Estatística I Aula 3. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Estatística I Aula 3 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Estatística: Prof. André Carvalhal Dados quantitativos: medidas numéricas Propriedades Numéricas Tendência Central Dispersão Formato Média Mediana Moda Amplitude Variância Desvio Padrão Assimetria Quantis Coeficiente de Variação

3 Estatística: Prof. Luis Araujo Propriedades Numéricas dos Dados Tendência Central (Localização) Variação (Dispersão) Forma

4 Notação Estatística: Prof. Luis Araujo Medida Amostra População Média µ Desvio Padrão S σ Variância S 2 σ 2 Tamanho n N

5 Medidas de tendência central Média Aritmética soma dos valores de número de observações n Propriedades da média: Centro de gravidade Mais informativa no caso de distribuições aproimadamente simétricas A soma dos desvios em relação a média é igual a zero ( i ) 0 É influenciada por valores etremos.

6 Medidas de tendência central Média Amostral Média Populacional n i 1 n i N µ 1 i N i estatística µ parâmetro

7 Eemplo 1 Se as lâmpadas de uma amostra duram 967, 949, 952, 940 e 922 horas de uso continuado, o que podemos concluir sobre a duração média das lâmpadas do lote? Solução: horas 5 Supondo que os dados são de uma amostra que represente a população de lâmpadas podemos estimar que a duração média das lâmpadas é de µ 946 horas Para dados não-negativos, a média não só descreve o meio do conjunto de dados, mas impõe uma limitação ao seu tamanho. Se multiplicarmos por n ambos os lados da equação, n veremos que n. e, portanto, que nenhuma parte, ou subconjunto dos dados, pode eceder. n.

8 Eemplo 2 Se o salário anual médio pago a três jogadores de basquete nos EUA na temporada foi de dólares, pode (a) algum deles ter recebido dólares? (b) dois deles terem recebido, cada um, dólares? Solução: Como n * 3 * (a) se um deles recebeu seis milhões, restariam para os outros dois, de modo que é possível. (b) se dois deles receberam, cada um, seis milhões, isso necessitaria de 2( ) dólares. Como isso necessitaria mais do que o total pago aos três jogadores, não teria sido possível.

9 Eemplo 3 A editora de um livro precisa de um número para a quantidade de calorias de uma fatia de pizza de calabresa grande. Solicitando a um laboratório que faça o serviço com um calorímetro, ela recebe os seguintes números para uma fatia de pizza de seis fornecedores diferentes: 265, 332, 340, 225, 238 e 346. (a) calcule a média, que a editora irá utilizar em seu livro (b) suponha que, ao calcular a média, a editora cometa o erro de digitar 832, em vez de 238, em sua calculadora. Qual será o tamanho do erro no número que ela utilizará em seu livro?

10 Eemplo 3 Solução: (a) a média correta é (b) a média errada é E o erro será um desastroso calorias

11 Medidas de Tendência Central Média Ponderada Útil quando as grandezas em jogo não têm a mesma importância w n w i w 1. 1 w wn. n 1 i. n w 1 + w w n i 1 wi i i são as observações da amostra w i são os pesos de cada observação

12 Eemplo 4 Numa turma de psicologia, há 14 calouros, 25 alunos de segundo e 16 alunos de terceiro ano. Dado que num eame os calouros obtiveram a média 76, os alunos do segundo ano a média 83 e alunos de terceiro ano a média 89, qual é a grande média pra toda a classe? Solução: ,96

13 Medidas de tendência central Mediana (Md) Em um conjunto de observações ordenadas de forma crescente é o elemento que ocupa a posição central. É o valor do elemento do meio se n é impar, e a média dos dois valores do meio se n é par. Não é afetado por valores etremos. Dados de produção: Mês Produção: Dados ordenados: Jan Fev Mar Abr Mai Jun < Mediana ( ) / Jul < Ago Set Out Nov Dez soma média 197,75

14 Medidas de tendência central Mediana (Md) Variável discreta em tabela de frequências i f i Total de elementos Então o termo central ocupa a posição de no. 12 Como localizar o 12o. elemento? R: construindo a frequência acumulada

15 Medidas de tendência central Mediana (Md) Variável discreta em tabela de frequências i f i F i Total de elementos 23 Então o termo central ocupa a posição de no. 12 Como localizar o 12o. elemento? R: construindo a frequência acumulada O elemento que ocupa a 12a. posição vale 8, então, podemos afirmar que a mediana vale 8!!

