Teste de Cochran (Homogeneidade de Variância)

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1 ara o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene. Teste de Cochran (Homogeneidade de Variância) O teste de Cochran compara a maior variância com as demais. Para aplicarmos o teste de Cochran, vamos assumir que o experimento é balanceado e seguir as seguintes etapas: Etapa 1 - Calcular a Estatística em que k: representa o número de níveis do fator; s 2 i: representa a variância amostral. n: representa o número de medidas em cada nível do fator. Etapa 2 - Comparar com valor tabelado. Exemplo : Um laboratório de metrologia contratou um novo metrologista que passou por diversos treinamentos para integrar a equipe. Antes de liberarmos o metrologista para realizar o procedimento de calibração, realizamos um

2 teste para comparar a variabilidade das medições do metrologista novato com os demais metrologistas do laboratório. Em um experimento completamente aleatorizado, um bloco padrão de 50mm foi medido 5 vezes por cada metrologista. As medições estão na tabela a seguir. Metrologistas João Novato Moacir Roberto Medida 1 50, ,007 50, ,0073 Medida 2 50, , , ,0074 Medida 3 50, , , ,0073 Medida 4 50, , , ,0072 Medida 5 50, , , ,0072 Média 50, , , ,00728 Desvio Padrão 0, , , , Variância 0, , , , Neste caso, temos como objetivo comparar a variabilidade encontrada entre os diversos metrologistas. Observamos que. Logo (Tabela C, para de significância) =0,629. Portanto, como, a variância do metrologista Novato não é homogênea em relação a dos demais metrologistas. Número Tamanho do grupo (réplicas)

3 de Grupos ,975 0,939 0,906 0, ,967 0,871 0,798 0,746 0, ,906 0,768 0,684 0,629 0,69 5 0,841 0,684 0,598 0,544 0, ,781 0,616 0,532 0,48 0, ,727 0,561 0,48 0,431 0, ,68 0,516 0,438 0,391 0,3 Tabela C: Valor tabelado para nível de significância 5%. Teste de Bartlett A estatística do teste proposta por Bartlett é dada por em que

4 Sob (igualdade das variâncias) sabemos que tem distribuição assintótica qui-quadrado com graus de liberdade. Desta forma, rejeitamos se no qual representa o quantil da distribuição qui-quadrado com (k-1) graus de liberdade. Além disso, o P-valor é calculado por > O teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se rejeitarmos a hipótese de normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por Levene. Porém, se a hipótese de normalidade não for violada, o teste proposto por Bartlett tem um comportamento melhor que o teste proposto por Levene. Exemplo : Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1. Fator Resistencia_da_Fibra

5 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo As variâncias amostrais são

6 Então, temos que Logo,

7 Temos também que Então, a estatística do teste Como são iguais., não rejeitamos a hipótese de que todas as variância O p-valor para o teste de Bartlett é Conclusão: Como o p-valor está acima de 5% não rejeitamos a hipótese. Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

8 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

9 Teste de Levene Este procedimento consiste em fazer uma transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o teste da ANOVA. Levene (1960) propôs a seguinte transformação: onde : representa os dados após transformação; : representa os dados originais; e : representa a média do nível, para os dados originais. Uma transformação (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown (1974), é substituir a média do nível pela mediana. Para obter a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de dados for ímpar, a mediana será o dado central. Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética dos dois dados centrais. Com isso, a expressão a seguir é substituída por em que : representa os dados após transformação; : representa os dados originais; e : representa a mediana do nível, para os dados originais. Com isso, temos a seguinte estatística:

10 em que, e Após a transformação dos dados originais pela expressão ( ), aplicamos o teste da ANOVA. Se a estatística F for significativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias. Teste de Levene para os dados do Exemplo 1. Usando a expressão ( ), obtemos a seguinte tabela, com os dados transformados. Algodão % Resistência da Fibra Tabela: Dados transformados para a resistência da fibra. Fator Resistência da

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12 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo A soma de quadrados é dada por: Conclusão: Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias. Resultados desse exemplo obtidos com o software Action: Tabela: Análise de Variância para os dados transformados.

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