ESTATÍSTICA. June 4, UFOP June 4, / 87

Transcrição

1 ESTATÍSTICA June 4, 2013 UFOP June 4, / 87

2 NOME 1 Medidas de Tendência Central Média aritmética Mediana Moda Separatrizes 2 Medidas de Dispersão Amplitude Total Variância e Desvio-padrão Coeficiente de Variação de Pearson Erro padrão da média 3 Momentos, assimetria e curtose Momentos Assimetria Curtose 4 Representação Gráfica UFOP June 4, / 87

3 Medidas de Tendência Central Uma medida de tendência central procura sintetizar as informações da amostra em um único e informativo valor. As principais medidas de posição estão apresentadas a seguir. UFOP June 4, / 87

4 Média aritmética A média é a principal medida de posição, sendo utilizada principalmente quando os dados apresentam distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, como acontece com a maioria das situações práticas. Simbologia: µ para a média populacional. X para a média amostral. UFOP June 4, / 87

5 A média populacional é calculada pela expressão a seguir: Para dados brutos µ = X 1 + X X n N em que, N é o tamanho da amostra. µ = N i X i N UFOP June 4, / 87

6 O estimador da média populacional é: Para dados brutos X = X 1 + X X n n em que, n é o tamanho da amostra. X = n i X i n Para dados agrupados em Tabela de Frequências k i X = X if i n em que, k é o número de classes. UFOP June 4, / 87

7 Exemplo Dados Brutos Vamos voltar ao exemplo das alturas,expressas em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma universidade: A média aritmética será dada por: X = X 1 + X X n n X = X = 173, 37 UFOP June 4, / 87

8 Exemplo Para dados agrupados em Tabela de Frequências A tabela de distribuição de frequências foi apresentada na aula anterior: UFOP June 4, / 87

9 Assim, a média aritmética será dada por: X = 5 i=1 X = X if i n 166, , , = 173, 53 UFOP June 4, / 87

10 Hipótese Tabular Básica Alguém pode questionar a razão da diferença observada no uso dos dois estimadores. A resposta é dada pela hipótese tabular básica, a qual considera que todos os elementos de uma classe são representados pelo seu ponto médio, fato este, que não é verdadeiro em praticamente todas as situações. Desta forma, este último resultado é apenas aproximado. No entanto, o erro cometido é mínimo e, portanto, pode ser desprezado. UFOP June 4, / 87

11 Propriedades da média A soma algébrica dos desvios em relação à média aritmética é nula. n (X i X) = 0 i A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados em relação a sua média e um valor mínimo. D = n (X i X) 2 i UFOP June 4, / 87

12 Propriedades da média A média de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à média original mais essa constante. X = X + k em que X é a média do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova média será igual ao produto da média anterior pela constante. X = X k A média é influenciada por valores extremos. UFOP June 4, / 87

13 Mediana A mediana divide as observações ordenadas em partes iguais. Para sua determinação é necessário o conhecimento da posição central. Para dados ordenados, temos basicamente têm-se duas situações distintas: Se n for par: Se n for ímpar: m d = X n/2 + X (n+2)/2 2 m d = X (n+1) 2 UFOP June 4, / 87

14 Exemplo Dados ordenados No caso dos atletas a posição central está entre o 15 o e o 16 o elemento. Portanto, a mediana é a média aritmética destas duas observações. Logo, m d = X (30/2) + X (30+2)/2 m d = X (15) + X (16) 2 2 m d = 172, 5cm UFOP June 4, / 87

15 Dados agrupados em Tabela de Frequências No caso de dados agrupados a mediana pode ser calculada de acordo com a seguinte expressão: [ ] n/2 Fant m d = LI md + c md em que f md f md é a freqüência da classe mediana; c md é a amplitude da classe mediana; F ant é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana; LI md é o limite inferior da classe mediana. A classe mediana é a classe que contém a posição n/2 (posição mediana) da distribuição de freqüência. UFOP June 4, / 87

