Unidade II ESTATÍSTICA. Prof. Celso Guidugli

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Maria das Graças Faro Conceição
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2 Medidas ou parâmetros estatísticos Valores que permitem uma imagem sintetizada do comportamento de uma amostra. Dividem-se em dois grandes grupos: medidas de tendência central ou medidas de posição: média, mediana, moda. medidas de dispersão ou medidas de variabilidade: variância; desvio-padrão; coeficientes de variação.

3 Médias Média: valor equidistante (intermediário) entre os valores de todos os elementos da amostra. Imagine uma gangorra: é o ponto de equilíbrio dos valores dos dados de uma amostra. Média simples: quando a frequência de todos os elementos é igual a 1. Média ponderada: quando a frequência dos elementos da amostra difere de 1.

4 Média simples Soma dos valores de todos os elementos dividida pelo número de elementos. Exemplo: qual é a média da amostra abaixo? S = {2; 4; 6; 8; 10} X = X = X 5 5 = 6

5 Média ponderada (dados não agrupados) Soma dos valores vezes a frequência de cada um dividida pela frequência total. Exemplo: calcular a média da distribuição: A B C = A x B Frequência Valor x Valor 378 simples Frequência X xi fi xi.fi Somas = X 78 X = 5,0 = 4,966292

6 Média ponderada (dados agrupados) Exemplo: calcular a média da distribuição: A B C D E=(C+D)/2 F=D x E Classe Limites de classe Frequência simples Ponto médio de classe Frequência x ponto médio li ls fi pmi fi x pmi Somas

7 Média ponderada (dados agrupados) 2585 X = X 123 X = 21,0 = 21,01626

8 Interatividade A média ponderada da distribuição abaixo é: a) 38. b) 34,8. c) 471,2. d) 36. e) 34. A B C D Frequência Limites de classe Classe simples li ls fi

9 Mediana É o valor que divide um conjunto de valores ordenados exatamente em duas metades. Por exemplo: 1. Calcular a mediana do conjunto abaixo: S = {2;4;6;8;10} E me N + 1 E 2 = me 5+ 1 = = 3 2 Me = 6 2. Calcular a a mediana a do conjunto abaixo: S = {2;4;6;8;10;12} E me N + 1 E 2 = me 6+ 1 = = 3,5 2 Me = 7

10 Mediana (dados não agrupados) 3. Calcular a mediana da distribuição. A classe da mediana é: Frequência Frequência Valor simples acumulada xi Fi fac E me N = = = 45 Me = 2 2 4

11 Mediana (dados agrupados) 4. Calcular a mediana da distribuição: Classe Limites de classe Frequência simples Frequência acumulada li ls fi fac E me = = = 22,5 A classe da mediana é a de número 3.

12 Mediana (dados agrupados) Classe Limites de classe Frequência simples Frequência acumulada li ls fi fac Eme f acant 22,5 18 Me = lime + h Me = f Me 14 O valor da mediana, portanto, é: Me = 366,1.

13 Moda É o valor que mais vezes se repete na amostra, ou seja, o valor de maior frequência. Exemplos: S = {2;2;3;3;3;4;5;5;6} Mo = 3 S = {2;2;2;3;3;3;4;5;6} Mo = 2 e Mo = 3 S = {2;3;5;6;7;9;10;11} Mo não existe. S: Frequência Valor simples xi fi Mo = 2

14 Moda (dados agrupados) Classe Limites de classe Frequência simples li ls fi A classe modal é a 3ª. (maior frequência). f post Mo = limo + h fant + f post 8 Mo = = 2222, Mo +

15 Interatividade Os valores para a distribuição ao lado da mediana e da moda são, respectivamente: a) 74 e 80. b) 74 e 75. c) 80 e 100. d) 80 e 74. e) 51 e 80. Valor Frequência simples xi fi

16 Medidas de dispersão ou de variabilidade Medidas de dispersão absolutas Amplitude total Desvio médio Variância Desvio-padrão Medidas de dispersão relativas Coeficientes de variação

17 Desvios Conceito de desvio: a diferença (positiva ou negativa) entre o valor de um determinado elemento e a medida de posição da amostra. Por exemplo: você tirou nota 7,5 numa prova em que a nota média dos alunos foi 4,5. Significa que você tem um desvio para a amostra de 3 pontos: d i = xi X di = 7,5 4,5 di = 3,0 Medidas de dispersão são tratamentos estatísticos dados a todos os desvios da amostra.

