Grupo A - I semestre de 2014 Lista de exercícios 2 - Introdução à Estatística Descritiva C A S A (gabarito)

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1 Exercício 1. (2,0 pontos). Um pesquisador pretende comparar o tempo de reação (segundos) para dois tipos diferentes de estímulos visuais, A e B. Na tabela abaixo, esses tempos foram obtidos para 20 e 19 indivíduos (de mesma faixa etária) submetidos aos estímulos visuais A e B, respectivamente. Tempos de Reação Estímulo A Estímulo B (20 indivíduos) (19 indivíduos) (a) (1,0 pontos). Obtenha média, mediana, variância, desvio padrão e coeficiente de variação dos tempos de reação para cada estímulo (A e B). Para qual estímulo o tempo de reação é mais rápido? Compare os estímulos quanto à variação dos tempos de reação. Estímulo A: Média ( x), x = n i=1 x i n = = = 16,85. Mediana (M d ), Primeiro ordenamos os dados: 1, 2, 2, 7, 7, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 19, 23, 28, 30, 45, 55; e calculamos a posição da mediana como n+1 2 = = 11,5, Neste caso como n é par então a mediana é a média dos dados nas duas posições centrais, os seja, nas posições 10 e 11, deste modo, temos: M d = = 13. Variância (s 2 ), Página 1 de 25

2 s 2 = De outra forma, n i=1 (x i x) 2 n 1 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) 2 + +(x n x) 2 n 1 = (55 16,85)2 +(11 16,85) 2 +(2 16,85) 2 + +(1 16,85) 2 +(7 16,85) = 3620,55 19 = 190, s 2 = n i=1 x2 i n x2 n 1 = x2 1 +x x2 15 n x2 n 1 = (20)(16,85) = 9299 (20)(16,85)2 19 = 190, Desvio padrão (s 2 ), s = s 2 = 190, = 13, Coeficiente de variação (CV = (s/ x) 100%), CV = 13, ,85 100% = 81, %. Estímulo B: Média ( x), x = n i=1 x i n = = = 10, Página 2 de 25

3 Mediana (M d ), Primeiro ordenamos os dados: 1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 20, 25, 26, 35; e calculamos a posição da mediana como n+1 2 = = 10, e dado que n é ímpar então a mediana é o dado ordenado na posição 10, isto é, M d = 7. Variância (s 2 ), s 2 = n i=1 (x i x) 2 n 1 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) 2 + +(x n x) 2 n 1 = (20 10,1579)2 +(5 10,1579) 2 +(5 10,1579) 2 + +(25 10,1579) 2 +(3 10,1579) = 1610, = 89, De outra forma, s 2 = n i=1 x2 i n x2 n 1 = x2 1 +x x2 15 n x2 n 1 = (19)(10,157) = 3571 (19)(16,85)2 18 = 89,4737. Desvio padrão (s 2 ), s = s 2 = 89,4737 = 9, Coeficiente de variação (CV = (s/ x) 100%), CV = 9, % = 93,1202%. 10,1579 Página 3 de 25

4 Tabela 1: Medidas descritivas para o tempo de reação segundo o estímulo visual. Tempos de reação Medidas descritivas Estímulo A Estímulo B Média ( x) 16,85 10,16 Mediana (M d ) 13 7 Variância (s 2 ) 190,56 89,47 Desvio padrão (s) 13,80 9,46 Coef. Variação (CV) 81,92% 93,12% Segundo os resultados da Tabela 1, o estímulo B é mais rápido que o estímulo A, pois o estímulo B apresentou tempos médios de reação menor (10,16) que o estímulo A (16,85). Pode-se observar também que a mediana dos tempos de reação do estímulo A (13) é quase duas vezes a mediana dos tempos de reação do estimulo B (7). Além disso, os tempos de reação do estímulo A são mais homogêneos que os tempos de reação do estímulo B, pois o estímulo A apresentou coeficiente de variação um pouco menor (81,92%) que o estímulo B (93,12%). (b) (1,0 pontos). Construa (à mão), em um mesmo gráfico, o boxplot do tempo de reação para cada um dos estímulos. Comente a dispersão, pontos extremos e simetria dos dados, em cada caso. Estímulo A: Dados ordenados: 1, 2, 2, 7, 7, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 19, 23, 28, 30, 45, 55; Quartil 1: Q 1 = Percentil 25 = dado ordenado na posição 0,25(20+1) = 5,25; neste caso, média dos dados nas posições 5 e 6 Q 1 = = 9. Quartil 2: Q 2 = Percentil 50 = Mediana =dado ordenado na posição 0,50(20+1) = 10,5; neste caso, média dos dados nas posições 10 e 11 Q 2 = = 13. Quartil 3: Página 4 de 25

