Prof. Francisco Crisóstomo

Transcrição

1 Unidade II ESTATÍSTICA BÁSICA Prof. Francisco Crisóstomo

2 Unidade II Medidas de posição Medidas de posição Tem como característica definir um valor que representa um conjunto de valores (rol), ou seja, os valores de um rol representado por um único valor. Essa medida que representa a posição de todos elementos é de fundamental importância se utilizada corretamente para interpretações analíticas (cálculos)

3 Unidade II Medidas de posição Medidas de posição As medidas de posição analisadas: Média aritmética Média aritmética ponderada Média geométrica Média harmônica Média dados agrupados

4 Unidade II Média aritmética Média aritmética Valor igual a soma de uma lista de valores dividida pelo número de valores. A média de variáveis aleatórias é o valor médio que resultaria se observássemos a variável muitas vezes (n vezes), mas de forma simbolizada: a) média da população (μ). b) média da amostra ( x ).

5 Unidade II Média aritmética Média aritmética Fórmula da média aritmética x i=1 Média ( x )= = n x n n

6 Unidade II Média aritmética Média aritmética Exemplo: { 4, 4, 5, 6, 6,6} Média ( x ) = Média ( x ) = Média ( x ) = 5,166

7 Unidade II Média ponderada Média ponderada Resultado igual a soma de uma lista de valores, multiplicado pelas freqüências, dividida pelo número de frequências. A média de uma variável aleatória é o valor médio que resultaria se observássemos a variável muitas vezes (mesmo que esperança).

8 Unidade II Média ponderada Média ponderada A média ponderada é o resultado de um conjunto de elementos multiplicados por suas frequências e divididos pelo total das frequências e simbolizada: a) média da população (μ) b) média da amostra ( x ). (f x) Média ( x ) = n

9 Unidade II Média ponderada Média ponderada Exemplo: { 4, 4, 5, 6, 6,6} (2 4) + (5) + (3 6) Média ( x ) = (8) + (5) + ( 18) Média ( x ) = ( x ) = ( x ) = 5,166 6

10 Unidade II Média geométrica Média geométrica Valor igual a raiz n, do produto de uma relação de valores. Os elementos de um ROL (valores numéricos) que serão analisados deverão ser multiplicados seqüencialmente. Após obter o produto total, deve-se extrair a raiz n (número de elementos) do produto obtido.

11 Média geométrica Média geométrica A média geométrica exige a extração da raiz n do produto dos elemento (dados) analisados. Observamos que a raiz pode ser extraída: 25 = 25 ½ Mg = n X 1 X 2 X 3... X n

12 Média geométrica Média geométrica Exemplo: { 4, 4, 5, 6, 6,6} 6 Mg = Mg = Mg = 5,084

13 Interatividade Obter a média ponderada com os dados relacionados { 5, 5, 6, 6,6, 7}: a) x = 5,273 b) x = 5,833 c) x = 6,273 d) x = 4,273 e) x = 5,033

14 Unidade II Média harmônica Média harmônica Valor igual ao total de elementos dividido pela soma dos inversos de cada um dos elementos analisados. O inverso representa inverter o valor do mesmo trocando o numerador pelo denominador do número analisado e que pertence ao conjunto dos elementos. Exemplo: 2 e o inverso 1 / 2

15 Unidade II Média harmônica Média de dados agrupados (Mh) Exemplo: { 4, 4, 5, 6, 6,6} 6 Mh = /4 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/6 + 1/6 6 Mh = ,25+0,25+0,20 +0,167+0,167+0,167 6 Mh = Mh = 5,008 1,198

16 Unidade II Média de grupos Média de dados agrupados Valor representado por uma medida de posição onde são considerados os valores das classes e suas respectivas freqüências, onde: Mda = Média dados agrupados ou média de grupos ou classes.

17 Unidade II Média de grupos Média de dados agrupados A = Ponto médio da classe de maior freqüência f (i) = Somatório dos valores referencial (i) utilizados de equilíbrio. n = número total de elementos do Rol Ic = Intervalo de classe f (i) Média de grupos ( Mda ) = A Ic n

18 Unidade II Média de grupos Média de dados agrupados Exemplo: A= 153,80 f(i) = 2 n= 20 Ic = 13,92 2 Mda = 153, x 13,92 20 Mda = 153,80 + 0,10 13,92 Mda = 153,80 + 1,392 Mda = 155,192

19 Unidade II Mediana Mediana Mediana (Md) de um conjunto de valores, ordenados em ordem de grandeza ( rol ), é o valor médio ou a média aritmética dos dois valores centrais. Exemplos: a) {2, 5,5,6,7,8,9} Mo = 6 b) { 5,5,6,7,9,9} Mo = (6+7) / 2 = 6,5

20 Unidade II Mediana Mediana interpolação Mediana dados agrupados (classes), é obtida através da interpolação dos dados das classes e as freqüências e fornece um valor estimado da mediana (Md). N/ 2 - ( f ) 1 Mediana (Md)= L ic f mediana

21 Unidade II Mediana Mediana interpolação Elementos para cálculo da mediana: L 1 = Limite inferior real da classe mediana (classe que contém a mediana) N = Número de itens dos dados (freqüência total) ( f ) 1 = Soma de todas as freqüências das Classes inferiores à mediana f mediana = Freqüência da classe mediana ic = Intervalo da classe

22 Interatividade Calcular a média de dados agrupados de um ROL de 20 elementos e os valores apresentados: A= 153,80 f(i) =3 Ic = 13,92 a) Xda = 155,073 b) Xda = 155,133 c) Xda = 155,888 d) Xda = 154,273 e) Xda = 155,233

