Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade

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1 Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade p. 1/21 Algumas distribuições teóricas apresentam certas características que permitem uma descrição correta de variáveis muito comuns em processos de simulação. Usando essas distribuições teóricas estaremos adicionando informações ao comportamento da variável, o que torna o modelo mais apto a prever o futuro.

2 p. 2/21 Distribuição Uniforme É a distribuição de uma variável aleatória X, num intervalo [a,b], cuja função densidade de probabilidade FDP é dada por: f(x) = { 0 para x < a ou x > b para a x b 1 b a A média e a variância são dadas por: µ = E(X) = a+b 2 e V(X) = (b a)2 12

3 p. 3/21 Função Densidade Acumulada: A função densidade acumulada FDA é dada por: 0 se x a x a F(x) = P(X x) = b a se a < x < b 1 se x b

4 p. 4/21 Exemplo: O departamento de montagem de uma empresa requisita caixas de parafusos para o departamento de serviços. O tempo de atendimento é de 1 a 6 horas, dependendo do acumulo do trabalho no departamento de serviços, e acredita-se que tenha uma distribuição uniforme. Se a chegada de material é verificada em hora em hora a partir da segunda hora do pedido, simular o tempo de espera para 5 pedidos.

5 p. 5/21 Solução: A FDA no intervalo [1.6] éf(x) = x 1 5. x = 1 F(1) = 0 x = 2 F(2) = 0,2 x = 3 F(3) = 0,4 x = 4 F(4) = 0,6 x = 5 F(5) = 0,8 x = 6 F(6) = 1

6 p. 6/21 Exemplo Os limites para os números aleatórios são: Tempo de FDA Limite para atendimento números aleatórios 0 1 0, , , , ,

7 p. 7/21 Exemplo Simulando os tempos de espera: Número Tempo de aleatório espera em horas

8 p. 8/21 Observação Podemos gerar valores sobre uma distribuição uniforme no intervalo [a,b], usando a expressão: x = a+(b a) R onde R é um número aleatório no intervalo [0,1]. Exemplo: O tempo de atendimento em uma fila se distribui uniformemente de 0,5 min a 3 min. A expressão x = 0,5+2,5 R gera para cada número aleatório R de [0,1] um tempo de atendimento nesta fila.

9 p. 9/21 Distribuição de Poisson A variável de Poisson descreve o número de vezes que ocorre um evento, que certamente ocorrerá muitas vezes, mas que é pouco provável que ocorra num particular instante de observação. Essa característica é típica de chegadas de fila de espera. A probabilidade de n ocorrências em um intervalo de tempo t é dada por: P(X = n) = αn e α ondeαéonúmero médio de chegadas na unidade de tempo usada para t. n!

10 p. 10/21 Distribuição de Poisson A média e a variância da variável de Poisson são: µ = E(X) = V(X) = α Exemplo: Em um determinado dia da semana chegam em média, a um guichê de pedágio, 1,8 carro por minuto. Admitindo que a chegada de carros ao guichê obedeça a uma distribuição de Poisson, realizar uma simulação abrangendo 10 minutos de operação do guichê.

11 p. 11/21 Exemplo Devemos simular o número de carros que chegam a cada minuto, durante o intervalo de 10 minutos, obedecendo a uma distribuição de Poisson ondeα = 1,8, ou seja P(X = n) = 1,8n e 1,8 O número n pode, teoricamente, assumir valores desde 0(zero) até qualquer número positivo inteiro que se queira, mas na prática existe um limite a partir do qual podemos considerar P(X = n) = 0. n!

12 Exemplo A tabela a seguir mostra os valores de n e as respectivas probabilidades e probabilidades acumuladas: n P(X = n) P(X n) Limites para números aleatórios 0 0,165 0, ,298 0, ,268 0, ,161 0, ,072 0, ,026 0, ,008 0, ,002 1, p. 12/21

13 p. 13/21 Exemplo Procedendo a simulação, obtemos: Número Número de carros Número Número de car aleatório chegando ao guichê aleatório chegando ao gu

14 p. 14/21 Distribuição Normal Uma variável tem distribuição normal se esta distribuição tiver a forma da curva de Gauss, isto é, a sua função distribuição de probabilidade for: f(x) = 1 2πσ e 1 2( x µ σ ) 2, ondeµ = média eσ 2 = variância. Conhecidas a média e a variância da variável normal X, a expressão z = x µ fornece através da tabela da σ variável normal padrão a probabilidadep(x x).

15 Exemplo As vendas semanais de um produto se distribuem-se normalmente com média 5 e variância 2,25. Construir um padrão de venda para as próximas 4 semanas. Solução: Seja X a variável vendas semanais. Como ela possui valores inteiros, isso pode ser contornado fazendo P(X = n) = P(X n+0,5) P(X n 0,5). Então: P(X = 0) = P(X 0,5) P(X 0,5), P(X = 1) = P(X 1,5) P(X 0,5), P(X = 2) = P(X 2,5) P(X 1,5), etc. Para usar a tabela temos Z = x 5 1,5. p. 15/21

16 p. 16/21 Exemplo x = 0,5 z = 3,67 P(X 0,5) = 0,000 x = 0,5 z = 3 P(X 0,5) = 0,001 x = 1,5 z = 2,33 P(X 1,5) = 0,009 x = 2,5 z = 1,67 P(X 2,5) = 0,048 Então: P(X = 0) = 0,001 0,000 = 0,001 P(X = 1) = 0,009 0,001 = 0,008 P(X = 2) = 0,048 0,009 = 0,039 etc. A probabilidade acumulada é dada portanto por P(X n+0,5).

17 Tabela Número P(X n+0,5) Limite paran o aleatório 0 0, , , , , , , , , , , p. 17/21

18 p. 18/21 Números aleatórios para 4 semanas N o aleatórios Vendas

19 p. 19/21 Controle de Parâmetros de Simulação Cálculo do Número de Simulações Qual o número de simulações devemos devemos efetuar para garantir o erro dentro de limites aceitáveis, com um nível de confiança desejável? Controle da Média Supondo que sejam satisfeitas as condições: A média amostral é normalmente distribuída. O tamanho da amostra é suficientemente grande, o que é usual em processos de simulação.

20 p. 20/21 Controle da Média Se: 1 α é o nível de confiança desejado. z α/2 é o desvio normal entre a média amostral e a verdadeira média em um nível de confiança de 1 α. θ é a diferença tolerável entre a média amostral e a verdadeira média (erro padrão de estimativa) então o mínimo de elementos da amostra (número de simulações) é dado por: n = ( zα/2 σ θ ) 2

21 p. 21/21 Exemplo Suponha que a média amostral de uma população com desvio padrão σ = 5, seja normalmente distribuída. Qual será o tamanho da amostra que garanta um desvio entre a média amostral e a verdadeira média de no máximo ±1, em um nível de confiança de 95%? Solução: Como α = 1 0,95 = 0,05 temos da tabela normal padrão quez α/2 = 1,96. Então n = σ2 z 2 α/2 θ 2 = 52 1, = 96,04 = 97 elementos.