5 Q 3 = Percentil 75 = dado ordenado na posição 0,75(20 + 1) = 15,75; neste caso, média dos dados nas posições 15 e 16 Q 3 = = 21. LI = Q 1 1,5 (Q 3 Q 1 ) = 9 1,5 (21 9) = 9. LS = Q 3 +1,5 (Q 3 Q 1 ) = 21+1,5 (21 9) = 39. Mínimo: é o menor valor maior que LI, Mínimo=1. Máximo: é o maior valor menor que LS, Máximo=30. Estímulo B: Dados ordenados: 1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 20, 25, 26, 35; Quartil 1: Q 1 = Percentil 25 = dado ordenado na posição 0,25(19+1) = 5; então Q 1 = 3. Quartil 2: Q 2 = Percentil 50 = Mediana =dado ordenado na posição 0,50(19+1) = 10; então, Q 2 = 7. Quartil 3: Q 3 = Percentil 75 = dado ordenado na posição 0,75(19 + 1) = 15; então Q 3 = 12. LI = Q 1 1,5 (Q 3 Q 1 ) = 3 1,5 (12 3) = 10,5, então LI = 0. LS = Q 3 +1,5 (Q 3 Q 1 ) = 12+1,5 (12 3) = 25,5. Mínimo: é o menor valor maior que LI, Mínimo=1. Máximo: é o maior valor menor que LS, Máximo=25. A Tabela 2 apresenta o resumo das estatísticas descritivas úteis para a construção do gráfico boxplot para os dois grupos. A Figura 1 apresenta os gráficos boxplot para o tempo de reação para cada estímulo. Podese observar nos gráficos que os tempos de reação para o estímulo B são mais homogêneos que os tempos de reação de estímulo A, pois o retângulo para o estimulo B é menor do que o estímulo A. Há dois tempos de reação discrepantes à direita para o estímulo A, e dois tempos de reação discrepantes a direita para o estímulo B. Também pode-se observar que distribuição dos tempos de reação para os dois estímulos parecem ser assimétricas a direita, e a assimetria para o estímulo A é um pouco maior do que o estímulo B. Finalmente, o tempo de reação para o estímulo A é maior do que para o estímulo B. Página 5 de 25

6 Tabela 2: Medidas descritivas para a construção do boxplot. Tempos de reação Medidas descritivas Estímulo A Estímulo B Mínimo 1 1 Quartil 1 (Q 1 ) 9 3 Mediana (M d ) 13 7 Quartil 3 (Q 3 ) Máximo Média x 16,85 10, Tempo de reação Estímulo A Estímulo B Figura 1: Gráficos boxplot para o tempo de reação para os estímulos. Página 6 de 25

7 Exercício 2. (1,0 pontos). Considere os dados abaixo sobre distribuição de salário (em reais) num grupo de 1000 indivíduos. Classe de Salário Total Frequência , , , , ,10 Construa os histogramas pelos métodos de frequência e densidade. Qual deve ser utilizado? Justifique. A Tabela 3 apresenta a distribuição do salário dos 1000 indivíduos. A densidade para cada classe é obtida a dividindo-se a frequência da cada classe por sua respectiva amplitude. Tabela 3: Distribuição do salário (em reais) dos 1000 indivíduos. Classe de Salário Frequência Densidade ,40 0,40/500=0, ,20 0,20/500=0, ,15 0,15/500=0, ,15 0,15/1000=0, ,10 0,10/2000=0,00005 Na Figura 2 são apresentados os histogramas para os salários dos 1000 indivíduos baseados no método de frequência e no método de densidade. O histograma que deve ser utilizado é o baseado no método de densidade, pois as classes têm comprimento desiguais, e portanto para que a representação seja correta, as áreas dos retângulos têm que ser proporcionais às frequências das classes. Página 7 de 25

8 Método de frequência Método de densidade Frequência Densidade 0e+00 2e 04 4e 04 6e 04 8e Salário (em reais) Salário (em reais) Figura 2: Histogramas dos salário usando o método de frequência (esquerda) e densidade (direita). Exercício 3. (2,5 pontos). Uma indústria, desejando melhorar o nível de seus funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, notas e graus obtidos no curso estão na tabela 4. Tabela 4: Dados para os 25 funcionários. Funcionário Seção Direito Política Estatística Inglês Metodologia 1 Pessoal B A 2 Pessoal 9 6,5 9 B C 3 Pessoal D B 4 Pessoal D C 5 Pessoal 9 6,5 9 A A 6 Pessoal 9 6,5 10 B A 7 Pessoal D C 8 Técnica B C 9 Técnica B B 10 Técnica B C 11 Técnica C B 12 Técnica 9 6,5 7 D B 13 Técnica B C 14 Técnica A B 15 Vendas C B 16 Vendas A A 17 Vendas D C 18 Vendas C C 19 Vendas D C 20 Vendas C B 21 Vendas 9 6,5 7 D B 22 Vendas C A 23 Vendas C C 24 Vendas 9 6,5 9 A A 25 Vendas B A Página 8 de 25

