CAPÍTULO 4 DESCRIÇÃO E EXPLORAÇÃO DOS DADOS 2ª parte

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1 CAPÍTULO 4 DESCRIÇÃO E EXPLORAÇÃO DOS DADOS 2ª parte

2 4.3 Medidas de posição 4.4 Medidas de dispersão 4.5 Separatrizes Prof. franke 2

3 Vimos que a informação contida num conjunto de dados pode ser resumida na forma de tabelas e gráficos. Frequentemente, entretanto, necessitamos de um índice que expresse certa propriedade dos dados. ESTATÍSTICAS: As Estatísticas são índices numéricos que representam propriedades específicas das variáveis. A primeira propriedade de uma variável em que normalmente estamos interessados refere-se a posições específicas na distribuição desta variável. Qual o significado dos valores de x 1 e x 2 na distribuição? x 1 x 2 Prof. franke 3

4 Existem três medidas básicas que refletem a posição da estatística numa distribuição de frequências: Média (aritmética, ponderada, geométrica, harmônica) Moda Mediana Média Aritmética É a medida de posição mais utilizada. Indica uma posição central nos dados. É a soma de todos os casos dividida por seu número total. onde: = média aritmética para amostra e para população = representa cada uma das observações disponíveis na amostra n = número de amostras. Obs.: a média é afetada por valores extremos. Prof. franke 4

5 A média aritmética nem sempre está no CENTRO Exemplo: Considere as notas finais, relativas aos alunos de três turmas. Turma Notas dos alunos Média da turma A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8? B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10? C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5? Figura 1 Representação das distribuições das notas de três turmas e posições das médias aritméticas. Adaptado de BARBETTA et al., Prof. franke 5

6 Média aritmética ponderada: A forma de calcular de uma média ponderada é multiplicar cada valor pelo seu respectivo peso, somar todas as parcelas e dividir o resultado dessa soma pelo total dos pesos atribuídos. Exemplo: Cálculo de média pondera de um aluno que obteve as seguintes notas Nota (x i ) Peso (p i ) Produto (x i.p i ) Total = 6 = 36 Prof. franke 6

7 Experimente fazer: São dadas as notas de cinco alunos, em três provas que tinham pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Calcule as médias ponderadas. Aluno 1ª prova 2ª prova 3ª prova Média ponderada Ana Cláudia Marcos Pedro Sérgio Quem terá a maior e quem terá a menor média ponderada? Prof. franke 7

8 Experimente fazer: São dadas as notas de cinco alunos, em três provas que tinham pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Calcule as médias ponderadas. Aluno 1ª prova 2ª prova 3ª prova Média ponderada Ana ,70 Cláudia ,30 Marcos ,00 Pedro ,00 Sérgio ,60 Quem terá a maior e quem terá a menor média ponderada? Ana! Prof. franke 8

9 Media Harmônica Retrata a harmonia entre os dados Exercício exemplo: 2, 3, 5, Media geométrica x h = 4 ( ) = É obtida pela raiz n do produto dos n valores disponíveis 4 1,1333 = 3,529 É utilizada em administração e economia, para determinar taxas de crescimento em certo período Exercício: 2, 3, 5, 10. Prof. franke 9

10 Exemplo: Cálculo da média de dados apresentados (agrupados) em tabelas de distribuição de frequências. Exemplo das árvores Diâmetro (cm) Ponto médio da classe x i Frequência absoluta (f i ) Total - 80 Parciais da média Prof. franke 10

11 Exemplo: Cálculo da média de dados apresentados (agrupados) em tabelas de distribuição de frequências. Exemplo das árvores Diâmetro (cm) Ponto médio da classe x i Frequência absoluta (f i ) Parciais da média , , , , , , , ,0 Total ,0 x = 60,5125 Prof. franke 11

12 Mediana É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Se o número de observações for impar, a mediana será o valor central da distribuição; se o número for par, a mediana será a média dos dois valores centrais. Tem a vantagem de não ser afetada pelos valores extremos. Por ser insensível à presença de valores aberrantes, a mediana é considerada um estimador robusto. Exercício: 7,0; 8,5; 5,0; 8,0; 5,5; 10,0 Ordenando: 5,0; 5,5; 7,0; 8,0; 8,5; 10,0 A mediana é uma separatriz porque separa o conjunto de dados em dois: O que antecede a mediana; O que sucede a mediana. Prof. franke 12

13 4.3.6 Moda É o valor que ocorre com mais frequência em uma amostra A = {2, 4, 7, 12, 23, 8, 11, 4, 12, 22, 7, 12, 9, 10} Comparação entre média, mediana e moda: Quando se comparam medidas de posição (tendência central) devemos lembrar: A média aritmética é o centro de gravidade do conjunto de dados; A mediana é o valor que ocupa a posição central de um conjuntos de dados ordenados; A moda é o valor mais frequente. Prof. franke 13

