1 Definição Clássica de Probabilidade

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1 Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica de Probabilidade Dado um experimento aleatório, sendo Ω o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de Ω tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que Ω é um conjunto equiprovável. Define-se probabilidade de um evento A (A Ω) ao número real P (A), tal que: P (A) = número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis = n(a) n(ω) 2 Definição Axiomática de Probabilidade Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada evento A no espaço amostral Ω um número P (A) que indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer a definição matemática de probabilidade, este número P (A) deve satisfazer três axiomas específicos: Axioma 1: Para qualquer evento A, P (A) 0. Axioma 2: P (Ω) = 1. Axioma 3: Para qualquer sequência finita de eventos disjuntos A 1, A 2,..., A n ( n ) P A i = n P (A i ) 2.1 Propriedades P.1 - P (φ) = 0 P.2 - Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos A 1, A 2,... 1

2 ( ) P A i = P (A i ) P.3 - Para qualquer evento A, P (A c ) = 1 P (A) P.4 - Para qualquer evento A, 0 P (A) 1. P.5 - Se A B, então P (A) P (B). P.6 - Para qualquer evento dois eventos A e B P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P.7 - Se os eventos A 1, A 2,..., A n formam uma partição do espaço amostral, então: n P (A i ) = 1 Exemplo 1: Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos A = {soma dos números igual a 9}, B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} e C = {soma dos números menor ou igual a 4}. Enumere os elementos de A, B, C, A B e A C. Obtenha P (A B) e P (A C) 3 Eventos Independentes Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um do outro no sentido que a ocorrência ou não de um deles tenha nenhuma relação e nenhuma influência na ocorrência ou na não ocorrencia do outro. Nessas condições P (A B) = P (A) P (B) Definição: Dois eventos são independentes se P (A B) = P (A) P (B). Problema Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = P, P (A B) = 0, 6. Calcular P considerando A e B: a) Mutuamente exclusivos; 2

3 b) independentes. Resolução a) P (A B) = 0 como P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) vem 0, 6 = 0, 2 + p 0 P = 0, 4 b) P (A B) = P (A) P (B) = 0, 2 P como P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) vem 0, 6 = 0, 2 + P 0, 2P 0, 4 = 0, 8P logo, P = 0, 5 4 Probabilidade Condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, depois B ter acontecido, é representada por P (A/B) (Probabilidade de A dado B) e é denominada probabilidade condicional de A, depois de B ter ocorrido. É portanto natural definir-se a probabilidade condicional P (A/B) como a proporção da probabilidade total P (B) que é representada pela probabilidade P (A B). Portanto, tem-se a seguinte definição P (A/B) = P (A B), dado P (B) > 0 P (B) Se P (B) = 0 a P (A/B) não é definida ou, equivalentemente P (B/A) = P (A B), dado P (A) > 0 P (A) Se P (A) = 0 a P (B/A) não é definida. Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO PRO- DUTO: Sejam A Ω e B Ω. Então, P (A B) = P (B) P (A/B) ou P (A B) = P (A) P (B/A). Exemplo: Um grupo de 86 pessoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja: a) Uma mulher que fez o curso de medicina? b) Uma pessoa que fez o curso de medicina? 3

4 c) Um engenheiro dado que seja homem? d) Não ser médico dado que não seja homem? 5 Probabilidade Total Seja Ω o espaço amostral de um experimento, e considere K eventos A 1, A 2,..., A k em Ω tal que A 1, A 2,..., A k sejam disjuntos e k A i = Ω. Diz-se, então, que estes eventos formam uma partição de Ω. Se os eventos A 1, A 2,..., A k formam uma partição de Ω, e B é qualquer outro evento em Ω, então: B = (A 1 B) (A 2 B)... (A k B) Como os K eventos do lado direito da equação anterior são disjuntos: P (B) = k P (A i B) Mas P (A j B) = P (A j ) P (B/A j ) em que j = 1, 2,..., k. Então P (B) = k P (A j ) P (B/A j ) Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 6 Teorema de Bayes Sejam os eventos j = 1, 2,..., k que formam uma partição do espaço amostral Ω tal que P (A j ) > 0 para todo j = 1, 2,..., k e seja B qualquer evento tal que P (B) > 0. Então, para i = 1, 2,..., k, temos: P (A j /B) = P (A j )P (B/A j ) k P (A i) P (B/A i ) (1) Prova: Pela definição de probabilidade condicional, P (A j /B) = P (A j B) P (B) 4