23 Unidade II - Moda Moda A moda representa o(s) elemento(s) que apresentam a maior freqüência num rol, ou seja, o(s) elemento(s) que aparecem maior número de vezes. O símbolo da moda é Mo. Exemplo: { 2,5,5,6,7,8,9} Mo = 5 { 2,5,5,6,7,9,9} Mo = 5 e 9 { 2,3,5,6,7,8,9} Mo = Todos e nenhum

24 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados Interpolação: A moda dados agrupados (classes), é obtida através da interpolação dos dados das classes e as freqüências e fornece um valor estimado da moda. Δ 1 Moda (Mo) = L ic Δ 1 + Δ 2

25 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados Elementos para cálculo da moda: L 1 = Limite inferior real da classe modal (classe que contém a moda). Δ 1 = Excesso da freqüência modal sobre a classe imediatamente inferior Δ 2 = Excesso da freqüência modal sobre a classe imediatamente superior ic = Intervalo da classe modal

26 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados Interpolação: A moda dados agrupados (classes), é obtida através da interpolação dos dados das classes e as freqüências e fornece um valor estimado da moda. Exemplo:

27 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados Interpolação: A moda dados agrupados (classes), é obtida através da interpolação dos dados das classes e as freqüências e fornece um valor estimado da moda. Δ 1 Moda (Mo) = L ic Δ 1 + Δ 2

28 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados Exemplo: L 1 = 146,84 Δ 1 = 7-4 ic = 13,92 Δ 2 = , , , , , , , , , ,60 3

29 Unidade II - Moda Interpolação Moda dados agrupados 3 (Mo) = 146, , (Mo) = 146,84 + 0,5 13,92 (Mo) = 146,84 + 6,96 (Mo) = 153,80

30 Unidade II - Medida dispersão Medida de dispersão O desvio padrão representa o grau de espalhamento de uma distribuição, ou seja, caracteriza como os dados se posicionam em relação aos valores do grupo central do rol. Desvio Padrão pode ser amostral (s) ou desvio padrão populacional (σ), visando determinar a dispersão dos elementos ao redor da média.

31 Unidade II - Medida dispersão Medida de dispersão Como referência os dados coletados, analisados e após calculado com base nos valores de uma determinada amostra (usa-se para estimar desvio padrão da população). O Desvio padrão populacional deve ser calculado considerando os elementos de uma determinada população.

32 Interatividade Calcular o valor da moda (interpolação) onde as frequências são representadas na tabela: 119, , ,92 INTERATIVIDADE ,84 III 4 146, , , , , ,60 2 Valores de referências para o cálculo: L 1 = 146,84 Δ 1 = 7-4 Δ 1 = 3 ic = 13,92 Δ 2 = 7-5 Δ 1 = 2 Calcular o valor da moda (interpolação): a) Mo = 155,013 b) Mo = 155,933 c) Mo = 155,192 d) Mo = 154,973 e) Mo = 155,633

33 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão - Amplitude: Elementos = {2, 3,4,5,5,6,7,8,8,9} Amplitude(R)= R = Valor máximo Valor mínimo Valor máximo = 9 Valor mínimo = 2 R = 9 2 R = 7

34 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão Desvio Padrão Elementos: Elementos = {2, 3,4,5,5,6,7,8,8,9} Σ x 2 - (Σ x) 2 /n σ = n

35 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão Desvio Padrão Elementos: Elementos = {2, 3,4,5,5,6,7,8,8,9} n= 10 Σ x= 57 Σ x 2 = 373 σ = / = / σ = , σ = 2,193 10

36 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão Desvio Padrão Grupos: Elementos = Σ f i = 2 ic = 13,92 Σ f i2 = 28 n = 20 Σ f i 2 Σ f i 2 σ = ic n n

37 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão Desvio Padrão Grupos: Elementos = Σ f i = 2 ic = 13,92 Σ f i2 = 28 n = σ = ,92 = σ = 1,4-0,01 13,92 =

38 Unidade II - Medida dispersão Medidas de dispersão Dispersão Desvio Padrão Grupos: Elementos = Σ f i = 2 ic = 13,92 Σ f i2 = 28 n = 20 σ = 1,39 13,92 = σ = 1,179 13,92 = σ = 16,411

39 Unidade II - Quartil Definição de quartil Considerando um conjunto de dados, o valor médio (divide o conjunto em duas partes) representa a mediana. Por extensão desse conceito o quartil representa o valor do quarto desse conjunto, ou seja, o conjunto dividido em quatro partes.

40 Unidade II - Quartil Definição de quartil Esses valores devem ser representados por: Q 1 (primeiro quartil) Q 2 (segundo quartil) Q 3 ( terceiro quartil ), respectivamente. É importante observar que o Q 2 é igual ao valor da mediana.

41 Unidade II - Quartil Definição de quartil Valores devem ser representados por: Amplitude 69,60 0 Elementos Q1 Q2 Q3 Q4 Primeiro quartil de 119,00 até 143,36 Segundo quartil de 119,00 até 154,79 Terceiro quartil de 119,00 até 167,72

42 Interatividade Com os seguintes dados: n=8 ; Σx= 44; Σx 2 = 284, elementos = {2,3,4,5,6,7,8,9}. Calcular a dispersão (desvio padrão dos elementos): a) σ = 2,091 b) σ = 2,691 c) σ = 2,791 d) σ = 2,891 e) σ = 2,291291

43 ATÉ A PRÓXIMA!