GET00116 Fundamentos de Estatística Aplicada Lista de Exercícios de Revisão para a P2 Profa. Ana Maria Farias

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1 GET00116 Fundamentos de Estatística Aplicada Lista de Exercícios de Revisão para a P Profa. Ana Maria Farias 1. Em 00, Kaspersky Lab relatou que aproximadamente 0% de todos os s são lixo ou spam. A cada manhã, um usuário liga seu computador e ativa seu sistema de . a) Qual é a probabilidade de que o quarto recebido seja o primeiro spam? b) Qual é a probabilidade de que o primeiro spam venha entre os três primeiros s? a) Seja p a probabilidade pedida. Para que o quarto seja o primeiro spam, significa que os três primeiros não foram spam. Logo, p 0, 0 0, 0 0, 0064 b) Seja p a probabilidade pedida. Entre os três primeiros só tem um spam, que pode ser o primeiro ou o segundo ou o terceiro. Logo, p 0, 0, 0 + 0, 0, 0 0, 0 + 0, 0 0, 0 3 0, 0 0, 0 0, 096. Duas bolas são selecionadas, de forma aleatória e sem reposição, de uma urna contendo bolas brancas, 4 bolas pretas e laranjas. Suponha que ganhamos R$,00 por cada bola preta selecionada e perdemos R$ 1,00 por cada bola branca. Seja X o valor arrecadado ou perdido) depois de retirar as duas bolas. a) Quais os possíveis valores de X e quais as probabilidades associadas a cada um desses valores? b) Calcule o ganho médio e o desvio padrão do ganho. Note que, como temos pelo menos bolas de cada cor, é possível tirar duas bolas de cada uma das cores. Assim, em termos das cores das bolas retiradas, nosso espaço amostral é Ω {BB, BP, BL, PB, PP, PL, LB, LP, LL} a) A seguir temos os elementos de Ω, juntamente com suas probabilidades e valores de X associados. ω BB BP BL PB PP PL LB LP LL Pω) x A distribuição de probabilidade do ganho X é x PX x) b) EX) 0 1 EX ) VarX) ) 6 + 1) DPX) 1, ,

2 3. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada a seguir: a) Calcule EX). b) Calcule VarX). c) Calcule PX > 4 X > 3) x PX x) 0,10 0,1 0, 0,3 0,1 a) EX) 0 0, , , + 4 0, , 1 3, 17 b) EX ) 0 0, , , + 4 0, , 1 13, 19 VarX) 13, 19 3, 17 3, 1411 PX > 4) c) PX > 4 X > 3) PX > 3) 0, 1 0, 3 + 0, Seja X uma variável aleatória com função densidade f dada no gráfico a seguir. a) Determine o valor de k para que f seja realmente função densidade de X. b) Encontre a expressão matemática de f. c) Calcule a mediana m da distribuição. d) Calcule as seguintes probabilidades: i) PX > 3, ) ii) P < X < 4) iii) PX > 3 < X < 4) a) A área sob a curva tem que ser 1; essa é a área de um triângulo. Logo, k k 1 b) A função densidade f é definida por um segmento de reta y a + bx que passa pelos pontos 1, 0) e, 1/). Temos, assim, o seguinte sistema de equações: { 0 a + b 0, a + b 4b 0, b 1 a 1 Logo, fx) x 1 1 x

3 c) Veja a Figura 1. d) Veja a Figura 4. Figura 1 Cálculo da mediana 1 m 1) fm) 1 m 1) 1 m 1) m 1 ± A solução m 1 não pertence ao domínio. Logo, a mediana é m 1 + 3, 3. i) A probabilidade pedida é a área de um trapézio com base menor f3, ), base maior f) e altura 1,. f3, ) f) PX > 3, ) Usando a lei do complementar e a área do triângulo de base 3, 1) e altura f3, : PX > 3, ) 1 PX 3, ) 1 1 ) ) f ii) A probabilidade pedida é a área de um trapézio com base menor f), base maior f4) e altura. f) 1 f4) P < X < 4) P3 < X < 4) iii) PX > 3 < X < 4) P < X < 4) A probabilidade do numerador é a área de um trapézio de base menor f3), base maior f4) e altura 1. Logo, f3) 3 1 f4) P3 < X < 4) P3 < X < 4) PX > 3 < X < 4) P < X < 4) 16 a) PX > 3, ) b) P < X < 4) c) P3 < X < 4) Figura da questão 3 3

