Medidas de Posição. Tendência Central. É um valor que representa uma entrada típica, ou central, de um conjunto de dados. média. mediana.

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1 Tendência Central É um valor que representa uma entrada típica, ou central, de um conjunto de dados. média mediana moda

2 Análise exploratória de dados Histograma Simétrico Uniforme Média = Mediana Assimétrico à direita Assimétrico à esquerda Fonte: Larson cap. 2 Média > Mediana Média < Mediana

3 Exemplo Durante uma verificação de qualidade no conteúdo de seis recipientes de café instantâneo, foram obtidas as seguintes quantidades de café: 6,03 5,59 6,40 6,00 5,99 6,02 Qual a quantidade média e mediana encontrada? Média aritmética: x = n i= 1 n x i x = 6,03 + 5,59 + 6,40 + 6,00 + 5,99 + 6,02 6 x = 6,00

4 Exemplo Durante uma verificação de qualidade no conteúdo de seis recipientes de café instantâneo, foram obtidas as seguintes quantidades de café: 6,03 5,59 6,40 6,00 5,99 6,02 Qual a quantidade média e mediana encontrada? Mediana: 5,59 5,99 6,00 6,02 6,03 6,40 mediana = 6,00 + 6,02 2 = 6,01

5 Exemplo Durante uma verificação de qualidade no conteúdo de seis recipientes de café instantâneo, foram obtidas as seguintes quantidades de café: 6,03 5,59 6,40 6,00 5,99 6,02 Qual a quantidade média e mediana encontrada? x = 6,00 mediana = 6, 01 Suponha que o terceiro valor tenha sido incorretamente medido e que na verdade seja de 6,04. Determine novamente a quantidade média e Mediana. 6,03 + 5,59 + 6,04 + 6,00 + 5,99 + 6,02 x = = 5,95 6 5,59 5,99 6,00 6,02 6,03 6,04 6,00 + 6,02 mediana = 2 = 6,01

6 Exemplo 1 Durante uma verificação de qualidade no conteúdo de seis recipientes de café instantâneo, foram obtidas as seguintes quantidades de café: 6,03 5,59 6,40 6,00 5,99 6,02 Qual a quantidade média e mediana encontrada? x = 6,00 mediana = 6, 01 Suponha que o terceiro valor tenha sido incorretamente medido e que na verdade seja de 6,04. Determine novamente a quantidade média e Mediana. x = 5,95 mediana = 6, 01 Qual a medida mais afetada pela entrada incorreta: a média ou a mediana? Média

7 Exemplo 2 Considere o número de internações (X) de um hospital, observado para os trinta dias do mês de abril de Os dados são listados abaixo, por ordem cronológica. N = 30 dias amplitude: ( 0 =< X <=9 ) DIA X = número de internações DIA X = número de internações

8 Exemplo 2 Tabela 1 Distribuição de freqüências do número de internações (X) X F total 30 Qual o número médio de internações diária?

9 Exemplo 2 Tabela 2 - Procedimento para cálculo. X F X. f Total Usando os dados da terceira coluna, X.f 99 X = = = 3, 3 Internações N 30 por dia

10 Exemplo 2 Qual o número mediano de internações diária? Tabela 3 - Mesma distribuição -Procedimento para cálculo. X F % % acumulada ,0 20, ,3 33, ,0 43, ,0 53, ,0 63, ,7 80, ,7 86, ,7 93, ,3 96, ,3 100,0 total ,0 Mediana=3 internações por dia

11 Exemplo 2 Qual o número mediano de internações diária? Tabela 1 Distribuição de freqüências do número de internações (X) (1) Número de vendas (2) f (3) Ponto Médio (X) (4) X. f (5) f acumulada (6) % (7) % acumulada ,5 19, ,3 43, ,5 49, ,7 80, ,5 45, ,0 100,0 Total ,0 ( N / 2) Md = L fac i +. h med fmed Onde: Li = é o limite inferior da classe que contém a mediana ( ) N = 30.f ac = freqüência acumulada até a classe anterior à que contém a mediana (13).f med = freqüência da classe que contem a mediana (11).h med = amplitude da classe que contem a mediana (3) Md = 3 + [(15 13) / 11]. 3 = 3 + 0,54 = 3,54 internações por dia

