Aula 03. Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas. Parte 1 Medidas de Tendência Central

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Aula 03. Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas. Parte 1 Medidas de Tendência Central"

Joaquim Rico Lacerda
5 Há anos
Visualizações:

1 Aula 03 Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas Parte 1 Medidas de Tendência Central Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

2 2. Medidas de Tendência Central dos Dados Para uma variável quantitativa, uma medida de centralidade ou de posição é um valor típico ou representativo de um conjunto de dados, em torno do qual se situam os valores daquela variável. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 2

3 2. Medidas Tendência Central dos Dados Média Separatrizes Moda Mediana Decil Quartil Percentil Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 3

4 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 4 Média Aritmética Sejam x 1, x 2,..., x n os n valores observados da variável X. A média aritmética dos dados é definida por: a) Série de valores e distribuição de freqüência por valores: onde, f i = freqüência absoluta da i-ésima observação. n x n x x x X n i i n = = = n f x f f f f x f x f x X n i i i n n n = = =

5 Média Aritmética b) Distribuição de freqüência por classes de valores: X PM f + PM f + f f f PM n n i= 1 = = 1 2 n f n PM n i f i onde, PM i = ponto médio da i-ésima classe. f i = freqüência absoluta da i-ésima classe. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 5

6 Exemplo Sejam os pesos, em Kg, de 10 recém-nascidos: 2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0 O peso médio é de 3,1 Kg. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 6

7 Propriedades da Média Aritmética É influenciada por valores extremos! Mais informativa no caso de distribuições aproximadamente simétricas. A soma de todos os desvios em relação à média é zero: n i= 1 ( x i x) = A média corresponde ao ponto que minimiza a soma de quadrados dos desvios: 0 n i= 1 ( x i x) 2 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 7

8 Mediana Valor que determina a posição central de uma distribuição de dados, tendo 50% deles a sua direita e 50% a sua esquerda. Sejam x (1), x (2),..., x (n) os mesmos valores que compõem a amostra dispostos em ordem crescente. A mediana dos dados é: { Md = se n ímpar, valor da observação de posição central, ou seja n+ 2 se n par, média dos valores de posição central, ou seja x 1 x + n x n Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 8

9 Exemplo Sejam os pesos, em Kg, de 10 recém-nascidos: 2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0 O peso mediano é de 3,15 Kg. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 9

10 Propriedades da Mediana Não é influenciada por valores extremos, podendo ser utilizada em distribuições assimétricas. Não admite tratamento algébrico, isto é, o conhecimento das medianas de diversos conjuntos de dados não permite calcular a mediana da reunião dos mesmos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 10

11 Moda Valor da amostra que ocorre com maior freqüência. Em uma distribuição de dados, a moda pode não existir e, quando existe, pode não ser única. Logo, temos as seguintes classificações: Amodal não existe valor dominante Unimodal existe somente uma moda dominante Bimodal existem dois valores dominantes Multimodal existem mais de dois valores dominantes Não é influenciada por valores extremos. Não admite tratamento algébrico. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 11

12 Exemplo Sejam os pesos, em Kg, de 10 recém-nascidos: 2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0 O peso modal é de 3,2 Kg. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 12

13 Quartis, Decis e Percentis O percentil de ordem k (onde k é qualquer valor entre 0 e 100), denotado por P k, é o valor tal que k% dos valores do conjunto de dados são menores ou iguais a ele. Assim, o percentil de ordem 10, o P 10, é o valor da variável tal que 10% dos valores são menores ou iguais a ele. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 13

14 Quartis, Decis e Percentis De modo geral, para se obter o percentil de ordem k, denotado por P k, após ordenar os dados, calcula-se o valor k L=. 100 n Se L for inteiro, o valor do P k é a média entre o L-ésimo e o (L+1)-ésimo valores a contar do menor. Se L não for inteiro, arredonde L para o maior inteiro mais próximo, e o valor de P k será o L-ésimo valor a contar do menor. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 14

15 Exemplo: Considere as notas finais dos 40 candidatos ao curso de Direito no Vestibular de certa faculdade, já colocadas em ordem crescente: Primeiro Quartil: 25% de 40 = 10. Então o Q1 = média(10o e 11o valores)=(49+51)/2 = 50. Terceiro Quartil: 75% de 40 = 30. Então o Q3 = média(30o e 31o valores)=(86+86)/2 = 86. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 15

16 3. Medidas que Descrevem o Formato 1. Descreve como os dados estão distribuídos 2. Medidas: assimetria e curtose Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 16

17 Assimetria Assimetria significa desvio ou afastamento da simetria. É o grau de deformação de uma curva de freqüências. % ,5% % 25% 6 6,25% 6,25% Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 17 Valores da variável em estudo