16 Quartis Medidas de tendência central - posição Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente em quatro partes com dimensões iguais. Mínimo 1o. Q 2o. Quartil Mediana 3o. Q Máimo 25% dos dados são inferiores ao 1o. Q 50% dos dados são inferiores ao 2o. Q ou mediana 75% dos dados são inferiores ao 3o. Q

17 Decis Medidas de tendência central - posição Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente em dez partes com dimensões iguais. 10% dos dados são inferiores ao 1o. Decil Percentis Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente em cem partes com dimensões iguais. 1% dos dados são inferiores ao 1o. Percentil

18 Medidas de tendência central Média valores agrupados n i F i Amostra: Média 38,32 Intervalos das classes F i i i F i ,5 129, ,8 288, ,5 461, ,5 340, ,5 297, ,5 282, ,5 127,0 Total ,0 Média 38, ,5 28,8 35,5 42,5 49,5 56,5 63,5

19 Moda (Mo) Medidas de tendência central É o valor mais frequente (a maior barra do histograma) Intervalos das classes F i i i F i ,5 129, ,8 288, ,5 461,5 < Classe Modal ,5 340, ,5 297, ,5 282, ,5 127,0 14 Total ,0 12 Média 38, ,5 28,8 35,5 42,5 49,5 56,5 63,5

20 Medidas de tendência central Moda Mediana (627) Média ,0 550,0 600,0 650,0 700,0 750,0 800,0 850,0 900,0 525,0 575,0 625,0 675,0 725,0 775,0 825,0 875,0 925,0 Std. Dev 114,73 Mean 658,6 N 100

21 Estatística: Prof. André Carvalhal Dados quantitativos: medidas numéricas Propriedades Numéricas Tendência Central Dispersão Formato Média Mediana Moda Amplitude Variância Desvio Padrão Assimetria Quantis Coeficiente de Variação

22 Estatística: Prof. André Carvalhal Dados quantitativos: medidas numéricas Propriedades Numéricas Dispersão Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação

23 Por que avaliar medidas de dispersão? Eemplo: um médico observa a variação nos batimentos cardíacos por minuto de dois pacientes. Veja os resultados: Paciente A: Paciente B: Os dois pacientes têm média de batimentos iguais a 74 mas a variação é muito diferente!!

24 Amplitude É a diferença entre o maior e o menor valor Mede a dispersão total no conjunto de dados Mas tem um problema Balança A Balança B Balança C Não é apropriada quando há observações etremas

25 Variância e Desvio Padrão A amplitude não descreve como os valores se distribuem em torno da média, não mostra se há valores etremos poderíamos então avaliar os desvios em torno da média 1,, 2 3,..., n... mas a soma destes desvios é sempre igual a zero!! Como não nos interessa se as diferenças são positivas ou negativas trabalhamos com os quadrados das diferenças Uma alternativa, pouco utilizada, é usar os desvios absolutos, calculando o Desvio Médio Absoluto DMA 1 n n i i 1

26 Variância Amostral É a soma das diferenças ao quadrado, em torno da média aritmética, dividindo-a pelo tamanho da amostra, menos um: S 2 n i 1 ( ) E a variância da população é igual a: i n 1 2 σ 2 N i 1 ( µ ) i N 2

27 Desvio Padrão Amostral É a raiz quadrada da variância. É a medida de dispersão mais utilizada. Está na mesma unidade dos dados originais. S n i 1 ( ) i n 1 2 E desvio padrão da população é igual a: σ N i 1 ( µ ) i N 2

28 Desvio Padrão Amostral Para calcular o desvio padrão de uma amostra devemos: Calcular a média da amostra Obter a diferença entre cada observação e a média Elevar ao quadrado essas diferenças Somar os quadrados das diferenças Dividir o somatório por (n-1) você aqui obteve a variância Etrair a raiz quadrada do somatório obtido

29 Eemplo 5 Calcule o desvio padrão da seguinte amostra: Amostra Dados (X i ) : n 8 Média 16 S (10 X) 2 + (12 X) 2 + (14 n 1 X) 2 + L+ (24 X) 2 (10 16) 2 + (12 16) 2 + (14 16) L+ (24 16) É uma medida da dispersão média dos dados em torno de sua média

30 Organize seus cálculos: Desvio Padrão Amostral i i ( ) 2 i total σ n i 1 ( ) i n 1 2

31 Desvio Padrão Amostrais Comparando Desvios - Padrão Dados A Média 15.5 S Dados B Média Dados C S Média 15.5 S 4.570

32 Desvio Padrão Amostrais Comparando Desvios - Padrão Pequeno desvio padrão Grande desvio padrão

33 Fórmula alternativa Fórmula alternativa para o Desvio Padrão Amostral S σ ( ) n n 2 i 1 onde σ i 1 i n 1 n i 2 Vantagem desse cálculo: não é preciso calcular a média nem os desvios em relação a média

34 Entendendo a Variação nos Dados Quanto mais espalhados ou dispersos estiverem os dados, maiores serão a amplitude, a variância e o desvio padrão Quanto mais concentrados, ou homogêneos, forem os dados, menores serão a variância e o desvio padrão Se as observações forem todas iguais (de forma que não eista nenhuma variação nos dados), a amplitude, a variância e o desvio padrão serão todos iguais a zero Nenhuma das medidas de variação pode ser negativa

35 Entendendo a Variação nos Dados Você é apresentado ao desvio padrão dos retornos mensais nos últimos três anos de três fundos de investimentos S 7,71 S 17,66 S 23,17 O que você pode dizer sobre a variação dos retornos? Você pode dizer qual o fundo com maior risco?

