. Unidades amostrais: o mais homogêneas possível. Tratamentos/fatores: aplicados às unidades experimentais de forma aleatória Observação da variável de resposta. Teste de hipóteses: avaliar significância. Mais de 2 grupos: ANOVA 6

7 ANOVA Y (quantitativa) = f (X 1, X 2,..., X p ) X 1, X 2,..., X p : qualitativas Pelo menos UMA das variáveis X i tem pelo menos 3 valores possíveis. 7

8 Situações ANOVA Simples: apenas um fator (g tratamentos) Unidades experimentais homogêneas, aplicação aleatória dos g tratamentos às unidades experimentais. ANOVA Simples em blocos: apenas um fator (g tratamentos) Unidades experimentais divididas em blocos, aplicação aleatória dos g tratamentos em todos os blocos. ANOVA com dois ou mais fatores. ANOVA com medidas repetidas (estudos longitudinais). 8

9 ANOVA - Suposições Observações independentes Resultado de amostragem probabilística OU Aleatorização em experimentos Variável normal nos g grupos. Variâncias populacionais SEMELHANTES nos g grupos. Preferencialmente: os g grupos com o mesmo tamanho de amostra. 9

10 Análise de Variância - ANOVA Grupos (tratamentos) Variância ENTRE os tratamentos D e n t r o y 11 y y 1n y 21 y y 2n... y g1 y g2... y gn 1 2 g y... y g y y

11 ANOVA 1 fator 1 fator apenas: g valores possíveis. Exemplos. Fator: configuração rede C1, C2, C3 (g = 3); variável resposta: tempo transmissão pacotes. Fator: concreto, tipos A, B, C (g = 3); variável resposta: resistência à compressão. Fator: máquina, I, II, III (g = 3); tempo de abastecimento de uma caixa de cereais. 11

12 Modelo da ANOVA 1 fator (tratamento) y ij i e i = 1, 2, 3 ij j = 1, 2,..., n Observação da Variável de resposta média global efeito do tratamento i erro aleatório i i = média do fator i

13 Hipóteses ANOVA 1 fator H 0 : 1 = 2 =...= g = 0 ou µ 1 = µ 2 =...= µ g H 1 : i 0 ou µ i µ j para algum i para algum par (i, j) y As observações Sob H 1 : Sob H 0 : ij i e ij y ij e ij

14 Tratamento Replicação g 1 y 11 y y g1 2 y 12 y y g n y 1n y 2n... y gn Soma y 1. y y g. y.. = y i. Média y 1 y 2... y g y.. = y i. i=1 Fonte Soma de quadrados Graus de liberdade Total SQ Total = y ij y.. Tratamentos (Entre) Erro (Dentro) g n i i=1 j=1 g SQ Tratamentos = n i y i y.. 2 i=1 g n i SQ Erros = y ij y i 2 i=1 j=1 2 g i=1 g i=1 g i=1 g n i 1 g 1 n i g

15 ANOVA 1 fator SQ Total = SQ Tratamentos + SQ Erro Se SQ Tratamento > SQ Erro => Pode existir diferença entre os tratamentos Significância estatística x Significância prática 15

16 ANOVA 1 fator QM Tratamento = SQ Tratamentos gl Tratamentos = g i=1 n i y i y.. 2 g 1 QM Erro = SQ Erro gl Erro = g n i i=1 j=1 g i=1 n i y ij y i 2 g g F gltratamento ;glerro = QM Tratamento QM Erro Valor-p associado valor p > => Aceitar H 0 valor p => Rejeitar H 0 16

17 Tabela ANOVA 1 fator Fonte de variação Soma de quadrados (SQ ou SS) Graus de liberdade (gl ou df) Quadrados médios (QM ou MS) F Valor-p F crítico Tratamentos SQ Trat g 1 QM Trat QM Trat QM Erro Valor-p Fc g Erro SQ Erro i=1 n i g g QM Erro Total SQ Total n i g 1 g i=1 17

18 Exemplo Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores controláveis. Quer-se testar as hipóteses: H 0 : os tempos esperados de transmissão são iguais para os três tipos de rede; e H 1 : os tempos esperados de transmissão não são todos iguais (depende do tipo de rede). 18