16 Exemplo No caso dos atletas temos: Posição mediana = 30/2 = 15 (contida na 2 a classe), F ant = 6; LI md = 168, 4, f md = 9 e c md = 4, 40. Logo, [ ] 15 6 m d = 168, 4 + 4, 40 9 m d = 172, 8cm UFOP June 4, / 87

17 Propriedades da mediana A mediana de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à mediana original mais essa constante. md = md + k em que md é a mediana do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova mediana será igual ao produto da mediana anterior pela constante. md = md k UFOP June 4, / 87

18 Observação Muitas vezes existem dúvidas de qual medida utilizar para sintetizar os dados amostrais. Como uma regra geral, pode-se definir qual medida é mais conveniente para uma dada situação com base na análise do histograma ou do polígono de freqüências. Se a distribuição dos dados for assimétrica, isto é quando valores extremos predominam em uma das caudas da distribuição, deve se preferir a mediana como medida sintetizadora. Isto se deve ao fato da mediana ser pouco sensível a presença de valores extremos, sendo considerada mais robusta que a média. O termo robusto é o termo técnico usado para indicar esta propriedade da mediana em relação à média aritmética, que quando a situação de simetria é violada a mediana é uma medida que sofre menos interferências nas suas estimativas. UFOP June 4, / 87

19 Moda A moda é definida para dados qualitativos ou para quantitativos discretos como sendo o valor de maior freqüência na amostra. Para dados quantitativos contínuos a moda é o valor de maior densidade. Portanto para dados quantitativos contínuos o estimador da moda é baseado na distribuição de freqüências. Esse estimador busca encontrar o ponto de máximo do polígono de freqüências. Um conjunto pode ter mais de uma moda ou até mesmo não ter moda. UFOP June 4, / 87

20 O estimador da moda para dados quantitativos contínuos é definido a partir da distribuição de freqüência por meio de um método geométrico, o qual conduz a seguinte expressão: em que: mo = LI mo + LI mo : limite inferior da classe modal; c mo 1 : diferença entre as freqüências da classe modal e a classe anterior; 2 : diferença entre as freqüências da classe modal e a classe posterior; c mo : amplitude da classe modal. A classe modal é a classe com maior freqüência. UFOP June 4, / 87

21 Propriedades da moda A moda de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à moda original mais essa constante. mo = mo + k em que mo é a mediana do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova moda será igual ao produto da moda anterior pela constante. mo = mo k UFOP June 4, / 87

22 Relações empíricas entre média, mediana e moda X = md = mo (distribuição simétrica) X > md > mo (distribuição assimétrica à direita) X < md < mo (distribuição assimétrica à esquerda) UFOP June 4, / 87

23 Separatrizes São as medidas que separam a distribuição de freqüências em partes iguais. Vimos que a mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Agora vamos estudar outras medidas que dividem a distribuição em partes iguais, que serão as chamadas separatrizes. Lembrem-se: os dados deves etar ordenados em ordem crescente!!! UFOP June 4, / 87

24 Quartis Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: Q 1 : 1 o quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor Q 2 : 2 o quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana. Q 3 : 3 o quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. UFOP June 4, / 87

25 Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão: em que: E Qi = in/4 i é o número do quartil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP June 4, / 87

26 Para dados não agrupados, vejamos um exemplo simples: Considere os dados ordenados: Neste caso temos n = 10 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se eu estiver interessado em encontrar o terceiro quartil, temos: E Q3 = 3 10/4 = 7, 5 Se o número resultante for decimal, a regra é arredondar sempre para cima. Logo, Q 3 = 8. Assim, 75% dos valores estão abaixo de 8 e 25% dos valores estão acima de 8 na distribuição de dados apresentada no exemplo. UFOP June 4, / 87

27 Para dados agrupados em classes temos: [ ] EQi F ant Q i = LI + c em que f Qi LI = limite inferior da classe que contém o quartil desejado c = amplitude do intervalo de classe E Qi = elemento quartílico F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Qi f Qi = frequência absoluta simples da classe quartílica. UFOP June 4, / 87

