Métodos Estatísticos

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1 Métodos Estatísticos 5 - Distribuição Normal Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 7 Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.

2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual éa probabilidade de cada resultado acontecer.

3 Exemplo (com var. discreta) Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

4 Exemplo 2 1 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

5 Distribuição de Probabilidades x p(x) 1 0,5 2 0,5 0,50 0,50 Total 1 1 2

6 Exemplo (com var. discreta) Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

7 Exemplo Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

8 Distribuição de Probabilidades x p(x) 1 0,25 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 0,25 4 0,25 Total

9 Exemplo 1: com variável aleatória contínua Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.

10 Exemplo 1 α Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo (α) obtido neste experimento.

11 X = variável aleatória que indica o ângulo formado f(x) Área = 1 0 o 360 o x

12 Exemplo 1 Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30 o e 60 o?

13 Exemplo 1 f(x) P(30 o < X < 60 o ) = área = 0, o x o 60 o o

14 Exemplo 2 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros. Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.

15 Exemplo 2 f(x) x altura (em cm.)

16 Exemplo 2 Representar: o evento: o estudante selecionado ter 180 cm ou mais (X 180) e a probabilidade deste evento, isto é, P(X 180)

17 Exemplo 2 f(x) P(X 180) x altura (em cm.) X 180

18 Distribuição f(x) Normal f ( x) = 1 e σ 2π 1 x µ ( ) 2 σ 2 µ x µ: média σ: desvio padrão

19 Características Área = 1 µ x

20 Características A variável aleatória pode assumir valores de - a µ x

21 Características Identificada pela média (µ) e pelo desvio padrão (σ). σ µ x

22 Média e Desvio Padrão mesmo σ e diferentes µ µ 1 µ 2 x

23 Média e Desvio Padrão mesmo µ e diferentes σ σ = 2 σ = 4 µ X

24 Características Simetria em relação à média. 50% µ x

25 Características A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrão (distância dividida pelo desvio padrão).

26 Exemplo área = 68,3% µ-σ µ µ+σ

27 Exemplo área = 95,4% µ-2σ µ µ+2σ

28 Exemplo área = 99,7% µ-3σ µ µ+3σ

29 Normal Padronizada z = x - µ σ z - variável normal padronizada x - variável normal µ - média σ - desvio padrão

30 Normal Padronizada σ (µ-2σ) (µ-σ) µ (µ+σ) (µ+2σ) x z

31 Exemplo Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual o escore padronizado de um estudante com 190 cm?

32 Exemplo x = 190 cm z = x - µ σ = = 20 =

33 Exemplo µ = 170 σ = x z

34 Exemplo σ µ = 170 σ = x z

35 Exemplo P(X<190) = P(Z<2) x 0 2 z

36 Exercício 1: Uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z > 1) 0,1587 (tabela) 0 +1 z

37 Exercício 1 Com base na tabela da normal padronizada, calcular: b) P(Z > 1,23) 0,1093 (tabela) 0 1,23 z

38 Exercício 1 c) P(-2 < Z < 2) 0,0228 (tabela) z P(-2 < Z < 2) = 1-2.(0,0228) = 0,9554

39 Exercício 2 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?

40 Exercício 2: resp. x = 185 cm (µ = 170, σ = 10) z =? z = x - µ σ = = 15 = 1,

41 Exercício 2: resp. P(Z > 1,5) 0,0668 (tabela) 0 1,5 z

42 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média n.π e variância n.π.(1- π).

43 Exemplo Seja X o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda perfeitamente equilibrada. X é binomial com n = 10 e π = 0,5

44 Exemplo P(X) 0,205 0,246 0,205 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0, número de caras (X)

45 Exemplo Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? P(X>6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) = 0, , , ,001 = 0,172

46 Exemplo P(X) 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,172 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0,

47 Pela normal x

48 Exemplo Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? (usando a normal)

49 Exemplo P(X>6,5) x

50 Exemplo P(X>6,5) 5 6,5 x

51 Exemplo µ = 5 σ = 1, x = 6,5 z = x - µ σ 6,5-5 = = 0,95 1,581139

52 Exemplo 0, ,95 z Lembrando: a probab. exata (pela binomial) era de 0,1720