Aula 4: Medidas Resumo

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1 Aula 4: Professor: José Luiz Padilha da Silva Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba, 2018 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 1 / 28

2 Sumário 1 Coeciente de Variação Boxplots Assimetria José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 2 / 28

3 Coeciente de Variação Coeciente de Variação O coeciente de variação, expresso como um percentual, descreve o desvio padrão S relativo à média, e é dado pelo seguinte: cv = S x 100% O cv não tem unidade de medida e por isso é útil para se comparar a variabilidade de variáveis com unidades de medida diferentes. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 3 / 28

4 Coeciente de Variação Exemplo Considere os tempos de espera na la (em minutos) para os bancos A e B. Banco A 6,5 6,6 7,7 7,1 6,7 7,4 Banco B 5,4 6,7 4,2 7,7 5,8 Calculando os valores médios e de desvio padrão para os dois bancos de dados temos x A = 7, 0, x B = 5, 96, s A = 0, 482 e s B = 1, 324. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 4 / 28

5 Coeciente de Variação Exemplo O coeciente de variação é dado por: CV A = s A xa 100 = 0, = 0, = 6, 9% 7,0 CV B = s B xb 100 = 1, = 0, = 22% 5,96 No banco A, o desvio-padrão corresponde a 6, 9% da média e no banco B corresponde a 22% da média. Então, a variabilidade do tempo de espera no banco B é maior que no banco A. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 5 / 28

6 Tanto a média como o desvio padrão podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados, pois: (a) são afetados, de forma exagerada, por valores extremos; (b) apenas com estes dois valores não temos ideia da simetria ou assimetria da distribuição dos dados. Para contornar esses fatos, outras medidas têm de ser consideradas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 6 / 28

7 Vimos que a mediana é um valor que deixa metade dos dados abaixo dela e metade acima. De modo geral, podemos denir uma medida, chamada quantil de ordem p ou p-quantil, indicada por q(p), em que p é uma proporção qualquer, 0 < p < 1, tal que 100p% das observações sejam menores do que q(p). José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 7 / 28

8 Abaixo alguns quantis e seus nomes particulares. q(0, 25) = q 1 : 1 o Quartil = 25 o Percentil q(0, 50) = q 2 : Mediana = 2 o Quartil = 50 o Percentil q(0, 75) = q 3 : 3 o Quartil = 75 o Percentil q(0, 40) : 4 o Decil q(0, 95) : 95 o Percentil José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 8 / 28

9 Exemplo 3.5 Suponha que tenhamos os seguintes valores de uma variável X : Ordenando os valores, obtemos as estatísticas de ordem x (1) = 2, x (2) = 3,..., x (9) = 15, ou seja, teremos 2 < 3 < 5 < 7 < 8 < 10 < 11 < 12 < 15. Usando a denição de mediana dada, teremos que md = q(0, 5) = q 2 = x (5) = 8. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 9 / 28

10 Exemplo 3.5 Suponha que queiramos calcular os dois outros quartis, q 1 e q 3. A ideia é dividir os dados em quatro partes: Podemos considerar a mediana dos primeiros quatro valores para obter q 1, ou seja, q 1 = = 4 2 e a mediana dos últimos quatro valores para obter q 3, ou seja, q 3 = = 11, 5. Observe que a média dos n = 9 valores é x = 8, 1, próximo à mediana. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 10 / 28

11 Exemplo 3.5 (continuação) Acrescentemos, agora, o valor 67 à lista de nove valores para obtermos os n = 10 valores ordenados: 2 < 3 < 5 < 7 < 8 < 10 < 11 < 12 < 15 < 67 Agora, x = 14, enquanto que a mediana ca q 2 = x (5) + x (6) 2 = 9, que está próxima da mediana dos nove valores originais, mas ambas (8 e 9) relativamente longes de x. Dizemos que a mediana é resistente (ou robusta), no sentido que ela não é muito afetada pelo valor discrepante (ou atípico) 67. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 11 / 28

12 Uma medida de dispersão alternativa ao desvio padrão é a distância interquartil, denida como a diferença entre o terceiro e primeiro quartis, ou seja, d q = q 3 q 1. Para o Exemplo 3.5, temos q 1 = 4, q 3 = 11, 5, de modo que d q = 7, 5. Os quartis q(0, 25) = q 1, q(0, 5) = mediana e q(0, 75) são medidas de localização resistentes de uma distribuição. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 12 / 28

