VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos interessados no número de defeitos X nessa amostra de tamanho. Um espaço amostral para esse eperimento aleatório é : S = {(D, D), (D, ND), (ND, D), (ND, ND) } onde D = defeituosa e ND = não defeituosa. Assim, se ocorrer o evento {(D, D)}, teremos observado peças defeituosas na amostra, e X =. Fica, desse modo, estabelecida uma correspondência entre os elementos de S e os elementos de um conjunto numérico, como se vê no diagrama abaio : S ( D, D ) ( D, ND ) ( ND, D ) ( ND, ND ) X R 0 1 Note, então, que X é uma função real definida em S. Em símbolos : X : S s R X (s). VARIÁVEL ALEATÓRIA

2 ESTATÍSTICA Uma variável aleatória (v.a) é uma função real definida sobre os elementos de um espaço amostral S. * A variável aleatória X é dita DISCRETA se assume valores num conjunto finito ou infinito enumerável. * A variável aleatória X é dita CONTÍNUA se assume valores num conjunto infinito não enumerável (como um intervalo por eemplo). EXEMPLOS 1) A variável aleatória X, definida na introdução é discreta, pois pode assumir os valores 0, 1,. ) Uma lâmpada é fabricada e, em seguida, ensaiada quanto a sua duração de vida. Um espaço amostral para esse eperimento é S = ( t R / t 0 ). Se T é o tempo de vida da lâmpada, então T é a função (v.a.) Identidade, pois T(t) = t, para todo t S. T é uma v.a. contínua, pois assume valores no conjunto { t R / t 0 }. 3) Uma moeda é lançada até que a primeira cara ocorra. Um espaço amostral para esse eperimento é: S = { H, TH, TTH, TTTH,... }. Se X é a v.a. igual ao número de lançamentos necessários para obter a primeira cara, então X é discreta e assume valores no conjunto {1,, 3, 4,...}. 4) No eemplo acima, se X é definida como sendo 0 se T < 100 e 1 se T 100, então X é discreta pois assume valores no conjunto { 0, 1 }..3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE A função p() é uma função de probabilidade da v.a. X discreta se, para cada resultado possível, temos: ( 1 ) p() 0 ( ) p() = 1 (3) p() = P(X=) OBSERVAÇÃO : Aos pares (, p()) chamaremos de DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE.

3 ESTATÍSTICA 3 _ EXEMPLO Para o mesmo eemplo visto na introdução, seja a v.a. X = número de peças defeituosas. Os valores possíveis para X são : 0, 1,. A função de probabilidade de X será então : p( 0 ) = P( X = 0 ) = P{(ND, ND)} = (7/10).(6/9) = 7/15. p( 1 ) = P( X = 1 ) = P{(D,ND) ou (ND,D)} = (3/10).(7/9) + (7/10)(3/9) = 7/15 p( ) = P( X = ) = P{(D,D)} = (3/10).(/9) = 1/15. Em forma de tabela podemos escrever : 0 1 p() 7/15 7/15 1/15 Observe que esta função possui as propriedades (1), () e (3) vistas acima. Podemos representar graficamente uma função de probabilidade simplesmente por pontos no plano cartesiano ou através do que se chama HISTOGRAMA DE PROBABILIDADE, que é um gráfico de barras. Cada barra tem o centro no ponto e altura igual a probabilidade de, ou seja, p(). Desta forma, cada retângulo tem área igual a p() e a área total abaio dos retângulos é igual a 1. Por eemplo : p() p() 7/15 7/15 1/ /15 0 1

4 4 ESTATÍSTICA.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE A função f() é uma função densidade de probabilidade para a v.a. X contínua, definida sobre o conjunto dos números reais R, se: ( 1 ) f() 0 + ( ) f() d = 1 ( 3 ) P(a < X < b) = f() d. a b OBSERVAÇÕES : 1) f() 0 para todo R, significa que o gráfico da função f está todo acima do eio. + ) f() d = 1, significa que a área total abaio da curva f() é igual a 1. 3) P(a < X < b) = f() d significa que probabilidades, agora, são iguais a áreas abaio da curva f(). a b 4) Note que P ( X = a ) = f() d = 0, ou seja, probabilidades pontuais são nulas. 5) Segue da observação 4 que: a a P(a < X < b) = P(a X< b) = P(a < X b) = P(a X b). EXEMPLO Seja a v.a. X contínua com função densidade de probabilidade dada por: f() = k, << 0, caso contrá rio a) Calcule o valor da constante k, que faz com que f() seja uma função densidade de probabilidade: Observe, inicialmente, que k > 0, pois f() deve ser disso, devemos ter que: 0 para todo real. Além f() d = f() d + f() d + f() d = k d = (1/ 3)k = 3k = 1.

