Cálculo das Probabilidades I

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1 Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 1 / 41

2 LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua. Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável. x Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 2 / 41

3 Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população Densidade P eso -a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; - a maioria dos valores encontra-se no intervalo (55;85); - existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg(1%). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 3 / 41

4 Vamos definir a variável aleatória: X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso. ComosedistribuemosvaloresdavariávelaleatóriaX,istoé,quala distribuição de probabilidades de X? Densidade P es o A curva contínua da figura denomina-se curva Normal. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 4 / 41

5 A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Serve como excelente aproximação para uma grande classe de distribuições que têm enorme importância prática. Apresenta algumas propriedades matemáticas muito desejáveis, que permitem concluir importantes resultados teóricos. A distribuição Normal foi estudada pela primeira vez no século XVII, quando se observou que os padrões em erros de medida seguiam uma distribuição simétrica em forma de sino. Foi apresentada pela primeira vez em forma matemática por DeMoivre em A distribuição era, também, conhecida por Laplace antes de Gauss, publicou a primeira referência relativa a essa distribuição em Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 5 / 41

6 Distribuição Normal ou Gaussiana Personagens ilustres De Moivre Laplace Gauss 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 6 / 41

7 Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal. Exemplo: Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca. A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 7 / 41

8 Distribuição Normal ou Gaussiana Definição: A variável aleatória X tem uma distribuição normal com média µevariância σ 2,sesuafunçãodensidadedeprobabilidadeé dada por: f ( x ) = para todo < x <. 1 e σ 2π 2 1 x µ 2 σ Os parâmetros µe σdevemsatisfazeràscondições: - < µ< e σ> 0. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 8 / 41

9 ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 9 / 41

10 ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 10 / 41

11 Propriedades da distribuição normal (a)e(x)= µevar(x)= σ 2 (b)adistribuiçãoésimétricaemtornodesuamédia. (c)aáreatotalsobcurvaéigualaum. (d)f(x) 0quandox ± (e)x=µé pontodemáximodef(x) (f)µ-σ e µ+σ sãopontosdeinflexãodef(x) (g)amoda,amedianaeamédiasãoiguais. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 11 / 41

12 Propriedades da distribuição normal (h) 68,2% dos valores estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre µ-2σ eµ+2σe99,8%entreµ-3σ eµ+3σ. (i) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 12 / 41

13 Influência de µ na curva Normal N( µ 1 ; σ2) N( µ 2 ; σ2) µ 1 µ 2 x Curvas Normais com mesma variância σ 2 mas médias diferentes(µ 2 > µ 1 ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 13 / 41

14 Influência de σ 2 na curva Normal N(µ;σ 12 ) σ 2 2 > σ 1 2 N(µ;σµ σ 22 ) µ Curvas Normais com mesma média µ, mas com variâncias diferentes (σ 22 > σ 12 ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 14 / 41

15 Cálculo de probabilidades P(a< X< b) Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre ae b. a µ b PROBLEMAS: (I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 15 / 41

16 (II) Qual Tabela usar? Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 16 / 41

17 Cálculo de probabilidades SOLUÇÃO: Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ 2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 17 / 41

18 Se X~ N(µ; σ 2 ), definimos E(Z) = 0 Var(Z) = 1 f(x) X~ N(µ; σ 2 ) f(z) Z~ N(0 ; 1) a µ b x a µ σ 0 b µ z σ Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 18 / 41

19 Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal padrão com µ = 0 e σ 2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função densidade de probabilidade definida por: ϕ( z) = 1 e 2π 2 z 2 IMPORTANTE: Se Xtiver a distribuição N(µ, σ 2 ), e se Y= ax+ b, então Yterá distribuição N(aµ+ b, a 2 σ 2 ). Se Xtiver distribuição N(µ, σ 2 ), e se Z = (X - µ)/σ,então Z terá distribuição N(0,1). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 19 / 41

20 Distribuição Normal Curvanormalpadrão.Z=N(0,1) ϕ( z) = 1 e 2π 2 z 2 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 20 / 41

21 Tabulação da Distribuição Normal reduzida Suponha que Z tenha distribuição N(0, 1). Nesse caso: 2 z 2 1 P( a Z b) = e dz 2π b a A função de distribuição da distribuição normal reduzida é 2 s 2 1 Φ ( s) = e ds 2π z Desta forma, P(a Z b) pode ser calculada: P ( a Z b) = Φ ( b) Φ ( a) Osvaloresde Φ(z),para-3 z 3estãotabelados. 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 21 / 41

22 Distribuição Normal Tabulação da Distribuição Normal reduzida Característica da distribuição N(0, 1) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 22 / 41