36 Aplicações do Desvio Padrão São usados nos problemas de inferência que veremos adiante A dispersão, e o desvio padrão, são pequenos se os dados estão concentrados em torno da média e grandes se os mesmos são muito dispersos O teorema de Tchebichev epressa formalmente O teorema de Tchebichev epressa formalmente essa idéia...

37 Teorema de Tchebichev Para qualquer conjunto de dados (população ou amostra) e qualquer constante k maior do que 1, a proporção dos dados que devem estar a menos de k desvios-padrão de qualquer um dos dois lados da média é pelo menos 1 1 k 2

38 Eemplo 6 Você está avaliando a rentabilidade das empresas do setor varejista. A média da rentabilidade sobre os ativos em 2009 foi de 10% com desvio padrão de 3%. Faça estimativas para a distribuição dos dados pelo Teorema de Tchebychev para k igual a 2 e 3. Solução: para k 2 : % % 2 3% pelo menos 75% das rentabilidades 10% + 2 3% 4% para k 3: ,9% % 3 3% pelo menos 88,9% das rentabilidades 10% + 3 3% 1% pelo menos 75% das rentabilidades 16% pelo menos 88,9% das rentabilidades 19%

39 Teorema de Tchebichev O problema do Teorema de Tchebichev é que ele diz apenas pelo menos qual proporção dos dados deve estar entre certos limites. É um limite inferior para a verdadeira proporção, tem poucas aplicações práticas. Para distribuições em forma de sino podemos fazer as seguintes afirmações muito mais fortes. Cerca de 68% dos valores estão a menos de um desvio-padrão da média, isto é, entre σ e + σ Cerca de 95% dos valores estão a menos de dois desvios-padrão da média, isto é, entre 2σ e + 2σ Cerca de 99,7% dos valores estão a menos de três desvios-padrão da média, isto é, entre 3σ e + 3σ

40 Fórmula de conversão para unidades padronizadas Em um curso de francês um aluno obteve nota 66 em vocabulário e 80 em gramática. 1a. Conclusão: melhor nota em gramática que vocabulário E se você agora souber que a média e o desvio padrão da turma em vocabulário foram, respectivamente, 51 e 12. Em gramática média e desvio padrão das notas da turma foram, respectivamente, 72 e 16. Como sua resposta se altera? Em vocabulário a nota do aluno está (66-51)/12 1,25 desvios padrão acima da média e em gramática (80-72)/16 0,50 desvios padrão acima da média da turma. Comparado com o resto da turma o aluno está melhor em vocabulário do que em gramática.

41 Fórmula de conversão para unidades padronizadas z S ou z µ σ z nos diz quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaio da média do conjunto de dados ao qual pertence.

42 Eemplo 7 A Sra. Santos pertence a uma faia etária na qual o peso médio é de 56kg, com desvio-padrão de 6kg, e seu marido, o Sr. Santos, pertence a uma faia etária na qual o peso médio é de 82kg, com desvio-padrão de 9kg. Se a Sra. Santos pesa 66kg e o Sr. Santos pesa 96kg, qual dos dois, relativamente ao peso médio de sua faia etária, está com maior ecesso de peso?

43 Solução: Eemplo 7 O peso do Sr. Santos está kg acima da média e o peso da Sra. Santos está somente kg acima da média, mas em unidades padronizadas obtemos (96-82)/91,55 para o Sr. Santos e (66-56)/61,66 para a Sra. Santos. Assim, relativamente ao peso médio de sua faia etária, a Sra. Santos está mais acima do peso do que o Sr. Santos.

44 Coeficiente de Dispersão O desvio padrão depende das unidades de medida O Coeficiente de Dispersão é uma medida relativa de variação Epresso na forma de percentagem e não em termos das unidades dos dados específicos Permite comparações quando as variáveis têm unidades de medida diferentes V S σ 100% ou V 100% µ

45 Coeficiente de Dispersão Eemplo: o gerente de um serviço de entregas está avaliando a compra de uma nova frota de caminhões. Quando as encomendas são carregadas nos caminhões, no preparo para entrega, dois importantes parâmetros são considerados: peso (em kg) e o volume (em m 3 ) para cada item. Suponha que numa amostra de 200 encomendas, o peso médio seja de 26kg com um desvio padrão de 3,9kg, e o volume médio para cada encomenda seja 8,8m 3 com um desvio padrão de 2,2m 3. Como podem as variações de peso e volume ser comparadas?

46 Solução: Coeficiente de Dispersão para o peso o coeficiente de variação V3,9/26100%15%; para o volume V2,2/8,8100%25%. logo, em relação à média aritmética, o volume de uma encomenda é muito mais variável do que seu peso.

47 Formato Estatística: Prof. André Carvalhal Descreve como os dados estão distribuídos Medida: assimetria Assimétrica à esquerda MediaMedianaMediana Moda Simétrica Media Mediana Moda Assimétrica à direita Moda Mediana Media Negativamente Assimétrica Simétrica Positivamente Assimétrica

48 Formato Coeficiente de Assimetria de Pearson SK 3( média desvio mediana) padrão MediaMedianaMediana Moda Media Mediana Moda Moda Mediana Media Negativamente Assimétrica Simétrica Positivamente Assimétrica