28 Decis Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais. De maneira geral, para calcular os decis, recorreremos à expressão que define a ordem em que o decil se encontra: E Di = in/10 em que: i é o número do decil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP June 4, / 87

29 Para dados não agrupados, vejamos o exemplo anterior: Considere os dados ordenados: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} em que n = 10 Se eu estiver interessado em encontrar o D 6, temos: E D6 = 6 10/10 = 6 Se o número resultante for inteiro, a regra é fazer a média dele com o númeor imediatamente posterior a ele na ordem dos dados. Logo, D 6 = = 6, 5. Assim, 60% dos valores estão abaixo de 6, 5 e 40% dos valores estão acima de 6, 5 na distribuição de dados apresentada no exemplo. UFOP June 4, / 87

30 Para dados agrupados em classes temos: [ ] EDi F ant D i = LI + c em que f Di LI = limite inferior da classe que contém o decil desejado c = amplitude do intervalo de classe F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Di f Di = frequência absoluta simples da classe que contém E Di. UFOP June 4, / 87

31 Percentis ou Centis Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais. O elemento que definirá a ordem do centil será encontrado pelo emprego da expressão: E Ci = in/100 em que: i é o número do percentil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP June 4, / 87

32 Para dados não agrupados, consideremos novamente: Considere os dados ordenados: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se estivermos interessados em encontrar o P 75, temos: E P75 = 75 10/100 = 7, 5 Como o número resultante é decimal, temos, P 75 = 8. Assim, 75% dos valores estão abaixo de 8 e 25% dos valores estão acima de 8 na distribuição de dados apresentada no exemplo. Note que P 75 coincide com Q 3 UFOP June 4, / 87

33 Para dados agrupados em classes temos: [ ] ECi F ant C i = LI + c em que LI = limite inferior da classe que contém o percentil desejado c = amplitude do intervalo de classe F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Ci f Ci = frequência absoluta simples da classe que contém E Ci. f Ci UFOP June 4, / 87

34 Exemplo Com base na tabela de distribuição de frequências abaixo encontre: Primeiro quartil Septuagésimo quinto centil Nono decil UFOP June 4, / 87

35 Exemplo Tabela 1 - consumo médio de eletricidade (kwh) entre 80 consumidores - RJ Consumo (Kwh) f i F A UFOP June 4, / 87

36 Resolução: Encontrar a posição do primeiro quartil: E Qi = in/4 = = 20 O Q 1 está localizado na 20 a posição, logo encontra-se na 3 a classe. Então, [ ] [ ] EQi F ant Q i = LI + c = = 59, f Qi Interpretação: 25% dos usuários consomem até 59,59 kwh. De maneira análoga, 75% dos usuários consomem mais de 59,59 kwh. UFOP June 4, / 87

37 Resolução: Encontrar a posição do septuagésimo quinto percentil: E Ci = in/100 = = 60 O C 75 está localizado na 60 a posição, logo encontra-se na 5 a classe. Então, [ ] [ ] ECi F ant C i = LI + c = = 99, f Ci Interpretação: 75% dos usuários consomem até 99,29 kwh. De maneira análoga, 25% dos usuários consomem mais de 99,29 kwh. UFOP June 4, / 87

38 Resolução: Encontrar a posição do nono decil: E Di = in/10 = = 72 O d 9 está localizado na 72 a posição, logo encontra-se na 6 a classe. Então, [ ] [ ] EDi F ant D i = LI + c = = f Di Interpretação: : 90% dos usuários consomem até 125 kwh. De maneira análoga, 10% dos usuários consomem mais de 125 kwh. UFOP June 4, / 87

39 Medidas de dispersão ou de variabilidade As medidas de posição não informam sobre a variabilidade dos dados e são insuficientes para sintetizar as informações amostrais. Para exemplificar este fato, tem-se a seguir três amostras com a mesma média: A = {8, 8, 9, 10, 11, 12, 12} X A = 10 B = {5, 6, 8, 10, 12, 14, 15} X B = 10 C = {1, 2, 5, 10, 15, 18, 19} X C = 10 UFOP June 4, / 87