9 (a) (0,5 pontos). Classifique as variáveis listadas. Seção a que pertencem os funcionários (Seção): Qualitativa nominal. Nota obtida no curso (Direito, Política e Estatística): Quantitativa contínua. Grau obtido no curso (Inglês e metodologia): Qualitativa ordinal. (b) (0,5 pontos). Calcule média, moda, mediana e desvio padrão das variáveis Direito, Política e Estatística. Usaremos o R-commander no desenvolvimento deste exercício. Para isto vamos a carregar arquivo INDUSTRIA.xls. Os passos para obter as medidas descritivas são os seguintes: Página 9 de 25

10 Passo 1: Carregar os dados escolhendo as opções: Dados Importar arquivo de dados from Excel file... Passo 2: Dar um nome ao conjunto de dados, INDUSTRIA Passo 3: Carregar o arquivo INDUSTRIA.xls, Página 10 de 25

11 Passo 4: Escolher as opções, Estatísticas Resumos Resumos numéricos Passo 5: Escolher as variáveis de interesse em Dados (Direito, Estatística e Política), Passo 6: Escolher as estatísticas de interesse em Estatísticas (Média, Desvio Padrão e Quantis), Página 11 de 25

12 Os resultados são os seguintes: mean sd 0% 25% 50% 75% 100% n Direito Estatística Política A Tabela 6 apresenta as estatísticas descritivas para as variáveis direito, estatística e política. Tabela 5: Medidas descritivas. Estatísticas Descritivas Variável Média DP Q 1 Q 2 (Mediana) Q 3 Direito 9,00 0,000 9,00 9,00 9,00 Estatística 8,12 1,764 8,00 8,00 9,00 Política 7,76 1,672 6,00 6,50 9,00 (c) (0,75 pontos). Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições das variáveis Direito, Política e Estatística, utilizando o boxplot e as medidas calculadas em (b). O gráfico boxplot para as variáveis Direito, Política e Estatística pode ser obtido no R- commander usando as seguintes opções: Página 12 de 25

13 Passo 1: Escolher as opções, Gráficos Boxplot Passo 2: Escolher as varáveis para as quais vamos obter o gráfico boxplot (Direito, Estatística e Política ), Na Figura 3 são apresentados os gráficos boxplot para as variáveis Direito, Política e Estatística. Pode-se observar o seguinte: A variável Direito não apresentou variabilidade, enquanto que a variável Política apresentou a maior variabilidade. As variáveis Política e Estatística parecem ser assimétricas a direita. Página 13 de 25

14 Há uma observação discrepante na variável Estatística, enquanto que nas variáveis Direito e Política não há. A média e a mediana das notas das variáveis Direito, Estatística e Política parecem ser diferentes. Nota Direito Política Estatística Curso Figura 3: Gráficos boxplot para as notas dos cursos Direito, Política e Estatística. (d) (0,75 pontos). Compare o aproveitamento dos funcionários na disciplina Estatística segundo a seção a que eles pertencem. O gráfico boxplot pode ser obtido seguindo o mesmo procedimento do exercício anterior escolhendo as seguintes opções: Gráficos Boxplot Dados (Estatística) Grupos (seção) Página 14 de 25

15 A Figura 4 apresenta o gráfico boxplot para a disciplina Estatística segundo a seção a que pertencem. Estatística Pessoal Técnica Vendas Seção Figura 4: Gráficos boxplot para a disciplina Estatística segundo a seção a que pertencem. A mediana das notas dos funcionários nas seções técnica e vendas é igual, enquanto que a mediana da seção pessoal parece ser um pouco maior. Há uma observação discrepante na seção de vendas, enquanto nas demais seções tipos não existem. As notas dos funcionários na seção pessoal é mais homogênea, enquanto que a seção vendas apresentou maior variabilidade. As distribuições das notas nas seções pessoal e técnica parecem ser assimétricas. Página 15 de 25

