TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA

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1 TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA

2 Conteúdo 2 Ewaldo Santana Introdução

3 3 Ewaldo Santana Introdução Testes estatísticos paramétricos, tais como o teste-t e Análise de Variância, são baseados em particular suposições, ou parâmetros. Estes parâmetros são que os dados são aleatoriamente retirados de uma população normal, consistem em amostras independentes, são medidos usando uma escala intervalar ou de razão e as amostras devem ter variâncias aproximadamente iguais. Se os dados amostrais violam uma ou mais dessas suposições, deve-se considerar usar os métodos não paramétricos

4 4 Ewaldo Santana Introdução Definição: dados n observações de uma variável quantitativa e um número x real qualquer, indicar-se-á por N(x) o número de observações menores ou iguais a x, e chamar-se-á de função de distribuição empírica (f.d.e.) a função F e (x)

5 5 Ewaldo Santana Introdução Ex. Seja a tabela abaixo que consta o número de filhos de 20 funcionários de uma Companhia. Nº de filhos Quantidade de funcionários TOTAL 20

6 6 Ewaldo Santana Introdução Da tabela podemos obter sua f.d.e. Nº de filhos Quantidade de funcionários f.d.e 0 4 0, , , ,

7 7 Ewaldo Santana Introdução

8 8 Ewaldo Santana O teste de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra é baseado na diferença entre a função de distribuição cumulativa F 0 (x) e a função de distribuição empírica da Amostra F e (x). Suponha que tenhamos uma amostra X 1,..., X n de uma população P, sobre a qual estamos considerando uma v.a. X. Designemos por f(x) a função densidade e por F(x) a função de distribuição acumulada (f.d.a) de X. Estimar f(x) é equivalente a estimar F(x). Nosso objetivo é testar se a amostra observada veio de uma distribuição de probabilidade especificada.

9 9 Ewaldo Santana Nossa hipótese nula será: Vamos considerar a função de distribuição empírica (f.d.e), F e (x), como um estimador de F(x), para todo valor x real.

10 10 Ewaldo Santana Observe a figura abaixo F e (x) F(x) Se F e (x) for um bom estimador de F(x) as duas curvas devem estar próximas

11 11 Ewaldo Santana D n Seja D n a diferença entre F e (x n ) e F(x n ) D n = F(x (n) ) - F e (x (n) ) x (n)

12 12 Ewaldo Santana Kolmogorov e Smirnov propuseram tomar o máximo dos valores absolutos dos D n como estatística do teste. O valor encontrado deve ser comparado com um valor crítico, obtido da tabela da distribuição de Kolmogorov-Smirnov, fixado um nível de significância do teste. Se for maior que o valor tabelado, rejeitamos H 0.

13 13 Ewaldo Santana Distribuição de Kolmogorov-Smirnov D O corpo da tabela dá os valores D c tais que P( D D c ) = p (n) 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01 1 0,900 0,925 0,950 0,975 0, ,684 0,726 0,776 0,842 0, ,565 0,597 0,642 0,708 0, ,494 0,525 0,564 0,624 0, ,446 0,474 0,510 0,565 0, ,410 0,436 0,470 0,521 0, ,381 0,405 0,438 0,486 0, ,358 0,381 0,411 0,457 0, ,339 0,360 0,388 0,432 0, ,322 0,342 0,368 0,410 0, ,307 0,326 0,352 0,391 0, ,295 0,313 0,338 0,375 0, ,284 0,302 0,325 0,361 0, ,274 0,292 0,314 0,349 0,418

14 14 Ewaldo Santana Ex. Considere os dados abaixo, que supostamente são uma amostra de tamanho n = 30 de uma distribuição normal, de média µ = 10 e variância 2 = 25. Verifique a veracidade desta afirmação a um nível = 0,05. 1,04 1,73 3,93 4,44 6,37 6,51 7,61 7,64 8,18 8,48 8,57 8,65 9,71 9,87 9,95 10,01 10,52 10,69 11,72 12,17 12,61 12,98 13,03 13,16 14,11 14,60 14,64 14,75 16,68 22,14

15 15 Ewaldo Santana A hipótese a ser testada pode ser escrita na forma onde F 0 (x) é a f.d.a. da v.a. X N(10; 25) D c = 0,242.

16 16 Ewaldo Santana Para calcular a f.d.e. considera-se que os 30 resultados são igualmente prováveis, desta forma, a P(x i ) = 1/30 = 0, ,04 1,73 3,93 4,44 6,37 6,51 7,61 7,64 8,18 8,48 8,57 8,65 9,71 9,87 9,95 10,01 10,52 10,69 11,72 12,17 12,61 12,98 13,03 13,16 14,11 14,60 14,64 14,75 16,68 22,14 Assim, teremos: F e (1,04) = 0,0333 F e (1,73) = 2/30 = 0,0667 F e (3,93) = 3/30 = 0,1000 etc.

17 17 Ewaldo Santana Para calcular a f.d.a. sob a suposição da hipótese nula, X N (10; 25),tem-se, para cada valor de x i :

18 18 Ewaldo Santana D = F(x i ) - F e (x i ) maior D x i F(x i ) F e (x i ) D x i F(x i ) F e (x i ) D x i F(x i ) F e (x i ) D 1,04,0366,0333, ,57,3874,3667, ,61,6992,7000, ,73,0491,0667, ,65,3836,4000, ,98,7244,7333, ,93,1124,1000, ,71,4769,4333, ,03,7277,7667, ,44,1331,1333, ,87,4896,4667, ,16,7363,8000, ,37,2340,1667, ,95,4960,5000, ,11,7945,8333, ,51,2426,2000, ,01,5008,5333, ,60,8212,8667, ,61,3163,2333, ,52,5414,5667, ,64,8233,9000, ,64,3185,2667, ,69,5549,6000, ,75,8289,9333, ,18,3579,3000, ,72,6346,6333, ,68,9092,9667, ,48,3806,3333, ,17,6679,6667, ,14,9924 1,000,07591

19 19 Ewaldo Santana Da tabela anterior, vemos que o valor máximo dos valores absolutos das diferenças é D = 0,104. Como D = 0,104 < D c = 0,242, Não rejeitamos H 0. Ou seja, sob um erro de 5%, podemos afirmar que a amostra foi retirada de uma população N(10; 25)

20 20 Ewaldo Santana Podemos comparar os quantis (empíricos) dos dados com os quantis da normal, por meio de um gráfico q x q, com o objetivo de verificar se os pontos se distribuem ao redor de uma reta. Para isso, sob a veracidade de H 0, calculamos os quantis desejados de N( ; 2 ) e da amostra calculamos os quantis amostrais

21 21 Ewaldo Santana