4 . O tempo de execução T em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0;40]. a) Determine a função densidade de probabilidade de T. b) Qual é o tempo médio de execução desta tarefa? c) Se uma pessoa já gastou minutos na execução da tarefa, qual é a probabilidade de que ela gaste menos de 30 minutos para terminar? a) Veja a Figura 3. fx) x 40 Figura 3 X Unif0, 40) b) Por simetria, EX) 30, ou seja, o tempo médio de execução da tarefa é de 30 minutos. c) O problema pede PT < 30 T > ) P < T < 30) PT > ) a) P < T < 30) b) PT > ) Figura 4 da questão 4c 6. Seja X N; ). Calcule as seguintes probabilidades: a) P0 < X < ) b) PX < 1) c) P4 < X < 1) d) P < X < 3) e) PX > ) a) 0 P0 < X < ) P < Z < ) P 0, 4 < Z < 1, ) tab1, ) + tab0, 4) 0, , 14 0, 403 4

5 b) PX < 1) P Z < 1 ) P< Z < ) 0, + tab, 0) 0, + 0, 477 0, 977 c) 4 P4 < X < 1) P < Z < 1 ) P0, 4 < Z <, 6) tab, 6) tab0, 4) 0, 493 0, 14 0, 403 d) P < X < 3) P < Z < 3 ) P, 0 < Z < 1, 0) P1 < Z < ) tab, 0) tab1, 0) 0, 477 0, , 139 e) PX > ) P Z > ) PZ > 0) 0, 7. Seja X N10; ). Encontre a abscissa k que satisfaz às seguintes condições: a) PX < k) 0, b) PX < k) 0, 0 c) P X 10 < k) 0, 7 d) PX > k) 0, 1 e) PX > 10 + k) 0, 69 f) P X 10 > k) 0, Nos gráficos a seguir, k é a abscissa desejada e k é a abscissa padronizada correspondente.

6 a) k tem que ser maior que a média! PX < k) 0, P Z < k 10 ) 0, ) k 10 tab 0, 3 k 10 0, 4 k 11, 6 b) Note que k tem que ser menor que a média! PX < k) 0, 0 P ) tab k 10 Z < k 10 0, 4 k 10 ) 0, 0 1, 64 k 10 3, k 6, 7 c) k > 0 P X 10 < k) 0, 70 P k < X 10 < k) 0, 70 P10 k < X < 10 + k) 0, 70 ) 10 k k 10 P < Z < 0, 70 P k < Z < k ) 0, 70 ) k tab 0, 3 k 1, 04 k, 0 6

7 d) Note que k tem que ser maior que a média! PX > k) 0, 1 P Z > k 10 ) 0, 1 ) k 10 tab 0, 40 k 10 1, k 1, 6 e) Note que 10 + k tem que ser menor que a média, o que é equivalente a k < 0! PX > 10 + k) 0, 69 PX 10 > k) 0, 69 P Z > k ) 0, 69 tab k ) 0, 19 k 0, 0 k 1, 0 f) k > 0 P X 10 > k) 0, 0 P X 10 k) 0, 0 P k < X 10 < k) 0, 0 P10 k < X < 10 + k) 0, 0 ) 10 k k 10 P < Z < 0, 0 P k < Z < k ) ) k 0, 0 tab 0, 40 k 1, k, 6 7

8 . Candidatos a um emprego devem realizar um teste e para passarem para a segunda fase do processo de seleção, tal teste deve ser resolvido em no máximo 0 minutos. De dados históricos, sabe-se que o tempo de resolução do teste pode ser aproximado por uma distribuição normal com média de 100 minutos e desvio-padrão de 10 minutos. a) Qual proporção de candidatos que conseguem passar para a segunda fase? b) O teste começou às 9:00 horas. Agora são 10:10 horas e João ainda está fazendo o teste. Qual é a probabilidade de João conseguir passar para a segunda fase? a) Seja T o tempo de execução do teste por um candidato. É dito que T N100; 10 ). Para ir para a segunda fase, temos que ter T < 0. PT < 0) P Z < ) PZ < ) PZ > ) 0, tab) 0, 0, 477 0, 0 10 Aproximadamente,3% dos candidatos passam para a segunda fase. b) João já gastou 70 minutos. PT < 0 T > 70) ) P < Z < P70 < T < 0) ) PT > 70) P Z > 10 P 3 < Z < ) P < Z < 3) tab3) tab) PZ > 3) PZ > 3) 0, + tab3) 0, 497 0, 477 0, 01 0, 0, Considere a seguinte função densidade de uma variável aleatória contínua X: x + 1 se 0 x 1 fx) 0 caso contrário a) Esboce o gráfico de fx)e mostre que fx) é, realmente, uma função densidade. b) Calcule PX 0, ). c) Calcule PX > 0, X < 0, ). d) Determine o valor de c tal que PX < c) 0, 7. a). fx) 0 pois o gráfico está no primeiro quadrante, em que y 0. A área sob curva é a área de um trapézio com base menor f0) 0,, base maior f1) 1, e altura 1. 0, + 1, Logo, a área é 1 1.