23 Distribuição Normal Então para determinar a probabilidade P(a X b), basta proceder da seguinte maneira. SeX=N(µ, σ 2 )então Z=(X - µ)/σterádistribuiçãon(0,1). Portanto: a µ X µ b µ P( a X b) = P( ) σ σ σ a µ b µ = P( Z ) σ σ 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 23 / 41

24 USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Obs.: P(Z> z) = P(Z< -z) P(Z> z) = 1 -P(Z< z). P(Z< -z) = 1-P(Z< z). P(Z z) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 24 / 41

25 Distribuição normal: valores de P(Z z)=φ(z), z 0 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0, , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 25 / 41

26 Exemplo 1: Seja Z~ N (0; 1), calcular a) P(Z 0,32) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 26 / 41

27 Encontrando o valor na Tabela N(0;1): z ,0 0,5000 0,5039 0,5079 0,1 0,5398 0,5437 0,5477 0,2 0,5792 0,5831 0,5870 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 M M M M Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 27 / 41

28 Exemplo 1: Seja Z~ N (0; 1), calcular a) P(Z 0,32) P(Z 0,32) = Φ(0,32)=0,6255. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 28 / 41

29 b) P(Z 1,5) P(Z 1,5) = 1 P(Z < 1,5) = 1 Φ(1,5) = = 0,0668. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 29 / 41

30 c) P(0 < Z 1,71) P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) P(Z< 0) = Φ(1,71) Φ(0) = 0,9564 0,5 = 0,4564 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 30 / 41

31 d) P(-1,5 Z 1,5) P( 1,5 Z 1,5) = P(Z 1,5) P(Z 1,5) = Φ(1,5) Φ(1,5) = 0,9332 0,0668 = 0,8664 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 31 / 41

32 Exemplo 2:Seja X ~ N(10 ; 64) Calcular: (a) P(6 X 12) (b) P( X 8 ou X > 14) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 32 / 41

33 A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é, dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que: (i) P(Z z) = 0,975 z Z z é tal que A(z) = 0,975. Pela tabela, z= 1,96. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 33 / 41

34 (ii) Qual o valor de z tal que P(0 Z z)=0,4975? P(0 < Z z) = 0,4975 P(Z z) P(Z< 0) = 0,4975 Φ(z) Φ(0) = 0,4975 Φ(z) 0,5 = 0,4975 Φ(z) = 0,9975 z Z z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z= 2,81. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 34 / 41

35 (iii) P(Z z) = 0,3 z Z zé tal que A(z) = 0,7. Pela tabela, z= 0,53. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 35 / 41

36 (v) P( z Z z) = 0,80 z z Z zé tal que P(Z z) = P(Z z) = 0,1. Isto é, P(Z z) = 0,90 e assim, pela tabela, z= 1,28. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 36 / 41

37 No exemplo 2, obtenha ktal que P( X k) = 0,025 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 37 / 41

38 Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular X~ N(120; 15 2 ) Z X µ = P( X < 100) = P < = P( Z < 1,33) = 0,0918 σ 15 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 38 / 41

39 b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? X: tempo gasto no exame vestibular X~ N(120; 15 2 ) x 120 P( X < x) = 0,95 P Z = 0, z=? tal que A(z) = 0,95. Pela tabela z= 1,64. Z x 120 Então, = 1,64 15 x= ,64 15 x= 144,6 min. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 39 / 41

40 c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame? X: tempo gasto no exame vestibular X~ N(120, 15 2 ) x 120 x P( x1 X x2) = 0,80 P Z = 0,80. z=? tal que A(z) = 0,90 Pela tabela, z= 1,28. Z x = 1,28 x 1 = 120-1, x 1 = 100,8 min. 15 x2 120 = 1,28 x 2 = ,28 15 x 2 = 139,2 min. 15 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 40 / 41

41 Exemplo5:Otempogastocomtodasasetapasdaproduçãodeumnovoproduto tem distribuição Normal, com média 6 minutos e desvio padrão 1,5 minutos. a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando o tempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executar essa tarefa? b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempo total gasto com a produçãosuperior a 7 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário ser penalizado ao executar essa tarefa? c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa que estabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefa entre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essa tarefa no intervalo de tempo sugerido? d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20% dos funcionários recebessem a gratificação? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 41 / 41

42 Exemplo 6: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3(em dias). a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se recuperar? b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso, apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? c) Qual o tempo máximo necessário para arecuperação de 25% dos pacientes? d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qual seria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 42 / 41