12 Comparação entre Média, Mediana e Moda Média Mediana Moda Vantagens Limitações Tipo de Variáveis Reflete todos os valores Menos sensível à valores É influenciada por valores Mais difícil de ser determinada da amostra extremos que a média extremos para grande quantidade de dados Contínua e Discreta Contínua e Discreta Representa um valor típico Não tem função em certos conjunto de dados Contínua, Discreta, Nominal e Ordinal

13 Propriedades da média artimética 1. A média de qualquer conjunto pode ser sempre calculada. 2. Para um dado conjunto de números a média é única. 3. A média é afetada por todos os valores do conjunto. 4. Somando-se, subtraindo-se, multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto por uma constante a média também será acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida por esta constante, respectivamente.

14 Medidas de Dispersão Indicam o grau de homogeneidade dos valores, até que ponto eles se encontram concentrados ou dispersos da média. O quanto os pontos estão distantes da média? Exemplo: Frequên ncia absoluta A: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,4 2 B: 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 C: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7 Frequência absoluta Frequência absoluta Ocorrências Ocorrências Média Ocorrências

15 Medidas de Dispersão Variância e Desvio-Padrão Exemplo C X Média (X-Média) (X-Média) Soma σ = 8 = 5 σ = σ 2 = 5 = 2.24

16 Medidas de Dispersão Indicam o grau de homogeneidade dos valores, até que ponto eles se encontram concentrados ou dispersos da média. Exemplo: Frequên ncia absoluta A: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,4 2 B: 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 C: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7 Frequência absoluta Frequência absoluta Ocorrências Ocorrências σ = 0 σ =1 σ = 2.24 Média Ocorrências

17 Medidas de Dispersão Voltando a Tabela 1: Qual o desvio-padrão? X F X-MEDIA (X-MEDIA) 2 (X-MEDIA) 2. F ,3= - 3,3 10,89 10,89 X 6= 65, ,3= - 2,3 5,29 5,29 X 4 = 21, ,3= - 1,3 1,69 1,69 X 3 = 5, ,3= - 0,3 0,O9 0,09 X 3 = 0, ,3= 0,7 0,49 0,49 X 3 = 1, ,3= 1,7 2,89 2,89 X 5 = 14, ,3= 2,7 7,29 7,29 X 2 = 14, ,3= 3,7 13,69 13,69 X 2 = 27, ,3= 4,7 22,09 22,09 X 1 = 22, ,3= 5,7 32,49 32,49 X 1 = 32, , ,30 σ = = 6.81 internações 2 σ = 6.81 = internações

18 Exemplo 2 Qual o número médio de internações diária? Tabela 1 Distribuição de freqüências do número de internações (X) (1) Número de vendas (2) f (3) Ponto Médio (X) (4) X. f ,5 19, ,5 49, ,5 45,0 Total x 114 = = 30 3,8 Internações por dia

19 Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação É o quociente entre o desvio-padrão e a média. CV = σ x Vantagem: caracterizar a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor médio.

20 Medidas de Dispersão Exemplo: A: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,4 B: 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 C: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7 Frequência absoluta Frequê ência absoluta Frequência absoluta Ocorrências σ = 0 σ = Ocorrências σ = 2.24 CV CV CV = 0 = = = ou 25% = = Ocorrências ou 56% Média

21 e Dispersão Ambos os conjuntos de dados representados a seguir têm média igual a 50. Um deles tem desvio-padrão de 3,8 e outro, de 5,8. Qual é qual? % % valor valor (a) (b) Desvio-padrão: 3,8 5,8 Coeficiente de Variação: 8% 12%

22 Número de acessos de telefonia móvel por grupo de 100 habitantes (teledensidade) Fonte: Relatório Anual da Anatel, 2006.

23 Acidentes com Terceiros Fonte: ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES NO SETOR DE ENERGIA ELÉTRICA BRASILEIRO, 2002

24 Decisão pela média A tabela a seguir resume todos os negócios com CDB com o mesmo prazo de vencimento em uma data qualquer: Taxa anual negociada(%) x i FR% Total 100 Fonte: Securato, JR. Crédito Análise e Avaliação do Risco f i

25 Decisão pela média Fonte: Securato, JR. Crédito Análise e Avaliação do Risco

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