Probabilidade Aula 08

Transcrição

1 332 Probabilidade Aula 8 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Maio de 217 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências, tradução da 8a edição americana, Cengage, 214 Essa parte da matéria está no Capítulo 5 do livro do Dantas.

2 Sumário 4.3 Distribuição uniforme 4.3 Distribuição normal

3 Distribuição Uniforme (b > a) Item 5.1 do Dantas X tem distribuição uniforme se { 1 f(x) = b a, a x b, caso contrário, x < a x a F(x) = b a, a x b 1, x > b f(x) 1 b a a b x

4 Distribuição Uniforme (b > a) Item 5.1 do Dantas f(x) 1 b a a b x A média de X vale E(X) = A variância de X vale b a x 1 a+b dx = b a 2 Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (b a)2 12

5 Distribuição Uniforme (b > a) Item 5.1 do Dantas f(x) 1 b a a b x a e b podem ser escritos em função da média E(X) e do desvio padrão σ(x): a = E(X) 3 σ(x) b = E(X)+ 3 σ(x)

6 Distribuição Uniforme Exemplo Carmen e Selma combinam de se encontrar entre 18 e 19 horas para jantar em um restaurante japonês. Seja C = hora de chagada de Carmen Seja S = hora de chagada de Selma Suponha que C e S sejam independentes com distribuição uniforme no intervalo [18; 19]. Pede-se: Determine a média e o desvio padrão de C e S Determine a probabilidade de que ambas cheguem entre 18h3 e 18h45.

7 Distribuição Uniforme Exemplo E(C) = E(S) = 18,5 h σ(c) = σ(s) = 1/ 12,29 h = 17,4 min P(18h3 < C < 18h45) = P(18h3 < S < 18h45) = 1/4 P[(18h3 < C < 18h45) (18h3 < S < 18h45)] = 1/16

8 4.3 Distribuição Normal É a distribuição mais importante na probabilidade e estatística Muitas populações numéricas podem ser ajustadas aproximadamente por uma curva normal apropriada. Exemplo: Notas da P1 de Probabilidade da Turma 1 (217) E(X) = µ = 5,2, σ(x) = σ = 2, f(x) x

9 4.3 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal com parâmetros µ e σ 2 em que < µ < e σ >, se a f.d.p. de X for f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, < x < É possível mostrar (Dantas, páginas 159 e 16) que os parâmetros µ e σ 2 são a média e a variância de X: E(X) = µ e Var(X) = σ 2 Como f(x) é uma f.d.p., temos que f(x) > e f(x)dx = 1 A simetria corresponde à media da distribuição.

10 4.3 Distribuição Normal Três curvas de densidade normal diferentes.2.15 µ=8, σ=15 µ=1, σ=5 µ=6, σ=2.5 f(x) x Um valor grande de σ significa que um valor de X longe de µ pode ser bem observado, enquanto que é pouco provável que isso ocorra com um valor pequeno de σ

11 4.3 Distribuição normal padrão O cálculo da probabilidade P(a X b) para X N(µ; σ 2 ) exige o cálculo da integral b 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2 dx, que não tem uma solução fechada a Para µ = e σ 2 = 1, essa integral foi calculada numericamente e tabelada para determinados valores de a e b Essas tabelas podem ser usadas para outros valores de µ e σ 2 A distribuição normal com µ = e σ 2 = 1 é denominada distribuição normal padrão e a v.a. é representada por Z com f.d.p. f(z) = 1 e z2 /2, < z < 2π

12 4.3 Distribuição normal padrão A tabela da distribuição normal padrão contém valores de P( < Z < z c ) = zc f(z)dz.4 µ=, σ=1.3 P(<Z<z c ) f(z) z z c

13 4.3 Exemplo 4.13 Determine as seguintes probabilidades normais padrão: a) P(Z 1,25) b) P(Z > 1,25) b) P(Z 1,25) d) P(,38 Z 1,25)

14 4.3 Exemplo 4.13 (a) P(Z 1,25) Resolução: a) P(Z 1,25) Desejamos calcular a área sombreada.4 µ=, σ=1.3 f(z) z Note que P(Z 1,25) =,5+P( Z 1,25)

15 4.3 Exemplo 4.13 (a) P(Z 1,25) Da Tabela da normal padrão, obtém-se P( < Z < 1,25) =,39435 Assim, P(Z 1,25) =,5+,39435 =,89435