16 Exercício 4. (4,5 pontos). Considere o arquivo Dados-CEA09P08.xls, que contém dados de 890 pacientes com insuficiência cardíaca, referente ao estudo Fração de ejeção do ventrículo esquerdo em pacientes com insuficiência cardíaca. O coração é constituído por uma musculatura estriada cardíaca e divide-se em: átrio direito, átrio esquerdo, ventrículo direito e ventrículo esquerdo. Nos movimentos de contração, o coração ejeta o sangue dos ventrículos e, nos movimentos de relaxamento, ocorre o preenchimento dos mesmos. A fração de ejeção é a porcentagem de sangue bombeado pelo ventrículo esquerdo a cada batimento cardíaco. Em pacientes com diagnóstico de insuficiência cardíaca, a fração de ejeção do ventrículo esquerdo pode estar tanto preservada como diminuída e o principal objetivo do estudo era avaliar a fração de ejeção em pacientes com insuficiência cardíaca. Considere apenas as variáveis Fração de ejeção (frej) e diagnóstico (diag). A variável diagnóstico está codificada da seguinte forma: 1 doença de chagas; 2- doença cardíaca hipertensiva; 3- miocardiopatia isquêmica; 4 insuficiência cardíaca não especificada; 5 outras doenças. (a) (0,5 pontos). Construa o histograma com a distribuição da variável fração de ejeção. O procedimento para carregar os dados é o mesmo que o utilizado no exercício anterior. Para a construção do histrograma, seguimos os seguintes passos: Passo 1: Gráficos Histograma.. Passo 2: Dados (frej) Opções... Página 16 de 25

17 A Figura 5 apresenta o histrograma para a variável fração de ejeção. Histograma para a fração de ejeção Percentagem Fração de ejeção Figura 5: Histograma para a fração de ejeção dos pacientes. (b) (1,0 pontos). Considere a variável diagnóstico (diag). Converta essa variável para uma variável categorizada com as categorias descritas no enunciado. Obtenha uma representação gráfica desta variável, bem como uma tabela de distribuição de frequências. Os passos para converter a variável diag numa nova variável categorizada chamada novo diag estão descritos a seguir. Página 17 de 25

18 Passo 1: Passo 2: Passo 3: Página 18 de 25

19 A tabela de frequências é obtida usando as opções: Estatísticas Resumos Distribuições de frequências (Escolher a variável novo diag). Passo 1: Passo 2: Os resultados obtidos são os seguintes:.table # counts for novo_diag Chagas Hipertensiva Isqu^emica N~ao especificada Outras doenças round(100*.table/sum(.table), 2) # percentages for novo_diag Chagas Hipertensiva Isqu^emica N~ao especificada Outras doenças Página 19 de 25

20 Tabela 6: Distribuição de frequências para a variável categórica novo diag Diagnóstico Total Frequência (percentagem) Doença de Chagas ,37% Cardíaca hipertensiva ,01% Miocardiopatia isquêmica ,85% Insuficiência Cardíaca 96 10,79% Outras doenças 71 7,98% Representações gráficas podem ser obtidas no R-commander como: Os gráficos de barra e de setores são apresentados na Figura 6. Gráfico de barras para o diagnóstico Gráfico de setores para o diagnóstico Frequência Isquêmica Hipertensiva Chagas Outras doenças Nâo_Especifica Chagas Hipertensiva Isquêmica Não Especi Outras Diagnóstico Diagnóstico Figura 6: Gráfico de barras e de setores para a variável diagnóstico. Página 20 de 25

21 (c) (0,5 pontos). Construa o boxplot da fração de ejeção para cada diagnóstico. Comente. A Figura 7 apresenta o boxplot para a nova variável categórica diagnóstico. Comentários: Fração de ejeção Chagas Hipertensiva Isquêmica Não Especi Outras Diagnóstico Figura 7: Boxplot para a fração de ejeção segundo o diagnóstico diagnóstico. A mediana da fração de ejeção para pacientes com miocardiopatia isquêmica parece ser um pouco maior do que a mediana das demais doenças, que parecem ser muito próximas. Há observações discrepantes nas frações de ejeção dos pacientes com doença cardíaca hipertensiva, doenças não especificadas e outras doenças. As frações de ejeção dos pacientes com miocardiopatia isquêmica apresentaram maior variabilidade do que as demais. As distribuições das frações de ejeção para os pacientes parecem ser assimétricas, mas a assimetria nos pacientes com doença cardíaca hipertensiva, doenças não especificadas e outras doenças parece ser um pouco menor. Página 21 de 25