9 b) A probabilidade pedida é a área de um trapézio de bases f0, ) 0, + 0, 1 e f1) 1, e altura 0,. Logo, PX 0, ) 1, + 1 0, 0, 6. c) A área sombreada é a probabilidade que aparece no numerador. PX > 0, X < 0, ) P0, < X < 0, ) 1 PX 0, ) 0,7+1 0, 0, , 6 P0, < X < 0, ) PX < 0, ) f0,)+f0,) 0, 1 0, 6 d) A área do trapézio sombreado tem que ser 0,7; esse é um trapézio de bases 0, e fc) e altura c. Logo, 0, + 0, + c PX < c) 0, 7 c 0, 7 c + c 1, 4 0 c 1 ± 1 +, 6 A solução no domínio de f é c , 6 0, Considere uma população descrita por uma variável aleatória X normal com média µ e variância σ 64. a) Calcule PX > 96, ). b) Calcule PX > 77). c) Calcule P91 < X < 10). d) Ache um valor c tal que PX < c) 0, 3. a) b) c) PX > 96, ) P Z > PX > 77) P Z > ) 96, PZ > 1, 4) 0, tab1, 4) 0, 0, 419 0, 00 ) 77 PZ > 1, 0) 0, + tab1, 0) 0, 413 P91 < X < 10) ) P < Z < P0, 7 < Z <, ) tab, ) tab0, 7) 0, 493 0, 734 0, 04 9

10 d) Note que c tem que ser menor que a média, ou seja, temos que ter c <. PX < c) 0, 3 P Z < c ) 0, 3 P Z > c ) 0, 3 tab c ) 0, 0 c 0, c 0, Seja X uma variável aleatória normal com média µ e variância σ. Em cada uma das questões a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condição dada, indicando em um gráfico da distribuição normal original a correta posição de k em relação à média e sombreando a área correspondente à probabilidade pedida. a) PX < k) 0, 9 b) PX < k) 0, 0 c) PX > k) 0, 10 d) P X k) 0, 9 e) P X > k) 0, 10 a) À esquerda de k tem que ter área probabilidade) 0,9; logo, k tem que ser maior que a média. PX < k) 0, 9 P Z < k ) 0, 9 ) k tab 0, 4 k 1, 64 k 33, b) À esquerda de k tem que ter área probabilidade) 0,0; logo, k tem que ser menor que a média. PX < k) 0, 0 P Z < k ) 0, 0 tab k ) 0, 4 k 1, 64 k 16, c) À direita de k tem que ter área probabilidade) 0,10; logo, k tem que ser maior que a média. PX > k) 0, 10 P Z > k ) 0, 10 ) k tab 0, 40 k 1, k 31, 4 d) Nas duas caudas da distribuição original temos que ter área de 0,10, ou seja, em cada cauda, temos que ter 0,0. Como a desigualdade envolve módulo, k tem que ser positivo. 10

11 P X > k) 0, 10 X P > k ) 0, 10 P Z > k ) 0, 10 P Z < k ) + P Z > k ) 0, 10 P Z > k ) 0, 10 P Z > k ) 0, 0 ) k tab 0, 4 k 1, 64 k, e) A expressão dada é equivalente a P X k) 0, 0, ou seja, nas duas caudas da distribuição original temos que ter área de 0,0, ou seja, em cada cauda, temos que ter 0,0 e no meio, 0,9. Como a desigualdade envolve módulo, k tem que ser positivo. P X k) 0, 9 P X > k) 0, 0 X P > k ) 0, 0 P Z > k ) 0, 0 P Z < k ) + P Z > k ) 0, 0 P Z > k ) 0, 0 P Z > k ) 0, 0 ) k tab 0, 47 k 1, 96 k 9, 1. O tempo de atendimento de clientes em uma agência bancária segue uma distribuição normal com média de minutos e desvio padrão de 1, minuto. a) Qual é a probabilidade de que um cliente espere no máximo minutos para ser atendido? b) Se um cliente espera mais que 9, minutos para ser atendido, ele tem direito a fazer uma reclamação formal à gerência do banco. Qual é a probabilidade de um cliente fazer tal reclamação? c) Um cliente já está na fila há mais de minutos. Qual é a probabilidade de que ele possa fazer uma reclamação junto à gerência do banco? d) Determine o tempo t tal que 10% dos clientes levam menos que t minutos até serem atendidos. Seja T a variável aleatória que representa o tempo de espera. Então, T N; 1, ) a) PT ) P Z ) PZ, 0) 0, + tab, 0) 0, + 0, 477 0, 977 1, 11

12 b) PT > 9, ) P Z > 9, ) PZ > 3, 0) 0, tab3, 0) 0, 0, 497 0, , c) d) PT > 9, T > ) PT > 9, ) PT > ) 0, , , 977 PT < t) 0, 10 P Z < t ) ) t 0, 10 tab 0, 40 t 1, 1, 1, 1, t 3, 0 1