Métodos Estatísticos Básicos

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Ana Fialho Paixão
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1 Aula 4 - Medidas de dispersão Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Abril de 2014

2 Amplitude total Amplitude total: AT = X max X min. É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência. Para dados agrupados sem intervalos de classe, a fórmula é a mesma acima. Para dados com intervalos de classe, AT = L max l min, onde l min é o menor limite inferior das classes e L max o maior limite superior. Obs: a amplitude total desconsidera valores intermediários.

3 Desvio quartil Desvio quartil: D q = (Q3 Q1) 2. É também chamado de amplitude semi-interquartílica. Usamos o desvio quartil preferencialmente quando a medida de tendência central utilizada é a mediana. O desvio quartil não é tao afetado por valores extremos. Ex: {40, 45, 48, 62, 70} Q1 = = 42, 5 e Q3 = = D q = 66 42,5 = 11, 75 2

4 Desvio médio absoluto Xi X Xi Me Desvio médio absoluto:d m = n ; D me = n. É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação à média ou à mediana. Ex: {-4, -3, -2, 3, 5} X = 0, 2 e M e = 2. D m = 4+0, , , , ,2 = 3, 36 5 D me = = 3 5 Para dados agrupados devemos utilizar as frequências, fi.(xi X ) D m =, e se tivermos intervalos de classe, então Xi será o fi ponto médio de cada classe.

5 Diferença média Diferença média: = 1 n. n Xi 2 Xj. É o desvio absoluto em j=1 relação a todos os dados entre si. Essa expressão pode ser simplicada para = 4 n. n i.xi 2 2 X (1 + 1 n ) (ver pag. 51 de Homan, R. Estatística para economistas).

6 Desvio-padrão (Xi X ) 2 Desvio padrão: σ = n. É a raíz da média aritmética dos quadrados dos desvios. Ex: {-4, -3, -2, 3, 5} X = 0, 2 ( 4+0,2) σ = +( 3+0,2) 2 +( 2+0,2) 2 +(3+0,2) 2 +(5+0,2) 2 = 12, 56 = 5 3, 54. (Xi X ) 2 Desvio padrão amostral: S = n 1. Utilizamos essa pequena correção no caso de termos apenas uma amostra da população completa.

7 Desvio-padrão Dados agrupados Quando temos dados agrupados, devemos ponderar o desvio padrão pelas frequências: [(Xi X ) 2.fi] σ = quando se trata da população inteira. fi [(Xi X ) 2.fi] S = quando se trata de uma amostra. fi 1 Com intervalos de classe, Xi será o ponto médio da classe.

8 Desvio-padrão e variância Propriedades As principais propriedades do desvio padrão são: 1 Somando (ou subtraindo) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio-padrão não se altera. 2 Multiplicando (ou dividindo) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio-padrão será multiplicado (ou dividido) por essa constante. Variância (σ 2 ou S 2 ) : é o desvio-padrão elevado ao quadrado. A propriedade 1 continua válida para a variância, mas a propriedade 2 se altera, pois se multiplicarmos todos os valores por uma constante (diferente de zero), a variância será multiplicada por essa mesma constante elevada ao quadrado.

9 Medidas de dispersão relativa Coeciente de variação de Pearson (CVP) Coeciente de variação de Pearson (CVP): CVP = 100. σ X Caracteriza a dispersão dos dados em relação ao seu valor médio. Um desvio padrão de 2 pode ser grande para dados cuja média é 20, mas pequeno se a média é 200. O CVP padroniza as variações, possibilitando a comparação entre dados distintos. Ex: variável média desvio altura 175cm 5,0cm peso 68kg 2,0kg Qual série é mais homogênea? => CVP altura = 5,0 x100 = 2, 85%. <= 175 CVP peso = 2,0 x100 = 2, 94%. 68 Coeciente de variação de Thorndike (CVT): CVT = S Me x100. Utilizamos a mediana para o cálculo.

10 Medidas de assimetria Distribuição simétrica: dizemos que os dados tem uma distribuição simétrica quando Média = Mediana = Moda. Distribuição assimétrica à esquerda: é a assimétrica negativa, que ocorre quando Média < Mediana < Moda. Distribuição assimétrica à direita: é a assimétrica positiva, que ocorre quando Média > Mediana > Moda. Coeciente de assimetria de Pearson: CAP Me = 3.( X Me) σ e CAP Mo = X Mo σ. Compara graus de assimetria entre distribuições diferentes. Classicação: 1 CAP < 0, 15 Assimetria pequena. 2 0, 15 < CAP < 1 Assimetria moderada. 3 CAP > 1 Assimetria elevada.

11 Medidas de assimetria Se CAP = 0, os dados tem distribuição simétrica. Se CAP < 0 a assimetria é negativa. Se CAP > 0 a assimetria é positiva.

12 Medidas de curtose Curtose: é o grau de achatamento de uma distribuição em relação à distribuição normal (em forma de sino). Distribuição leptocúrtica: apresenta uma distribuição mais alongada do que a normal. Distribuição platicúrtica: apresenta uma distribuição mais achatada do que a normal. Distribuição mesocúrtica: distribuição não é nem achatada nem alongada (igual a da normal).

13 Medidas de curtose Percentílico de curtose: C 1 = C 1 = 0, 263 curva mesocúrtica. C 1 < 0, 263 curva leptocúrtica. C 1 > 0, 263 curva platicúrtica. Momento de curtose: K = K = 3 curva mesocúrtica. K > 3 curva leptocúrtica. K < 3 curva platicúrtica. (Q3 Q1) 2(P90 P10). (Xi X ) 4.fi fi 1 S 4.

14 Medidas de curtose Os valores dos coecientes de curtose determinam o grau de achatamento da distribuição. Gracamente,

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