1 Variáveis Aleatórias

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1 Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis Aleatórias Definição: Considere um experimento para o qual o espaço amostral é denotado por Ω. Define-se variável aleatória como uma função que associa um valor real a cada elemento do espaço amostral. X : Ω R Representa-se as variáveis aleatórias por letras maiúsculas e suas ocorrências por letras minúsculas. Exemplo Suponha o experimento "lançar três moedas". Seja X: número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: Ω = {(c, c, c), (c, c, r), (c, r, c), (c, r, r), (r, c, c), (r, c, r), (r, r, c), (r, r, r)} Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Definição: Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis de X (isto é, o seu contradomínio), for finito ou infinito enumerável, denominamos X de variável aleatória discreta. 1

2 Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto, o contradomínio de X será formado por um número finito ou enumerável de valores x 1, x 2,.... A cada possível resultado x i, associaremos um número p(x i ) = P (X = x i ), i = 1, 2, 3,..., denominado probabilidade de x i. Os números p(x i ) devem satisfazer às seguintes condições: a) p(x i ) 0, b) i=1 p(x i) = 1 A função p definida acima, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares [x i, p(x i )], i = 1, 2,..., é denominada distribuição de probabilidade. Exemplo Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. 2 Esperança de uma Variável Aleatória Discreta Suponha que uma variável aleatória X possua uma distribuição discreta cuja função é p(x). A esperança de X, denotada por E(X), é um número definido por: µ = E(X) = x x p(x) Exemplo: Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2, 0, 1 e 4, e que P (X = 2) = 0, 1; P (X = 0) = 0, 4; P (X = 1) = 0, 3; P (X = 4) = 0, 2. Então: 2

3 E(X) = 2 (0, 1) + 0 (0, 4) + 1 (0, 3) + 4 (0, 2) = 0, 9 Propriedades da Esperança P1. Se a é uma constante qualquer P2. Se a é uma constante qualquer E(a) = a E(aX) = a E(X) P3. Se X 1, X 2,..., X n são n variáveis aleatórias tais que E(X i ) existe (i = 1, 2,..., n), então E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ). P4. Se X 1, X 2,..., X n são n variáveis aleatórias independentes tais que E(X i ) existe (i = 1, 2,..., n), então E (Π ni=1x ) i = Π n i=1e(x i ) 3 Variância de uma Variável Aleatória Discreta Definição: Suponha que X é uma v.a. com média µ = E(X). A variância de x, representada por V (X) é definida por V (X) = E[(x µ) 2 ] Variáveis Aleatórias Discretas V (X) = E(X) 2 [E(X)] 2 Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição discreta, cuja função é p(x). Então V (X) = x (x µ) 2 p(x) = x x 2 p(x) µ 2 Exemplo: Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2, 0, 1 e 4, e que P (X = 2) = 0, 1; P (X = 0) = 0, 4; P (X = 1) = 0, 3; P (X = 4) = 0, 2. Como visto anteriormente, E(X) = 0, 9. Então V (X) = x (x µ)2 p(x) = ( 2 0, 9) 2 (0, 1) + (0 0, 9) 2 (0, 4) + (1 0, 9) 2 (0, 3) + (4 0, 9) (0, 2) = 3, 09 3

4 Propriedades da Variância P1. V (c) = 0 se e somente se c for uma constante. P2. V (ax) = a 2 V (X). sendo a constante P3. V (ax + b) = a 2 V (X). com a e b constantes P4. V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2cov(X, Y ). 4 Função de Distribuição Acumulada Definição: A função de distribuição da variável aleatória X, representada por F x ou simplesmente F, é definida por: Observações: F X (x) = P (X x) = xi x P (x i ) a) A função de distribuição de X é também frequentemente chamada de função de distribuição acumulada de X. b) A função F X (x) é não-decrescente quando x aumenta, isto é, se x 1 < x 2, então F X (x 1 ) F X (x 2 ). c) 0 F (x) 1 d) P (a < X b) = F (b) F (a) e) P (a X b) = F (b) F (a) + P (X = a) f) P (a < X < b) = F (b) F (a) P (X = b) g) Para qualquer valor de x Teoremas P (X > a) = 1 F (a) a) Se X for uma variável aleatória discreta, F X (x) = j P (x j ) onde o somatório é estendido a todos os índices j que satisfaçam a condição x j x Exemplo Suponhamos que a v.a. X tome os três valores 0,1, e 2, com probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Então: O gráfico de F está apresentado na Figura abaixo 4

5 Exercícios 1. Suponha que 0,4; 0,3; 0,2 e 0,1, respectivamente, sejam as probabilidades de que nenhum, um dois ou três problemas com energia afetarão certa subdivisão durante dado ano. Determine a média e a variância da variável aleatória X que representa o número de problemas com energia que afeta essa subdivisão. 2. As probabilidades de que haja 0, 1, 2, 3 ou 4 partes defeituosas em uma máquina quando três partes são amostradas da linha de produção são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Determinar: a) o número médio de partes defeituosas; b) a variância V (X) ; c) F (X) e esboçar seu gráfico. d) P (2 < X 4). 3. A função de probabilidades da variável aleatória X é: P (X) = 1 5, para X = 1, 2, 3, 4, 5. a) Calcule E(X) e V (X) b) Calcule P (X 2) e P (X < 4) c) Determine F (X) e esboce seu gráfico. 4. Suponha que a duração X de uma ligação telefônica, em minutos, seja dada pela seguinte distribuição de probabilidades: 5

6 X P (X) 0,2 0,5 0,2 0,1 a) Determine P (X 3) e P (2 X 3). b) Calcule E(X) e V (X). c) Obtenha F (X) e esboçe seu gráfico. 5. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X. 6. Fazer o exercício anterior considerando extração com reposição. 7. Um jogo consiste em se retirar, ao acaso, uma bola de uma caixa contendo 5 bolas brancas, 3 pretas e 2 vermelhas. Se a bola selecionada for branca ganha-se R$ 10,00 e se for preta ou vermelha perdem-se, respectivamente, R$ 5,00 e R$ 15,00. Qual é o lucro médio do jogo? 8. Calcule a esperança e a variância de g(x) = 2X + 3, onde X é a variável aleatória com distribuição de probabilidade X P (X) 1/4 1/8 1/2 1/8 6