18 Quanto ao grau de deformação ou assimetria, pode-se ter três tipos de curvas de freqüências: Curva Simétrica Curva Assimétrica Positiva (ou deformada à direita) Curva Assimétrica Negativa (ou deformada à esquerda) Assimétrica à Esquerda Média Mediana Moda Simétrica Média= Mediana= Moda Assimétrica à Direita Moda MedianaMédia Média X Md Mo X =Md =Mo Mo Md X Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 18

19 Índice de Assimetria Momento Central de terceira ordem m 3 = 1 n x i x 3 Se m 3 0, a distribuição é assimétrica positiva (à direita). Se m 3 0, a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda). Se m 3 =0, a distribuição é simétrica. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 19

20 Curtose A curtose indica até que ponto a curva de freqüência de uma distribuição se apresenta mais afilada ou mais achatada do que uma curva normal

21 Índices de Curtose Coeficiente Percentílico de Curtose K = Q 2(P 3 90 Q P 1 10 ) Se k = 0,263 Curva Mesocúrtica Se K > 0,263 Curva Platicúrtica Se K < 0,263 Curva Leptocúrtica

22 Índices de Curtose Coeficiente Curtose de Fisher 2 = m 4 s 4 3 em que, m 4 é o momento central de quarta ordem dado por m 4 = 1 n x i x 4 Leptocúrtica: quando 2 0, ou seja, quando a distribuição de frequências é mais achatada que o normal; Mesocúrtica: quando, 2 =0 ou seja, quando a distribuição de frequências é tão achatada quanto o normal; Platicúrtica: quando 2 0, ou seja, quando a distribuição de frequências é menos achatada que o normal.

23 4. Resumo de 5-Números O resumo de 5-números associa os limites inferior e superior do conjunto de dados aos quartis, fornecendo uma idéia bastante razoável da dispersão, da tendência central e da forma da distribuição, isto é, do grau de deformação. O resumo de 5-números pode ser encontrado na seguinte forma: l Título Q 1 Med Q 3 L Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 23

24 4.1. Boxplot É uma representação gráfica dos dados através de seu resumo de 5-números. O Boxplot fornece informações importantes sobre o comportamento dos dados, como a simetria e variabilidade, e auxilia na detecção de outliers. Para sua construção é necessário ter: O primeiro quartil (Q 1 ) A mediana (Med) O terceiro quartil (Q 3 ) O desvio interquartílico (DQ = Q 3 Q 1 ) Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 24

25 Os pontos que estão a mais de 1,5 DQ do quartil correspondente até 3,0 DQ são chamados pontos externos (outliers) e os que estão a mais de 3,0 DQ, pontos soltos (extremos). Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 25

26 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 26

27 Causas do aparecimento de outliers Leitura, anotação ou transcrição incorreta dos dados. Erro na execução do experimento ou na tomada da medida. Mudanças não controláveis nas condições experimentais ou dos pacientes. Características inerentes à variável estudada (por exemplo, grande instabilidade do que está sendo medido. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 27

28 Medidas a serem tomadas após detectar outliers O outliers deve ser abandonado quando houver justificativa convincente para isto. (Por exemplo: erro na execução do experimento ou na medida tomada. Após a eliminação do outliers pode-se fazer a análise estatística com o restante dos dados. Se não houver explicação para a existência do outliers, este pode refletir uma característica do que esta sendo estudado. Neste caso, a a observação é incluída na análise e um tratamento especial deve ser dado aos dados. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 28

29 Exemplo: Os dados a seguir fornecem a duração média do ciclo menstrual, em fase de pré-ovulação, de 21 mulheres sadias, as quais estavam usando métodos naturais de planejamento familiar. 22,9 26,3 26,6 26,8 26,9 26,9 27,5 27,6 27,6 28,0 28,4 28,4 28,5 28,8 28,8 29,4 29,9 30,0 30,3 31,2 31,8 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 29

30 Realizando os cálculos iniciais temos: Q 1 = 26,9 Med = 28,4 Q 3 = 29,4 DQ = 29,4 26,9 = 2,5 (Desvio interquartílico) 1,5. DQ = 3,75 3,0. DQ = 7,5 n = 21 Med Quartis Limites Duração Média do Ciclo Menstrual 28,4 26,9 29,4 22,9 31,8 Limites para outliers Q 1-1,5. DQ = 23,15 Q 3 + 1,5. DQ = 33,15 Q 1-3,0. DQ = 19,4 Q 3 + 3,0. DQ = 36,9 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 30

31 CICLO Non-Outlier Max = 31 Non-Outlier Min = 26 75% = 29,4 25% = 26,9 Median = 28,4 Outliers Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 31

Documentos relacionados

Aula 03. Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas. Parte 1 Medidas de Tendência Central

Aula 03. Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas. Parte 1 Medidas de Tendência Central Aula 03 Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas Parte 1 Medidas de Tendência Central Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1 Medidas de Tendência Central dos Dados Para uma variável quantitativa, uma medida