40 Pode-se observar que as amostras diferem grandemente em variabilidade. Por esta razão torna-se necessário estabelecer medidas que indiquem o grau de dispersão, ou variabilidade em relação ao valor central. Desta forma pode-se afirmar que uma amostra deve ser representada por uma medida de posição e dispersão. As principais medidas de dispersão que são: Amplitude total Variância e Desvio-padrão Coeficiente de Variação de Pearson Erro padrão da média UFOP June 4, / 87

41 Amplitude total A amplitude total é definida como a diferença entre o maior e o menor valor de uma amostra. A = X (n) X (1) Note que para os conjuntos de dados A, B, C, temos: A A = 12 8 = 4 A B = 15 5 = 10 A C = 19 1 = 18 UFOP June 4, / 87

42 Desvantagens A amplitude tem as seguintes desvantagens: só considerar os valores extremos para o seu cálculo, e principalmente se houver outlier ela será grandemente afetada; ser influenciada pelo tamanho da amostra, pois à medida que a amostra aumenta a amplitude tende a ser maior. UFOP June 4, / 87

43 Variância e Desvio-padrão A variância é uma medida da variabilidade que considera todas as observações e, devido às propriedades que possui, é a mais utilizada na maioria das situações na estatística. A variância relaciona os desvios em torno da média e sua raiz quadrada é conhecida como desvio-padrão. Simbologia σ 2 para a variância populacional e σ para o desvio-padrão populacional s 2 para a variância amostral e s para o desvio-padrão amostral UFOP June 4, / 87

44 A variância populacional é dada por: σ 2 = N i=1 (X i µ) 2 N em que N é o tamanho da População. UFOP June 4, / 87

45 A variância amostral é dada por: s 2 = n i=1 (X i X) 2 n 1 em que n é o tamanho da amostra e (n 1) é denominado graus de liberdade.. UFOP June 4, / 87

46 Numa amostra de tamanho n deveria ser utilizado este valor (n) como divisor desta soma de quadrados de desvios. No entanto, devido a motivos associados a propriedades dos estimadores, o divisor da variância amostral é dado por n-1 em lugar de n na expressão do estimador da variância. A unidade da variância é igual ao quadrado da unidade dos dados originais. O desvio padrão, por sua vez, é expresso na mesma unidade do conjunto de dados, sendo obtido pela extração da raiz quadrada da variância. UFOP June 4, / 87

47 Para o cálculo da variância ou desvio padrão amostral a partir dos dados elaborados é preferível utilizar as seguintes expressões: [ n ] s 2 = 1 Xi 2 ( n i=1 X i) 2 n 1 n e i=1 s = s 2 UFOP June 4, / 87

48 Para dados agrupados temos: [ k ] s 2 = 1 f i X 2 i ( k i=1 f ix i ) 2 n 1 n i=1 em que k é o número de classes. Exemplo Assim, para os conjuntos de dados A, B, C, temos: s 2 A = 3 s2 B = 15 s2 C = 56, 57 s A = 1, 77 sb = 3, 87 sc = 7, 53 UFOP June 4, / 87

49 O Desvio-padrão A variância é expressa pelo quadrado da unidade de medidad da variável que está sendo estudada. Assim, e a variável sob análise for medida em metro, então a variância será expressa em m 2. Para melhr interpretar a dispersão de uma variável, usaremos o desvio padrão, que será expresso na unidade de medida original dos dados. Trata-se da mais importante das medidas de dispersão, pois indica a dispersão média absoluta dos dados em torno da própria média aritmética. UFOP June 4, / 87

50 Interpretação do Desvio-padrão Numa linguagem mais simplista, devemos ter em mente que o desvio-padrão mede a variação entre valores. Assim: Se os valores estiverem próximos uns dos outros, então o desvio-padrão será pequeno, e conseqüentemente os dados serão homogêneos. Ou seja, haverá uma grande concentração de dados em torno da média. Se os valores estiverem distantes uns dos outros, então o desvio-padrão será grande, e conseqüentemente os dados serão heterogêneos. Ou seja, os valores não se concentrarão com tanta intensidade em torno da média. UFOP June 4, / 87