18 Desvio-padrão Mais importante das medidas de dispersão. Raiz quadrada da soma de todos os desvios ao quadrado dividido pelo número de elementos menos um. Exemplo: calcular o desvio-padrão de: S = {2;4;6;8;10}, cuja média é 6. Desvios: di = {-4;-2;0;2;4} Desvios ao quadrado: di 2 = {16;4;0;4;16} Soma dos desvios = S = S = 10 S 5 1 = 3,2

19 Desvio-padrão (dados não agrupados) Exemplo: calcular o desvio-padrão: Valor Frequência simples Valor x frequência Desvios Desvios ao quadrado Desvios ao quadrado x frequência xi fi xi x fi di di 2 fi x di ,33 10,6 213, ,3 1,6 47, ,7 0,5 10, ,7 7,5 112, ,7 22,4 224,4 Somas ,4 Média: 43 4,3 Desvio padrão 25 2,5 S di fi 608,4 = S = S N = 2,5

20 Desvio-padrão (dados agrupados) Exemplo: calcular o desvio-padrão: Classe Limites de classe Frequên cia simples Ponto médio de classe Valor x frequên Desvios cia Desvios ao quadra do Desvios ao quadrado x frequência li ls fi xi xi x fi di di 2 fi x di ,8 281,1 2810, ,8 45,8 915, ,2 10,5 261, ,2 175,2 1401, ,2 539,9 2699,4 Som ,2 Média: 31,8 Desvio padrão 11,0 S di fi 8088,2 = S = S N = 11,0

21 Variância Variância (S 2 ) Quadrado do desvio-padrão. Mesmo cálculo, interrompido antes de se extrair a raiz quadrada. Assim sendo: se a variância de uma amostra for 625, o desvio-padrão será 25; se o desvio-padrão de uma amostra for 13, a variância será 169.

22 Interatividade Para oito funcionários de uma empresa foi perguntado qual era o seu tempo de casa em anos. As respostas foram as seguintes: {8; 12;14;15;18;20;20;21} Pergunta-se: qual é o desvio-padrão do tempo médio de casa desses funcionários? a) 4,27 anos. b) 18,25 anos. c) 16 anos. d) 4 anos. e) 4,57 anos.

23 Medidas de dispersão relativas Coeficientes de variação Consideram simultaneamente a medida de posição e a medida de dispersão absoluta. Qualquer divisão entre uma medida de dispersão e uma medida de posição produz um coeficiente de variação. Os mais usados são os de Pearson (divisão do desvio-padrão pela média) e o de Thorndike (divisão do desvio- padrão pela mediana).

24 Medidas de dispersão relativas Exemplo: a produção horária média de determinado processo industrial é de 250 toneladas, com desvio-padrão de 84 toneladas. Calcular o coeficiente de variação para essa situação. Devemos calcular o coeficiente de Pearson: Cv p S 84 = Cv p = Cv p X 250 = 0,336 Costumeiramente, damos essa resposta em porcentagem, ou seja: Coeficiente de variação de Pearson = 33,6%.

25 Relações gráficas entre as medidas estatísticas Comportamento normal das distribuições

26 Assimetria

27 Curtose

28 Situação real

29 Coeficientes de assimetria e curtose Coeficiente de assimetria: Coeficiente de curtose:

30 Interatividade Em determinado estudo estatístico chegouse ao valor de 1,23 para o coeficiente de assimetria e de 0,78 para o coeficiente de curtose. Podemos dizer que a curva é: a) Fortemente assimétrica negativa e leptocúrtica. b) Fortemente assimétrica positiva e mesocúrtica. c) Fortemente assimétrica positiva e leptocúrtica. d) Fracamente assimétrica positiva e platicúrtica. e) Fortemente assimétrica positiva e platicúrtica.

31 ATÉ A PRÓXIMA!

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