5 ESTATÍSTICA 5 _ Daí, k = 1/3 e a função densidade de probabilidade poderá ser escrita como : f() = (1/ 3), < < 0, caso contrá rio Graficamente : f() 4/3 1/3 0 1 b) Calcule P( 0 < X < 1 ) : 1 P( 0< X< 1) = (1/ 3) d = 1/ FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA A função de distribuição acumulada de uma v.a. X contínua com função densidade de probabilidade f() é dada por : F ( ) = PX ( ) = f(s) ds Segue imediatamente que : a) P( a < X b ) = F( b ) - F( a ) b) P( X > a) = 1 - P(X a) = 1 - F( a ) c) f( ) = F ( ), se a derivada eistir. d) F( ) = 1 e F( ) = 0 e) F() é não decrescente.

6 6 ESTATÍSTICA EXEMPLO Para uma função densidade de probabilidade definida no eemplo anterior, a função de distribuição acumulada F() é encontrada da seguinte forma: 1º ) Para valores de : F() = P(X ) = f(s) ds = 0 º ) Para valores de < < : 3 F() = P(X ) = f(s) ds = f(s) ds + f (s) ds = (1 / 3) s ds = (1 / 9) ( + 1) 3º ) Para valores de : F() = P(X ) = f(s) ds = f(s) ds + f (s) ds + f (s) ds = (1 / 3) s ds = 1 Assim, a função de distribuição acumulada da v.a. X é escrita como: 0, para F() = P( X ) = (1/9) ( 3 + 1), para < < 1, para Neste eemplo, podemos ainda calcular probabilidades para X usando a F() encontrada: P(X 0,5) = F(0,5) = (1/9) (0, ) = P(0 < X 1) = F(1) - F(0) = (1/9) ( )- (1/9) ( ) = P(X > 1,3) = 1 - P(X 1,3) = 1 - F(1,3) = 1 - (1/9) (1, ) =

7 ESTATÍSTICA 7 _.6 EXPECTÂNCIA E VARIANCIA DE UMA V.A..6.1 EXPECTÂNCIA (Esperança Matemática ou Média) DE UMA V.A.: A epectância de uma v.a. X é uma medida que posiciona o centro de uma distribuição de probabilidade e é definida por: µ= E(X) = p() se a v.a. X for discreta µ= EX ( ) = fd ( ) se a v.a. X for contínua Observações: 1) Note que no caso da v.a. discreta a epectância pode ser vista como uma média ponderada, onde os pesos são as probabilidades de cada ponto. ) No caso da v.a. contínua, a epectância coincide com o cálculo do valor da abcissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(). É um ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de probabilidade. 3) Podemos interpretar a epectância, também, como sendo uma média dos valores que a v.a. assume se imaginarmos o eperimento aleatório sendo repetido indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A função de probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de probabilidade no caso contínuo refletem as freqüências relativas de ocorrência dos valores de X PROPRIEDADES DA EXPECTÂNCIA: As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v.a. s discretas e v.a. s contínuas. 1ª ) Se a é uma constante, então: E(a) = a ª ) Se a e b são constantes, então: E( ax + b) = a E(X) + b

8 8 ESTATÍSTICA 3ª ) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 4ª ) Se X e Y são duas v.a. s independentes, então E(XY) = E(X). E(Y) (Obs.: A definição de independência de duas v.a. s não foi apresentada. Entretanto, podemos pensar nesta independência de modo análogo à independência de dois eventos A e B.) EXEMPLO 1: Se uma moeda honesta for lançada duas vezes, qual a epectância do número de caras? (ou, em média, quantas caras teremos?) Seja X a v.a. igual ao número de vezes em que aparece cara. X assume os valores 0, 1 e e sua distribuição de probabilidade é dada por: 0 1 p() ¼ ½ ¼ µ= E(X) = p() = ( 01 ) / 4+ ( 11 ) / + ( 1 ) / 4= 1 Assim, podemos dizer que ao lançarmos uma moeda duas vezes, em média obteremos 1 cara. EXEMPLO : Seja X uma v.a. contínua como função densidade de probabilidade dada por: f() =, se 0 < < 1 0, para outros valores de µ= E( X) = f( ) d=. d= / 3 0 1

9 ESTATÍSTICA 9 _ f() µ=/ EXPECTÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE V.A.: Seja X uma v.a. e g(x) uma função qualquer de X. Então a epectância de g(x) é dada por: E [ g(x) ] = g( ) p( ), sexfor discreta g( ) f( ) d, se X for contínua.6. VARIANCIA DE UMA V.A.: A variancia de uma v.a. é uma medida de sua dispersão ou variabilidade em torno de sua média. O gráfico abaio apresenta um eemplo das distribuições de probabilidade de duas v.a. s X1 e X que possuem a mesma forma da distribuição e a mesma epectância. Observamos, então, que a diferença entre elas é a variabilidade que elas apresentam em torno de sua média. σ 1 σ > σ 1 σ µ = µ 1 Note que a v.a. X se apresenta mais dispersa (mais espalhada ) em torno da média do que a v.a. X1.