51 Terorema de Tchebycheff Essa idéia de concentração em torno da média pode ser expressa mais formalmente pelo seguinte Teorema: Teorema: Para qualquer conjunto de dados (população ou amostra)e qualquer constante k > 1, a proporção dos dados que podem estar a menos de k desvios-padrões da média (para qualquer dos dois lados) é pelo menos 1 1 k 2, isto é: ou P (µ kσ < X i < µ kσ) 1 1 k 2 P (µ ks < X i < µ ks) 1 1 k 2 UFOP June 4, / 87

52 Para ilustrar o Teorema de Tchebychev, por exemplo, é possível afirmar que ao menos 1 1 = = 75% dos valores de qualquer conjunto de dados, devem estar a menos de dois desvios-padrões da média, de qualquer lado dela. Para qualquer distribuição com média e desvio-padrão: O intervalo (X ± 2s) ou (X ± 2σ) contém, no mínimo, 75% de todas as observações. O intervalo (X ± 3s) ou (X ± 3σ) contém, no mínimo, 89% de todas as observações. UFOP June 4, / 87

53 Propriedades Variância Somando ou subtraindo uma constante aos dados a variância não se altera; Multiplicando todos os dados por uma constante K a nova variância ficara multiplicada por K 2. Desvio-padrão Somando ou subtraindo uma constante K aos dados o desvio padrão não se altera; Multiplicando todos os dados por uma constante K o novo desvio padrão fica multiplicado por K. UFOP June 4, / 87

54 Coeficiente de Variação de Pearson A variância e o desvio padrão medem a variabilidade absoluta de uma amostra. Portanto, a variabilidade de amostras de grandezas diferentes ou de médias diferentes não pode ser comparada diretamente pelas estimativas da variância ou do desvio padrão obtidas. O desvio padrão ou variância permitem a comparação da variabilidade entre conjuntos numéricos que possuem a mesma média e a mesma unidade de medida ou grandeza. Nos casos em que os conjuntos possuem diferentes unidades ou possuem médias diferentes, uma medida de dispersão relativa, como o coeficiente de variação (CV), é indispensável para se comparar à variabilidade. UFOP June 4, / 87

55 O coeficiente de variação refere-se à variabilidade dos dados mensurada em relação a sua média, sendo obtido pela expressão seguinte: CV p = σ µ x100 O estimador do Coediciente de Variação populacional CV p é dado por CV = s X x100 O coeficiente de variação é a expressão do desvio-padrão como porcentagem da média do conjunto de dados. É uma medida adimensional de variabilidade, ou seja, não possui unidade de medida. UFOP June 4, / 87

56 Algumas regras empíricas para a interpretação do coeficiente de variação Se CV < 15% há baixa dispersão boa representatividade da média aritmética como medida de posição. Se 15% CV < 30% há média dispersão a representatividade da média aritmética como medida de posição é apenas regular. Se CV 30% há elevada dispersão a representatividade da média aritmética como medida de posição é ruim. UFOP June 4, / 87

57 Exemplo A média e o desvio-padrão da produtividade de duas cultivares de milho são: X = 4, 0t/ha e s A = 0, 8t/ha para a variedade de polinização aberta A e X = 8, 0t/ha e s A = 1, 2t/ha para o híbrido simples B. Qual das cultivares possui maior uniformidade de produção? UFOP June 4, / 87

58 Se ao inspecionar as estatísticas apresentadas, você respondesse que variedade de polinização aberta A seia a demaior uniformidade e que a razão seria o menordesvio padrao apresentado, você teria cometido um engano. Embora as unidades não sejam diferentes, as médias das amostras o são. Assim, não é correto utilizar uma medida de varabilidade absoluta, como o desvio-padrão, para compará-las. O procedimento adequado é calcular o CV para as cultivares e aí sim, proceder a comparação. UFOP June 4, / 87