19 Exemplo Replicação Tipo de rede C1 C2 C3 1 7,2 7,8 6,3 2 9,3 8,2 6,0 3 8,7 7,1 5,3 4 8,9 8,6 5,1 5 7,6 8,7 6,2 6 7,2 8,2 5,2 7 8,8 7,1 7,2 8 8,0 7,8 6,8 Soma 65,7 63,5 48,1 Média 8,21 7,94 6,01 19

20 Exemplo Significância de 5%: valor-p << 0,05 => Rejeitar H 0. As médias dos tempos podem ser consideradas diferentes. 20

21 Resíduos O teste F é válido se os dados provém de distribuições normais com variância aproximadamente constante nos diferentes grupos. e y y (i = 1, 2,..., g; j = 1, 2,..., n) ˆij ij i. Gráfico de probabilidade normal para os resíduos. Diagramas de pontos dos resíduos por tratamento. 21

22 Replicação Tipo de Rede Tempo (s) C1 Resíduo C2 Resíduo C3 Resíduo 1 7,2-1,0125 7,8-0,1375 6,3 0, ,3 1,0875 8,2 0,2625 6,0-0, ,7 0,4875 7,1-0,8375 5,3-0, ,9 0,6875 8,6 0,6625 5,1-0, ,6-0,6125 8,7 0,7625 6,2 0, ,2-1,0125 8,2 0,2625 5,2-0, ,8 0,5875 7,1-0,8375 7,2 1, ,0-0,2125 7,8-0,1375 6,8 0,7875 Média 8,21-7,94-6,01-22

23 Probabilidade Esperada Exemplo 1,5 Resíduos x fator 1 1,0 0,9 0,8 Resíduos 0,5 0,0-0,5-1,0 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1-1,5 C1 C2 C3 Rede 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Probabilidade observada Análise dos diagramas: semelhança de variâncias, normalidade 23

24 Verificação de suposições Forma mais objetiva: Testes de aderência à normalidade dos dados originais ou dos resíduos. Teste de Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Liliefors Teste de igualdade de variâncias Teste de Levene, Teste de Bartlett. 24

25 Testes de Aderência H 0 : dados seguem a distribuição teórica H 1 : dados NÃO seguem a distribuição teórica Calcular frequências acumuladas observadas e esperadas (sob uma determinada distribuição). Calcular diferenças entre as frequências acumuladas em cada valor medido. Encontrar a diferença máxima. Comparar a diferença máxima com um valor máximo admissível (para n e ). 25

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27 Teste de igualdade de variâncias Para i variando de 1 a g: de Levene H 0 : as variâncias nos grupos são semelhantes - Homocedasticidade H 1 : as variâncias nos grupos são diferentes - Heterocedasticidade Calcular Z ij = y ij y i (y i = Md) Calcular Z i. = Calcular Z.. = n i Z j=1 ij n i g n i i=1 Z j=1 ij g i=1 n i 27

28 Teste de igualdade de variâncias de Levene W = g i=1 n i g g 1 i=1 n i Z i. Z.. g n i 2 Z ij Z i. i=1 j=1 2 W segue distribuição F com g 1 e g i=1 n i g graus de liberdade 28

29 Exemplo Para 5% de significância: Valor-p = 0,4711 > 0,05 => ACEITA-SE H 0 Não há prova estatística de diferença entre as variâncias 29

30 Estimativas das médias por tratamento Intervalo de confiança para a média de cada tratamento i: IC(μ i, 1 α) = y i. ± t QM erro n i t com g (n i 1) graus de liberdade Ou intervalo de confiança para a diferença entre as médias. 30

31 Exemplo 9,5 9,0 Tempo de transmissão 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 C1 C2 C3 Rede 31

32 Comparações múltiplas Usar o teste t para comparação das médias duas a duas. Procedimento inadequado... Quanto maior o número de comparações, maior a probabilidade de obter rejeições de H 0 (médias iguais) meramente por acaso. Soluções alternativas: Método de Tukey-Kramer (todos os grupos com o mesmo número de replicações). Método de Scheffé (grupos podem ter número diferente de replicações). 32

33 Estimativa da DIFERENÇA entre médias. 33

34 95% family-wise confidence level C2 - C1 ( ) C3 - C1 ( ) C3 - C2 ( ) Linear Function 34

35 Outros delineamentos Experimentos fatoriais (2 ou mais fatores). Experimentos fatoriais 2k. Experimentos fatoriais fracionados: para maior número de fatores. Desprezar as interações de maior ordem. Métodos de superfície de resposta (Response Surface Methods): para otimização da variável de resposta. 35