FMU- Cursos de Tecnologia Disciplina: Métodos Quantitativos em Gestão e Negócios-
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- Jónatas Dinis Clementino
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1 FMU- Cursos de Tecnologia Disciplina: Métodos Quantitativos em Gestão e Negócios- Memória - Teoria e Exercícios sobre Distribuição Normal de Probabilidade Distribuição Normal de Probabilidade As distribuições normais ocupam posição proeminente tanto na Estatística teórica, como na prática. A distribuição normal também conhecida como distribuição de Gauss tem sua origem associada aos erros normalmente observados pelos cientistas nas medições efetivas das grandezas físicas (como distâncias, pesos, volumes,etc.) Características de Distribuição Normal I)é um modelo teórico cuja representação gráfica se assemelha a um sino em relação a um eixo. II)Uma distribuição Normal fica caracterizada por 2 parâmetros ou medidas : a media ( desvio padrão ( ). ) e o - + III) A área total sob a curva representa 100%de probabilidade. IV) A curva é simétrica em relação à média, isto é, 50% para cada lado. As probabilidades associadas à distribuição normal são dadas por fórmulas relativas à integral da função de probabilidade. Essas fórmulas não são tarefas fáceis para se calcular. Por essa razão os principais valores foram previamente calculados e os resultados foram representados em uma tabela de Distribuição Normal. A montagem da tabela de probabilidades foi feita por uma padronização. A padronização é a obtenção de uma escala de distribuição chamada de escala reduzida Z ou Z que mede o afastamento das variáveis em relação à média, em número de desvios padrões. 1
2 2
3 Exemplos: Para procurar na tabela, devemos seguir o seguinte procedimento: - a parte inteira e a primeira casa decimal, procuramos na coluna - a segunda casa decimal na linha 1) Calcular a área à direita de Z = 1,5 2) Calcular a área à esquerda de Z= -2,35 3) Calcular a área entre Z = -1 e Z = 1,32 4) Calcular a área entre Z =1,25 e Z = 2,34 Trace uma curva normal e sombreie a área desejada,obtendo então a informação: a) área à direita de Z = 1,0 b) área à esquerda de Z = 2,0 c) área à direita de Z = -0,34 d) área entre Z = 0 e Z = 1,5 e) área entre Z = 0 e Z = - 2,88 3
4 f) área entre Z = -0,56 e Z = -0,20 g) área entre Z = -0,49 e Z = 0,49 h) área entre Z = 2,5 e Z = 2,8 i) área à esquerda de Z = -0,2 j) área entre Z = -0,2 e Z = 0 k) área entre Z = -0,2 e Z = 0,4 Determinação da área, quando for conhecido a média e o desvio padrão. Z = x - Exemplos: Uma indústria produz xícaras com peso médio de 250 g e desvio padrão de 5 g. Calcule a probabilidade de uma xícara qualquer pesar : a) entre 245g e 255g b)menos que 248g c) mais que 256g 4
5 d) entre 240g e 243g e) entre 253g e 259g Exercícios de fixação OBS: OS VALORES DE Z DEVEM SER CALCULADOS COM 2 CASAS DECIMAIS 1) Um conjunto apresenta média 25 e desvio padrão 2.. Determine os valores de Z, para os seguintes valores de x. a) x = 23,5 b) x = 23 c) x = 27 d) x = 26,5 e) x = 28 2)Sendo x uma variável normalmente distribuída com média 50 e desvio padrão 4. Qual a probabilidade: a) P (x < 45 ) b) P (x > 52 ) c) P (48 < x < 53 ) 3)O peso médio dos alunos de uma escola do ensino fundamental é 32 kg e o desvio padrão é de 4 kg. Qual a percentagem de alunos com mais de 30 kg? 4)Se a altura média dos estudantes de uma faculdade é 1,72m e desvio padrão 0,07 m, qual a probabilidade de um aluno sorteado ao acaso, tenha uma altura entre 1,60m e 1,70m? 5
6 5)Uma máquina produz eixos com um diâmetro médio de 20 mm. Se o desvio padrão é 0,02 mm., qual a porcentual de eixos que estão entre 19,95 e 20,05 mm? 6) A experiência tem mostrado que a duração média das lâmpadas de retro-projetores é 70 horas com desvio padrão de 8 horas. Qual a probabilidade de determinada lâmpada durar mais de 82 horas? 7) As alturas dos alunos de uma escola são normalmente distribuídos com média 1,60 m e desvio padrão de 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: i. entre 1,50 m e 1,80 m ii. mais de 1,75m iii. menos de 1, 48 m 8) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcule a probabilidade desse componente durar: i. menos que 750 dias ii. entre 750 e 900 dias iii. mais que 800 dias 9) O peso médio de 500 estudantes de uma universidade é 75,5 kg e o desvio padrão é de 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estejam normalmente distribuídos, determinar quantos estudantes pesam: i. entre 60 e 77,5 kg ii. mais que 92,5 kg 6
7 10) Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídos com média de 172,72 cm e desvio padrão de 7,62 cm, quantos estudantes têm estaturas: a) superiores a 182,88 cm b) menores que 162,56 cm c) entre 165,10 cm e 180,34 cm 11 ) Um conjunto de notas de Q.I tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 15. Qual a probabilidade de QIs superar 120? 12) O tempo necessário para completar uma tarefa escolar tem distribuição normal com média de 90 minutos e desvio padrão de 15 minutos. Qual a probabilidade de um estudante terminar a tarefa em menos de 2 horas? ( Não se esqueçam de transformar em minutos ) 13) Suponha que o índice pluviométrico em uma cidade tenha distribuição normal com média 40 e desvio padrão 5. Qual a probabilidade de a cidade ter menos de 33 m de chuva no próximo ano? 14) Suponha que a pontuação de um estudante no vestibular seja uma variável aleatória selecionada de uma distribuição normal com média 550 e variância 900. Se a admissão em certa faculdade exige uma pontuação mínima de 575, qual a probabilidade dele ser admitido? 7
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