59 CV A = 0, 8 x100 = 20% 4, 0 CV p = 1, 2 x100 = 15% 8 Assim, é fácil observar que o milho híbrido simples (B) é o mais uniforme, pois possui menor CV do que a variedade de polinização aberta A. UFOP June 4, / 87

60 Erro padrão da média Para definir o erro padrão da média suponha que amostras aleatórias de tamanho n são retiradas de uma população e que em cada amostra seja calculada a média. Se for computado o desvio padrão da população formada por todas as estimativas de médias obtidas, o valor encontrado é cohecido como erro padrão da média. O erro padrão da média σ X é dado pela razão entre o desvio-padrão populacional e a raiz quadrada de n (número de elementos na amostra): σ X = σ n UFOP June 4, / 87

61 O estimador amostral desse parâmetro é dado por s X = s n Tal estimador é necessário pois: em geral, nao se conhece o desvio-padrão populacional na maioria das situações reais não é possível retirar todas as amostras de uma população em geral, apenas uma amostra é extraída da população UFOP June 4, / 87

62 O erro padrão da média é uma medida de dispersão das médias amostrais em torno da média da população. Quanto menor for seu valor, mais porvável será a chance de obter a média da amostra nas proximidades da média da população, e quanto maior for esse valor, menos provável se torna esse evento. Assim, o erro-padrão da média é estimador da precisão da estimativa de uma média popualcional. UFOP June 4, / 87

63 Os momentos populacionais centrados na média populacional (µ r ) são definidos pela equação µ r = N i=1 (X i µ) r N O coeficiente r na expressão é a ordem do momento. para r = 1 tem-se o momento de primeira ordem, o qual é sempre igual a zero para r = 2 tem-se o momento de ordem 2, que é a variância da população para r = 3 tem-se o momento de asimetria ordem 3 para r = 4 tem-se o momento de curtose de ordem 4 UFOP June 4, / 87

64 Os estimadores amostrais para o momento centrado de ordem r, (m r ) são dados por: n i=1 m r = (X i X) r n em que n é o número de elementos na amostra. UFOP June 4, / 87

65 Assimetria Assimetria é o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição. Se a curva de frequência (polígono de frequencia suavizado) de uma distribuição tem uma "cauda" mais longa à direita da ordenada máxima do que à esquerda, diz-se que a distribuição é assimétrica à direita ou que ela tem assimetria positiva. Se o inverso ocorre, diz-se que a distribuição é assimétrica à esquerda ou que ela tem assimetria negativa. UFOP June 4, / 87

66 Distribuição simétrica UFOP June 4, / 87

67 Distribuição assimétrica à direita UFOP June 4, / 87

68 Distribuição assimétrica à esquerda UFOP June 4, / 87

69 O coeficiente de assimetria populacional β 1 é uam forma padronizada do estimador do momento de assimetria (r = 3). Seu estimador b 1 é dado pela razão do momento amostral de ordem 3 pelo de ordem 2, na potência de 3 2 b1 = m 3 (m 2 ) 3 2 As populações cuja distribuição é simétrica apresentam valor de β1 = 0 As distribuições assimétricas à direita apresentam β 1 > 0 As distribuições assimétricas à esquerda apresentam β 1 < 0 UFOP June 4, / 87

70 Curtose Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição considerado, usualmente, em relação à distribuição normal. Para medir a curtose, define-se o estimador (b 2 ) do coeficiente de curtose β 2 b 2 = m 4 (m 2 ) 2 As distribuições que possuem valores β 2 = 3 são denominadas mesocúrticas As distribuições que possuem valores β 2 > 3 são denominadas leptocúrticas As distribuições que possuem valores β 2 < 3 são denominadas platicúrticas UFOP June 4, / 87

71 As distribuiões leptocúrticas são aquelas que possuem uma concentração de valores próxima ao valor central maior que a da distribuição normal (mesocúrticas). Nas distribuições platicúrticas ocorre o contrário, ou seja, uma menor concentração de valores em torno do valor central da distribuição. UFOP June 4, / 87