14 As medidas de dispersão referem-se a maior ou menor variabilidade de um conjunto de dados em torno da média. Permite identificar até que ponto os resultados se concentram ao redor da centro de um conjunto de observações. Existem várias medidas para avaliar a dispersão de um conjunto de dados: 1. Amplitude 2. Variância 3. Desvio Padrão 4. Coeficiente de Variação 5. Assimetria 6. Curtose 7. Erro padrão da média Prof. franke 14

15 4.4.1 Amplitude É a diferença entre o maior e menor valor presente nos dados amostrais O seu conhecimento é importante quando se faz a representação gráfica dos dados, pois esta só deve conter valores entre o máximo e mínimo observado Variância Mede a dispersão dos dados em torno da média. A dispersão dos dados em torno da média é medida pelos desvios em relação à média. Desvios em relação à media é a diferença entre cada valor observado e a média do conjunto. Ou seja, variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno da média aritmética. = variância da população = variância da amostra Prof. franke 15

16 Exemplo: Calcule a variância do ph em cinco amostras de água. Amostras ph 1 1,6 2 1,7 3 1,7 4 1,5 5 1,6 Soma 8,1 = 1,62 Amostras ph Desvios 1 1,6-0,02 2 1,7 0,08 3 1,7 0,08 4 1,5-0,12 5 1,6-0,02 Soma 8,1 0,00 Amostras ph Desvios Desvios 1 1,6-0,02 0, ,7 0,08 0, ,7 0,08 0, ,5-0,12 0, ,6-0,02 0,0004 Soma 8,1 0,00 0,028 Prof. franke 16

17 Prof. franke 17

18 Desvio Padrão É a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância Desvio padrão da Amostra S = desvio padrão Desvio padrão da população = desvio padrão Prof. franke 18

19 4.4.4 Coeficiente de Variação ou coeficiente de variabilidade (CV) O Coeficiente de variação (CV) é o desvio padrão expresso como percentagem da média. É utilizado para comparar grandezas de unidades iguais ou diferentes, quando os grupos são essencialmente diferentes. Onde: CV =coeficiente de variação S = variância da amostra = media da amostra Interpretação para o CV: CV até 15% - variação pequena CV entre 15 e 30% - variação média CV superior a 30% - variação grande Prof. franke 19

20 Exemplo de medidas descritivas: Tabela 2 Medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas Tur ma Notas dos alunos A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão Tabela 2 Medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas CV (%) Tur ma Notas dos alunos Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 8 6,0 6,0 1,71 1,31 21,8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; ,0 6,0 6,0 12,29 3,51 58,5 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 7 6,0 7,0 7,0 7,25 2,69 44,8 CV (%) Prof. franke 20

21 Exemplo de medidas descritivas: Tabela 2 medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas Tur ma Notas dos alunos Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 8 6,0 6,0 1,71 1,31 21,8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; ,0 6,0 6,0 12,29 3,51 58,5 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 7 6,0 7,0 7,0 7,25 2,69 44,8 CV (%) Figura 1 Representação das distribuições das notas de três turmas e posições das médias aritméticas. Adaptado de BARBETTA et al., Prof. franke 21

22 Assimetria Indica o grau de desvio de uma curva no sentido horizontal, podendo esse desvio ser positivo, com excesso de valores altos, ou negativo, com predomínio de valores baixos em relação a uma curva da distribuição normal. Prof. franke 22

23 Curtose É o grau de achatamento de uma curva em relação a uma curva representativa da distribuição normal Prof. franke 23

24 Erro padrão da média Dá uma ideia da precisão da estimativa da média A estimativa para a média se torna mais precisa (intervalo menor) com o aumento da quantidade de observações (n). Prof. franke 24

25 4.4.1 Extremos Quando se tem interesse em conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de valores, além de um valor central ou valor típico, podemos recorrer a medidas como: mediana, extremos e quartil. Chamamos de extremo inferior ao menor valor do conjunto de valores e extremo superior ao maior valor. Obs.: Mesmo para variáveis que supostamente tenham distribuição razoavelmente simétricas, a média e a mediana podem não ser iguais, já que, em geral, estamos analisando apenas alguns valores dessas variáveis. Para variáveis com distribuições razoavelmente simétricas, a média é a medida de posição central mais adequada, porque usa o máximo da informação contida nos dados. A média é calculada usando propriamente a magnitude dos valores, enquanto a mediana utiliza somente a ordenação dos valores. Prof. franke 25

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27 4.5.2 Quartis São medidas que dividem a série de valores da amostra em quatro frequências iguais de 25% cada. São eles: Q 1 1º quartil (quartil inferior) que delimita os 25% menores valores Q 2-2º quartil (mediana) separa os 50% menores dos 50% maiores valores Q 3-3º quartil (quartil superior) que separa os 25% maiores valores Com os dados ordenados crescentemente, temos: Posição de Q i : Posição de m d : Posição de Q s : Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 27