13 Os cinco valores, x (1), q 1, q 2, q 3 e x (n) são importantes para se ter uma boa ideia da assimetria da distribuição dos dados. Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, deveríamos ter: (a) q 2 x (1) x (n) q 2 ; (b) q 2 q 1 q 3 q 2 ; (c) q 1 x (1) x (n) q 3 ; (d) distâncias entre mediana e q 1, q 3 menores do que distâncias entre os extremos e q 1, q 3. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 13 / 28

14 A diferença q 2 x (1) é chamada dispersão inferior e x (n) q 2 é a dispersão superior. A condição (a) nos diz que estas duas dispersões devem ser aproximadamente iguais, para uma distribuição aproximadamente simétrica. A Figura 3.1 ilustra estes fatos para a chamada distribuição normal ou gaussiana. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 14 / 28

15 Distribuição Normal José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 15 / 28

16 Boxplots Boxplot O Box-Whisker Plot, mais conhecido por boxplot, é uma ferramenta gráca apropriada para resumir o conjunto de observações de uma variável quantitativa. Este gráco revela vários aspectos dos dados, dentre eles: tendência central, variabilidade e simetria. O boxplot também possibilita visualizar valores atípicos (outliers). José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 16 / 28

17 Boxplots Outliers ou Observações Atípicas São valores muito altos ou muito baixos em relação aos demais dados coletados. Podem ser divididos em dois tipos: (i) Não genuíno: erro de digitação, medição ou erro de execução do experimento. (ii) Genuíno: Não são resultantes de erros e são valores importantes ao estudo, podendo repetir informações valiosas sobre a característica que está sendo estudada. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 17 / 28

18 Boxplots Outliers ou Observações Atípicas Em caso de valores atípicos não genuínos, estes valores devem ser corrigidos se for possível ou excluídos do conjuntos de observações. No caso de valores atípicos genuínos, essas observações devem permanecer no banco de dados e especial cuidado deve ser tomado ao prosseguir com a análise. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 18 / 28

19 Boxplots Boxplot José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 19 / 28

20 Boxplots Boxplot Para construir este diagrama, consideremos um retângulo onde estão representados a mediana e os quartis. A partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto mais remoto que não exceda LS = q 3 + (1, 5)d q, chamado limite superior. Similarmente, para baixo, segue uma linha até o ponto mais remoto que não seja menor do que LI = q 1 (1, 5)d q, chamado limite inferior. As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior estabelecidos serão representadas por asteriscos, e podem ou não, ser o que chamamos de outliers ou valores atípicos. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 20 / 28

21 Boxplots Boxplot O boxplot dá uma ideia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes. A posição central é dada pela mediana e a dispersão por d q. As posições relativas de q 1, q 2, q 3 dão uma noção da assimetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 21 / 28

22 Boxplots Exemplo 3.8 Considere dados (IBGE, 1996) dos 15 maiores municípios do Brasil, ordenados pelas populações (em habitantes). Para estes dados foram obtidos q 1 = 105, 7, q 2 = 135, 8, q 3 = 208, 6. Então, LI =q 1 (1, 5)d q = 105, 7 (1, 5)(102, 9) = 48, 7, LS =q 3 + (1, 5)d q = 208, 6 + (1, 5)(102, 9) = 362, 9. Então, as cidades com populações acima de habitantes são pontos exteriores. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 22 / 28

23 Boxplots José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 23 / 28

24 Boxplots Outliers A justicativa para usarmos os limites acima, LI = q 1 (1, 5)d q e LS = q 3 + (1, 5)d q, para denir as observações atípicas é a seguinte: considere uma curva normal com média zero e, portanto, com mediana zero. É fácil vericar que q 1 = 0, 6745, q 2 = 0, q 3 = 0, 6745 e portanto d q = 1, 349. Segue-se que os limites são LI = 2, 698 e LS = 2, 698. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 24 / 28

25 Boxplots Outliers A área entre estes dois valores, embaixo da curva normal, é 0, 993, ou seja, 99, 3% da distribuição está entre estes dois valores. Isto é, para dados com uma distribuição normal, os pontos exteriores constituirão cerca de 0, 7% da distribuição. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 25 / 28

26 Boxplots Distribuição Normal José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 26 / 28

27 Assimetria Assimetria No boxplot, se a caixa está mais deslocada para um dos lados da linha, signica que metade dos dados estão concentrados naquele lado da escala de valores e, assim, a distribuição é assimétrica. Se a caixa está praticamente no meio da linha, dividindo-a em duas partes iguais, é distribuição será considerada simétrica. A gura a seguir ilustra o caso de dados assimétricos. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 27 / 28

28 Assimetria Assimetria Simétrica: Média = Mediana = Moda. Assimétrica à direita: Moda < Mediana < Média. Assimétrica à esquerda: Média < Mediana < Moda. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 28 / 28