16 4.3 Exemplo 4.13 (b) P(Z > 1,25) Resolução: b) P(Z > 1,25) Desejamos calcular a área sombreada.4 µ=, σ=1.3 f(z) z Usando o resultado do item a), obtém-se P(Z > 1,25) = 1 P(Z 1,25) = 1 [,5+P( Z 1,25)] = 1,89435 =,1565

17 4.3 Exemplo 4.13 (c) P(Z 1,25) c) P(Z 1,25) Desejamos calcular a área sombreada.4 µ=, σ=1.3 f(z) z Como a normal é simétrica, usando o resultado do item b), obtém-se P(Z 1,25) = P(Z > 1,25) =,1565

18 4.3 Exemplo 4.13 (d) P(,38 Z 1,25) d) P(,38 Z 1,25) Desejamos calcular a área azul que é igual à area vermelha menos a área magenta.4 µ=, σ=1.4 µ=, σ=1.4 µ=, σ= f(z).2 f(z).2 f(z) z 1.25 z.38 z Área vermelha = P(Z < 1,25) =,89435 (do item a)

19 4.3 Exemplo 4.13 (d) P(,38 Z 1,25) d) P(,38 Z 1,25).4 µ=, σ=1.4 µ=, σ=1.4 µ=, σ= f(z).2 f(z).2 f(z) z 1.25 z.38 z Área magenta = P(Z <,38) =,5 P( < Z <,38) = =,5,1483 =,35197

20 4.3 Exemplo 4.13 (d) P(,38 Z 1,25) d) P(,38 Z 1,25).4 µ=, σ=1.4 µ=, σ=1.4 µ=, σ= f(z).2 f(z).2 f(z) z 1.25 z.38 z Área azul = P(,38 Z 1,25) =,89435,35197 =,54238

21 4.3 Distribuições normais não padrão Se X N(µ, σ 2 ) então Z = X µ σ tem distribuição normal padrão. Dessa forma, ( a µ P(a X b) = P Z b µ ) σ σ ( P(X a) = P Z a µ ) σ ( P(X b) = 1 P Z < b µ ) σ

22 4.3 Distribuições normais não padrão Se X N(µ, σ 2 ) então Z = X µ σ tem distribuição normal padrão. A padronização nada mais é do que calcular uma distância da média e então expressar essa distância novamente como certo número de desvios padrão. Exemplos: Se X N(1, 15 2 ) então x = 13 corresponde a z = (13 1)/15 = 2. Isto é 13 está a 2 desvios padrão à direita (acima) da média. Similarmente, x = 85 fornece z = (85 1)/15 = 1 de modo que 85 está à um desvio padrão à esquerda (abaixo) da média.

23 4.3 Exemplo 4.16 O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio de um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. Esse tempo pode ser modelado por uma distribuição normal de média 1,25 segundos e desvio padrão,46 segundos. Pede-se: Calcule a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1, e 1,75 segundo Calcule a probabilidade de que o tempo de reação exceda 2 segundos.

24 4.3 Exemplo 4.16 Resolução: Vamos denotar o tempo de reação pela v.a. X N(1,25,,46 2 ). Deseja-se calcular P(1, X 1,75). Vamos então fazer uma mudança de variáveis para usar a tabela da normal padrão, ou seja, 1, 1,25,46 X 1,25 1,75 1,25,46,46 }{{} Z Dessa forma, P(1, X 1,75) = P(,54 Z 1,9) = P( < Z <,54)+P( < Z < 1,9) =,254+,36214 =,56754

25 4.3 Exemplo 4.16

26 4.3 Exemplo 4.16 Igualdade entre áreas µ=, σ 2 =1 µ=1,25, σ 2 =, f(z).4 f(x) z x

27 4.3 Exemplo 4.16 P(X > 2) = P ( Z > 2 1,25 ) = P(Z > 1,63),46 =,5 P( < Z < 1,63) =,5,44845 =,5155

28 4.3 Exemplo 4.18 A quantidade de água destilada dispensada por certa máquina tem distribuição normal com valor médio de 64 onças ( 1814,369 g) e desvio padrão de,78 onça ( 22,11263 g). Qual o tamanho do recipiente c que assegurará que ocorra transbordamento em apenas,5% das vezes?

29 4.3 Exemplo 4.18 Resolução: Seja X N(64;,78 2 ) a v.a. que representa a quantidade dispensada. Deseja-se calcular P(X > c) =,5, ou de maneira equivalente ( P(X c) =,995 = P Z c 64 ),78 ou ainda P ( < Z c 64 ) =,995,5 =,495,78

30 4.3 Exemplo 4.18 Da Tabela, e c 64,78 = 2,58 c = (2,58)(,78)+64 = 66 oz ( 1871,69 g)