22 (d) (0,5 pontos). Obtenha medidas resumo (média, mediana, quartis, desvio padrão) para a fração de ejeção para cada diagnóstico. Comente. A Tabela 7 apresenta as estatísticas descritivas para a variável fração de ejeção para cada diagnóstico. Tabela 7: Medidas descritivas. Estatísticas Descritivas Diagnóstico Média DP Q 1 Q 2 (Mediana) Q 3 Doença de Chagas 40,252 17,841 26,5 34,0 52,5 Cardíaca hipertensiva 37,802 15,329 25,5 33,0 45,0 Miocariopatia isquêmica 44,249 18,115 29,0 40,0 60,0 Insuficiência Cardíaca 35,510 15,005 24,0 33,5 43,0 Outras doenças 36,746 16,504 25,0 31,0 44,0 Comentários: Os pacientes com miocardiopatia isquêmica apresentaram maior média e mediana nas frações de ejeção, e as médias e medianas das frações de ejeção dos pacientes com doença cardíaca hipertensiva, insuficiência Cardíaca e Outras doenças parecem ser iguais. As frações de ejeção dos pacientes com miocardiopatia isquêmica apresentaram maior variabilidade, e os pacientes com insuficiência Cardíaca e doença cardíaca hipertensiva parecem ser mais homogêneas. (e) (0,75 pontos). A variável FrejCod é uma modificação da variável Fração de ejeção, feita da seguinte forma: os pacientes com fração de ejeção menores do que 55% foram codificados como Diminuída e como Preservada os pacientes com fração de ejeção maior ou igual a 55%. Construa uma tabela de distribuição de frequências para a variável FrejCod e represente graficamente a distribuição dessa variável. A distribuição de frequências e a representação gráfica de variável FrejCod pode ser obtida no R-commander seguindo os mesmos passos como no item b). A Tabela 8 apresenta a distribuição de frequências. Página 22 de 25

23 Tabela 8: Distribuição de frequências para a variável FrejCod Fração de ejeção Total Frequência Percentagem Diminuída 231 0, ,96% Preservada 659 0, ,04% Os respectivos gráficos de barra e de setores são apresentados na Figura 8. Gráfico de barras para a variável FejCod Gráfico de setores para a variável FrejCod Frequência Preservada Diminuida Diminuida Preservada Fração de ejeção Fração de ejeção Figura 8: Gráfico de barras e de setores para a variável fração de ejeção. (f) (0,75 pontos). Considerando a variável FrejCod, obtenha a distribuição de frequências dessa variável para cada diagnóstico separadamente. Dica: No menu Estatísticas, clicar em Tabelas de contingência, depois em Tabela de dupla entrada. Escolher a variável diag na variável linha e a variável FrejCod na variável coluna. Clicar na opção sem percentual. Repetir o mesmo procedimento clicando na opção percentual nas linhas. Os resultados obtidos usando o R-commander são os seguintes: Página 23 de 25

24 Table FrejCod novo_diag Diminuida Preservada Chagas Hipertensiva Isqu^emica N~ao Especi 9 87 Outras FrejCod novo_diag Diminuida Preservada Total Count Chagas Hipertensiva Isqu^emica N~ao Especi Outras Usando os resultados anteriores podemos obter as seguintes tabelas de distribuições de frequências para cada diagnóstico separadamente: Tabela 9: Distribuição de frequências para as categorias da variável diagnóstico Diagnóstico Fração de ejeção Total Frequência Percentagem Doença de Chagas Diminuída 29 0,244 24,4% Preservada 90 0,756 75,6% Cardíaca hipertensiva Diminuída 35 0,187 18,7% Preservada 152 0,813 81,3% Miocariopatia isquêmica Diminuída 145 0,348 34,8% Preservada 272 0,652 65,2% Insuficiência Cardíaca Diminuída 9 0,094 9,4% Preservada 87 0,906 90,6% Outras doenças Diminuída 13 0,183 18,3% Preservada 58 0,817 81,7% Página 24 de 25

25 (g) (0,25 pontos). Dos pacientes com doença de chagas, qual é a proporção com fração de ejeção diminuída? Dos pacientes com miocardiopatia isquêmica, qual é a proporção com fração de ejeção diminuída? Baseados na Tabela 9 podemos observar que dos pacientes com doença de chagas, a proporção com fração de ejeção diminuída é 24,4%. Dos pacientes com miocardiopatia isquêmica, a proporção com fração de ejeção diminuída é 34,8%. (h) (0,25 pontos). A fração de ejeção está relacionada com o diagnóstico do paciente? Segundo os resultados da Tabela 9 podemos concluir que fração de ejeção sim está relacionada com o diagnóstico do paciente, pois as distribuições de frequências para as diferentes categorias do diagnóstico diferem uma da outra. Página 25 de 25