5 O numerador da equação (1) é igual a P (A j B) e o denominador é igual a P (B) (pela fórmula para probabilidade total). Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? 5

6 Exercícios 1. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (X, Y ), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de que seja X + Y = 10? (R= 4/45) 2. Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3,..., 19, 20}, e, por meio de um sorteio aleatório, retire um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número sorteado ser o número 13? ( R = 1/10) 3. A probabilidade de que o aluno A resolva determinado problema é 2/3 e a probabilidade de que o aluno B o resolva é 4/5. Se ambos tentarem independentemente a resolução, qual a probabilidade do problema ser resolvido? ( R = 14/15) 4. Numa festa beneficente, foram vendidos 20 números em uma "rifa", e serão sorteados dois prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os dois prêmios? (R = 3/95) 5. Um lote é formado por 10 animais sadios, quatro com problemas menores e dois com problemas graves. Todos os animais são numerados e é feita a escolha de um animal ao acaso. Ache a probabilidade de que: a) ele não tenha problemas; (R =5/8) b) ele não tenha problemas graves; (R = 7/8) c) ele ou seja sadio ou tenha problemas graves. (R = 3/4) 6. Duas bolas vão ser retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas a) sejam verdes? (R = 1/6) b) sejam da mesma cor? ( R = 5/18) 7. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se 3 bolas (uma após a outra). Achar a probabilidade de que: a) nenhuma seja vermelha. (R= 14/55) b) exatamente uma seja vermelha. (R = 28/55) c) todas sejam da mesma cor. (R= 4/55) 8. Numa população composta por 200 animais de duas raças X e Y, os animais podem ser fecundos e não fecundos. Vinte por cento dos animais da raça X são fecundos; trinta por cento dos animais da raça Y sao não fecundos e setenta e cinco por cento dos animais são da raça X. Escolhe-se um animal ao acaso. Determine a probabilidade desse animal: a) ser da raça Y dado que é fecundo; (R = 0,55) b) ser não fecundo dado que é da raça Y.( R = 0,30) 6

7 9. Uma indústria produz determinado tipo de peça em três máquinas M 1, M 2 e M 3. A Máquina M 1 produz 40% das peças, enquanto M 2 e M 3 produzem 30% cada uma. As porcentagens de peças defeituosas produzidas por essas máquinas são respectivamente iguais a 1%, 4% e 3%. Se uma peça é selecionada aleatóriamente da produção total, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa? (R = 0,025) 10. A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? (R = 3 4 ) 11. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75 m. Qual a probabilidade de que seja homem? ( R = 8 = 0, 7272) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas a três; (R = 1 8 ) b) duas partidas terminarem empatadas; (R = 5 72 ) c) A e B ganharem alternadamente. (R = 5 36 ) 13. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? ( R = ) b) tenha acertado apenas o segundo problema? (R = ) 14. São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas sejam de ouros? (R = 1 16 ) 15. Um lote de certo tipo de peças é formado de 9 peças boas, 2 com pequenos defeitos e uma com defeito grave. Uma dessas peças é escolhida ao acaso. Determine a probabilidade de que a peça escolhida: a) não tenha defeito; ( R = 3 4 ) b) não tenha defeito grave. (R = ) 16. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0, 6, enquanto a probabilidade da ocorrência de A for igual a 0, 4, determine a probabilidade da ocorrência de B. (R = 0,33) 17. As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade: a) de nenhum desses eventos ocorra? (R = (1 p)(1 q)) b) de que pelo menos um desses eventos ocorra? ( R = (p + q pq)) 7