10 10 ESTATÍSTICA A variancia de uma v.a. é definida por: σ = V(X) = E [(X - µ)] = σ = V(X) = E [(X - µ)] = ( µ) p() se X for discreta µ ( ) f( ) d, se X for contínua Note que a variancia é a média dos desvios que a v.a. X apresenta em relação à sua média µ, elevados ao quadrado. Sendo assim, a variancia será sempre positiva e quanto maior a variabilidade da v.a., maior será a sua variancia. A raiz quadrada positiva da variancia é uma medida de dispersão chamada de DESVIO PADRÃO. Uma alternativa para o cálculo da variancia é dada pelo seguinte resultado: Teorema: σ = V(X) = E (X ) - µ De fato: σ = V(X) = E [(X - µ)] = E ( X - µ X + µ) = = E (X) - µ E(X) + E(µ) = = E(X) - µ PROPRIEDADES DA VARIANCIA: 1ª ) Se b é uma constante, então: V(b) = 0 ª ) Se X é uma v.a. e b é uma constante, então: V(X + b) = V(X)

11 ESTATÍSTICA 11 _ 3ª ) Se X é uma v.a. e a é uma constante, então: V(aX) = a V(X) 4ª ) Se X e Y são v.a. s independentes e a e b são constantes, então: V(aX + by) = a V(X) + b V(Y) e V(aX - by) = a V(X) + b V(Y) EXEMPLO 1 Considere o eemplo 1 da definição de epectância ( o lançamento de moedas). Sabemos que: σ = V(X) = E (X) - µ Devemos calcular, inicialmente, E(X): E(X) = (0) p(0) + (1) p(1) + () p() = 3/ Daí, V(X) = 3/ - 1 = 1/ EXEMPLO Considere o eemplo da definição de epectância. Da mesma forma que no eemplo anterior, vamos calcular inicialmente E(X): EX ( ) = fd ( ) = d= 1/ Daí σ = V(X) = E (X) - µ = 1 / - (/3) = 1/ DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV O matemático russo Chebyshev observou que a probabilidade de que qualquer v.a. X caia dentro de k desvios padrões em torno da média é pelo menos (1-1/k). Isto é: P(µ - k σ < X < µ + k σ) 1-1/k

12 1 ESTATÍSTICA Note que para k = a desigualdade afirma que a v.a. X tem uma probabilidade de no mínimo 1 - (1/) = ¾ de cair entre dois desvios padrões da média, ou seja, ¾ ou mais observações de qualquer distribuição caem no intervalo µ ± σ. Por ser uma desigualdade que se aplica para qualquer distribuição, é um resultado fraco. Sabemos, por eemplo, que temos pelo menos ¾ de probabilidade de uma observação cair no intervalo µ ± σ, mas não sabemos eatamente quanto seria esta probabilidade realmente. Isto só pode ser calculado se soubermos qual a distribuição de probabilidade da v.a..7 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS Geralmente, em um eperimento aleatório envolvendo uma v.a. continua, a sua função densidade de probabilidade f() é desconhecida. Para que a escolha de f() seja razoável, deve-se fazer um julgamento prévio baseado em informações disponíveis. Dados estatísticos, gerados em grande escala, podem ser muito úteis ao estudar o comportamento da distribuição, se apresentados na forma de uma distribuição de freqüência relativa. Tal arranjo é obtido agrupando-se os dados em classes e determinando a proporção das medidas em cada uma das classes. EXEMPLO A vida de 40 baterias de carro foram medidas em anos e são dadas a seguir :, 4,1 3,5 4,5 3, 3,7 3,0,6 3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,7 3,7,5 4,3 3,4 3,6,9 3,3 3,9 3,1 3,3 3,1 3,7 4,4 3, 4,1 1,9 3,4 4,7 3,8 3,,6 3,9 3,0 4, 3,5 Devemos decidir, primeiro, sobre o número de classes nas quais os dados serão agrupados. Isto é arbitrário e geralmente entre 5 e 0 classes, dependendo do número de observações obtidas. Vamos escolher 7 classes para o eemplo. O intervalo de classe deve ser tal que 7 intervalos acomodem todos os dados. Assim, sendo 4,7-1,6 a amplitude total, então, o tamanho de intervalo será : ( 4,7-1,6 ) / 7 = 0,443. Vamos aproimar para 0,5 e fazer todos os 7 intervalos do mesmo tamanho. Se começarmos com 1,5 para o limite inferior do primeiro intervalo, então a distribuição de freqüência será dada por :

13 ESTATÍSTICA 13 _ Classes Pto. Médio de Classe Freqüência ( f ) Freqüência Relativa 1,5 1,9 1,7 0,050,0,4, 1 0,05,5,9,7 4 0,100 3,0 3,4 3, 15 0,375 3,4 3,9 3,7 10 0,50 4,0 4,4 4, 5 0,15 4,4 4,9 4,7 3 0,075 TOTAL 40 1,000 Podemos, a partir daí, construir um histograma de freqüência relativa : 0,375 0,50 0,15 1,7,,7 3, 3,7 4, 4,7 Embora tenhamos estimado uma curva para f() não conhecem os ainda a sua equação. Entretanto é possível ajustar uma curva sobre estes dados e verificar se este ajuste é razoável e determinar até que ponto é aceitável.