28 Exemplo: Dados brutos: 15, 18, 5, 7, 9, 11, 3, 5, 6, 8, 12 Ordenando: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 18 n = 11 Posição de Q i : Q i = 5 Posição de m d : m d = 8 Posição de Q s : Q s = 12 Prof. franke 28

29 Série original Total Ano (mm) Prof. franke Moda = 1673 e 1944 mm Série ordenada Total Ano (mm) Qi Qs Distância interquartílica 29

30 Prof. franke 30

31 Série original Série ordenada Total Ano (mm) Orde m Ano Total (mm) Prof. franke Moda = 1673 e 1944 mm 31

32 Figura 5 Posição dos quartis e extremos em distribuições diferentes quanto à dispersão e assimetria. Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 32

33 4.5.2 Diagrama de caixas (Box plot) Trata-se de um retângulo que representa o desvio interquartílico. Este retângulo representa, portanto, a faixa dos 50% dos valores mais típicos da distribuição Ele é dividido no valor correspondente à mediana; assim, indica o quartil inferior, a mediana e o quartil superior Prof. franke 33

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35 O coeficiente de Gini é um dos principais índices de desigualdade utilizados. O Gini é uma medida de desigualdade desenvolvida pelo estatístico italiano Corrado Gini e publicada no documento Variabilità e Mutabilità em Esse índice é comumente utilizado para calcular a desigualdade de distribuição de renda, mas pode ser usada também para qualquer distribuição, como concentração de terra, riqueza entre outras. Ele consiste em um número entre 0 e 1, onde: Índice 0 (zero) corresponde à completa igualdade de renda (onde todos têm a mesma renda), e; Índice 1 (um) corresponde à completa desigualdade (onde uma pessoa tem toda a renda, e as demais nada têm). A construção do coeficiente de Gini é baseado na Curva de Lorenz. Prof. franke 35

36 4.6.1 Definição da Curva de Lorenz É uma curva que mostra como a proporção acumulada da renda (q i ) varia em função da proporção acumulada da população ( i ), estando os indivíduos ordenados pelos valores crescentes da renda. Como a diagonal principal divide o quadrado em partes iguais, qualquer ponto nessa reta é um ponto em que os valores da abscissa e ordenada são iguais. Prof. franke 36

37 4.6.2 Coeficiente de Gini Para calcular o índice de Gini usa-se frequentemente a equação de Brown Onde: X = proporção acumulada da população Y= proporção acumulada da renda Para facilitar os cálculos pode-se usar uma forma equivalente, usando distribuição de frequências Onde: Q i = proporção de renda e P i = proporção da população Prof. franke 37

38 Exemplo: Calcule o índice de Gini para a distribuição dos salários mensais dos trabalhadores de uma empresa. Pessoa Salário Pessoa Salário Pessoa Salário Parâmetros da tabela freq n =43 Máximo=5000 Mínimo=100 Amplitude=4900 n. classes=7 Intervalo classses =700 Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 38

39 Procedimento para cálculo do IGini (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Faixas de salários (R$) [100;800) [800;1500) [1500;2200) [2200; 2900) [2900;3600) [3600; 4300) [4300;5000] Ponto médio Frequência, pessoas (f i ) Frequência acumulada (fa) P. Médio X frequência (6) = Acumulado da coluna (5) (7) = proporção do acumulado da população: quociente entre coluna (4) por (n) 43 (8) = proporção do acumulado da renda: quociente da coluna (6) por (54.350) (9) = Subtração da coluna (7) pela coluna (8) Acumulado P Q P-Q ,53 0,72 0,77 0,88 0,95 0,98 1,00 0,19 0,36 0,43 0,66 0,84 0,91 1,00 0,34 0,36 0,34 0,22 0,11 0,07 0,00 Soma ,83 1,44 Prof. franke 39

40 Frequência de trabalhadores Classes de salários (R$) Figura 4 Histograma de frequência do exemplo dos trabalhadores de uma empresa Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 40

41 Porcentagem de salários (Q) Como faz a curva de Lorenz no Excel 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Porcentagem da população (P) Figura 5 Curva de Lorenz para o exemplo dos trabalhadores da empresa. Prof. franke 41

42 Tabela de classificação do Índice de Gini. Prof. franke 42

43 Figura 6 - Coeficiente de Gini para a renda dos brasileiro, no período de 1977 a 2008 Fonte: IBGE, Prof. franke 43

44 Índice de gini 0,700 0,650 0,600 0,550 0,500 0,450 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,622 0,604 0,593 0,582 0,589 0,594 0,588 0,596 0,587 0,599 0,615 0,634 0,612 desigualdade de renda no Brasil 0,602 0,5990,6000,6000,598 0,592 0,593 0,580 0,587 0,581 0,569 0,5660,5590,552 0,544 0, Figura 6 - Coeficiente de Gini para a renda dos brasileiro, no período de 1977 a 2008 Fonte: IBGE, Anos Prof. franke 44

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