Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35
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3 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 3 / 35
4 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 4 / 35
5 Conceitos Fundamentais Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 5 / 35
6 História da Estatística no mundo Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 6 / 35
7 História da Estatística no mundo Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 7 / 35
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14 História da Estatística no mundo Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 14 / 35
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19 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
20 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
21 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
22 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
23 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
24 A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
25 Existem outros fenômenos cuja observação, repetida sob condições especificadas, não conduz sempre ao mesmo resultado. Exemplos: 1 Lançamento de uma moeda. 2 Jogo de futebol: SPORT x Náutico. 3 Pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida sob tais fenômenos, contudo a experiência mostra que muitos fenômenos aleatórios exibem uma regularidade estatística que os torna passíveis de estudo. Para tais fenômenos, modelos que estipulam que as condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável são apropriados. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 20 / 35
26 Existem outros fenômenos cuja observação, repetida sob condições especificadas, não conduz sempre ao mesmo resultado. Exemplos: 1 Lançamento de uma moeda. 2 Jogo de futebol: SPORT x Náutico. 3 Pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida sob tais fenômenos, contudo a experiência mostra que muitos fenômenos aleatórios exibem uma regularidade estatística que os torna passíveis de estudo. Para tais fenômenos, modelos que estipulam que as condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável são apropriados. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 20 / 35
27 A teoria da probabilidade oferece métodos de quantificação das chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos diversos resultados de um experimento aleatório. Experimento Aleatório: É qualquer ação ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza. Isto é, um experimento aleatório pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesma maneira. Pergunta: O que os experimentos aleatórios têm em comum? Resposta: Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar que resultado particular ocorrerá, nós podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 21 / 35
28 Quando o experimento é executado repetidamente, sob as mesmas condições, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma casual (acidental). No entanto, à medida que o número de repetições aumenta, surgem certos padrões na frequência de ocorrência dos resultados. É esta regularidade (padrão) que torna possível construir um modelo matemático para analisar o experimento. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 22 / 35
29 Definição 1.1: (Espaço Amostral) É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Observação 1.1: O espaço amostral é representado aqui por Ω. Observação 1.2: O espaço amostral pode ser enumerável finito ou infinito, se pode ser colocado em correspondência bi-unívoca com os números naturais. Caso contrário, será não enumerável, como a reta real. Observação 1.3: Cada resultado possível é denominado elemento de Ω e denotado por ω. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 23 / 35
30 Exemplos de experimentos aleatórios: E1: Jogue um dado e observe a face superior. E2: Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e coroas. E3: Jogue uma moeda três vezes e observe ao número de caras obtidos. E4: Jogue uma moeda até obter a primeira cara e observe a sequência obtida. E5: Jogue uma moeda até obter a primeira cara e observe o número de lançametos necessários. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 24 / 35
31 Exemplos de experimentos aleatórios: E6: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última peça defeituosa seja encontrada. O número total de peças retiradas do lote é contado. E7: Avaliação de uma nova máquina na Ambev. O tempo decorrido (em horas) até a falha é registrado. E8: Avaliação de perdas na Energisa. O número de casas com ligações clandestinas em uma comunidade é anotado. E9: Avaliação do desempenho dos alunos de Probabilidade I. A média final é anotada. E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dez crianças cujos pesos são anotados. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 25 / 35
32 Exercício: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos anteriormente. Espaços amostrais: E1: Ω =. E2: Ω =, em que k = cara e c = coroa. E3: Ω =. E4: Ω =, em que k = cara e c = coroa. E5: Ω =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 26 / 35
33 Exercício: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos anteriormente. Espaços amostrais: E6: Ω = E7: Ω = E8: Ω = E9: Ω = E10: Ω = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 27 / 35
34 Exercícios Exercício 1: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos abaixo. (a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. (b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. (c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 28 / 35
35 Exercícios (d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. (e) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma. (f) Uma máquina produz 20 medicamentos por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. (g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. As faces observadas são anotadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 29 / 35
36 Definição 1.2: (Evento) É qualquer subconjunto de resultados contidos no espaço amostral. Observação 1.4: Como regra geral, uma letra maiúscula será usada para denotar um evento. Observação 1.5: Quando um experimento é realizado, diz-se que ocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A. Observação 1.6: O espaço amostral Ω é o evento certo e o conjunto vazio é o evento impossível. Observação 1.7: Para um espaço amostral finito, o conjunto de todos os eventos possíveis é dado por 2 n. IMPORTANTE: Escrevemos ω Ω para indicar que o elemento ω está em Ω. Escrevemos A Ω para indicar que A é um subconjunto do espaço amostral. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 30 / 35
37 Exercício: Descreva o evento associado a cada experimento. Eventos: (E1) A =Um número ímpar ocorre. A = (E2) =Obtenção de faces iguais. B = (E7) C =A máquina falha em menos de um dia. C = (E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligações clandestinas. D = (E9) E =O Aluno passa na disciplina. E = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 31 / 35
38 Exercícios Exercício 2: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos abaixo. (a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. (b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. (c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 32 / 35
39 Exercícios (d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. (e) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma. (f) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. (g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 33 / 35
40 Exercício 3 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 34 / 35
41 Exercício 4 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 35 / 35
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