72 UFOP June 4, / 87

73 Box-plot Em 1977, John Tukey publicou uma proposta que posteriormente foi reconhecida como sendo um eficiente método para mostrar cinco número que sumarizam qualquer conjunto de dados. O gráfico proposto é chamado de boxplot (também conhecido como gráfico de caixa) e resume as seguintes medidas estatísticas: mediana quantis superior e inferior os valores mínimos e máximos UFOP June 4, / 87

74 Interpretando o Boxplot A caixa (box) propriamente contém a metade 50% dos data. O limite superior da caixa indica o percentil de 75% dos dados e o limite inferior da caixa indica o percentil de 25%. A distancia entre esses dois quantis é conhecida como interquartil. UFOP June 4, / 87

75 Interpretando o Boxplot A linha na caixa indica o valor de mediana dos dados. Se a linha mediana dentro da caixa não é eqüidistante dos extremos, diz-se então que os dados são assimétricos. UFOP June 4, / 87

76 Interpretando o Boxplot Os extremos do gráfico indicam os valores mínimo e máximo, a menos que valores outliers estejam presentes. Os pontos fora do gráfico são então outliers ou suspeitos de serem outliers. UFOP June 4, / 87

77 Vantagens do Boxplot Mostra graficamente a posição central dos dados (mediana) e a tendência. Fornece algum indicativo de simetria ou assimetria dos dados. Ao contrário de muitas outras formas de representar os dados, o boxplots mostra os outliers. Utilizando o boxplot para cada variável categórica lado-a-lado no mesmo gráfico, pode-se facilmente comparar os dados. UFOP June 4, / 87

78 Observações sobre o Boxplot Um detalhe do box-plot é que ele tende a enfatizar as caudas da distribuição, que são os pontos ao extremo nos dados. Também fornece detalhes da distribuição dos dados. Mostrar o histograma em conjunto com o box-plot ajuda a entender a distribuição dos dados, constituindo estes dos gráficos ferramentas importantes na análise exploratória. UFOP June 4, / 87

79 O Boxplot UFOP June 4, / 87

80 Exemplo Os dados a seguir referem-se aos dados de amostras de terra de um Latossolo em determinações analíticas realizadas pelo Laboratório de Análise de Solos da UFLA Construir um boxplot e interpretar os resultados. UFOP June 4, / 87

81 UFOP June 4, / 87

82 Interpretação Avaliando o box plot para os dados de solo, visualizamos que os 25% menores valores referentes aos solos oscilam menos do que os 25% maiores valores referentes aos solos. Além disso percebemos uma assimetria na distribuição desta amostra. Avaliando os 50% dos dados centrais. Os 25% iniciais oscilam mais do que os 25% finais. O que pode ser confirmado com a constução do histograma. UFOP June 4, / 87

83 UFOP June 4, / 87

84 Aqui, podemos ver alguns resultados de medidas descritivas (feitas no Excell)e confirmar as suspeitas de assimetria da distruibuição dos dados UFOP June 4, / 87

85 No Excel, para calcular os coeficientes de Assimetria e Curtose são utilizadas espressões diferentes daquelas apresentadas neste material. Assim, quando as medidas forem obtidas por meio do excell, há que se interpretar da seguinte maneira: UFOP June 4, / 87

86 Assimetria As populações cuja distribuição é simétrica apresentam valor de coeficiente de assimetria = 0 As distribuições assimétricas à direita apresentam coeficiente de assimetria > 0 As distribuições assimétricas à esquerda apresentam coeficiente de assimetria < 0 UFOP June 4, / 87

87 Curtose As distribuições que possuem coeficiente de curtose = 0 são denominadas mesocúrticas As distribuições que possuem coeficiente de assimetria < 0 denominadas leptocúrticas As distribuições que possuem coeficiente de assimetria > 0 são denominadas platicúrticas UFOP June 4, / 87