Noções sobre Probabilidade

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1 Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de apresentar dados e realizar determinados cálculos em cima desses dados, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência. Imagine que um pesquisador anotou a idade e a pressão arterial de seus pacientes. Com esses dados, ele pode montar tabelas e gráficos, realizar as medidas desejadas como médias e desvios padrões, além de traçar a reta que dá a variação da pressão arterial em função da idade. Mas este pesquisador também gostaria de estender suas conclusões a outros pacientes, além daqueles que examinou. Então, este pesquisador gostaria de fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza. A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento. São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, evolução de uma doença, fazer uma previsão do número de internações em um período, chover amanhã à tarde etc. Experiência aleatória Considere uma experiência onde os resultados sejam imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado que será obtido; além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais. Como exemplo, imagine o lançamento de um dado. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima E Nemer 1 / 15

2 jogada do dado. Outro ponto importante é que a ocorrência de um valor exclui a ocorrência dos demais pois é impossível você tirar dois valores em uma única jogada do dado. Chama-se a uma experiência desse tipo de experiência aleatória, e seus resultados, que são mutuamente exclusivos, são chamados eventos simples. Espaço Amostral O conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente exclusivos) de uma experiência aleatória é chamado de espaço amostral S. Como exemplo de espaços amostrais, temos: o lançamento de um dado: S {1,2,3,4,5,6} o lançamento de uma moeda: S {c, k}, onde ccara e kcoroa Medidas de Probabilidades Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito S {a 1,a 2,a 3...,a n }, no qual os pontos amostrais a i (i1,2,..., n) podem ter a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis. Então, todo subconjunto A do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua probabilidade dada por: m P ( n número de casos favoráveis ao evento A ou seja, a probabilidade de um evento é definida como o quociente do número m de casos que lhe são favoráveis, pelo número n de resultados possíveis. Por exemplo, se um dado é não viciado, espera-se que as várias faces sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a mesma probabilidade de sair quanto às outras. Assim, temos que a probabilidade de sair o número 5 em um lançamento de dado, ou seja 5), é calculada da seguinte forma: o Número de casos favoráveis ao evento 5 1 (pois só existe uma face do dado com o número 5); o Número de casos possíveis 6 (pois existem seis números que podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas E Nemer 2 / 15

3 faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, os seis eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento 5 1 P ( 5) 16,67 % n 6 Como um outro exemplo, qual seria a probabilidade de sair número ímpar? Neste caso, temos que: o Número de casos favoráveis ao evento número ímpar 3 (pois existem três faces do dado com número ímpar: 1, 3 e 5); o Número de casos possíveis 6 (pois existem seis números que podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, os seis eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento número ímpar 3 1 5) 50 % n 6 2 Considere mais um exemplo. Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um ás? Ora, um baralho tem 52 cartas, das quais quatro são ases. Neste caso, temos que: o Número de casos favoráveis ao evento tirar ás 4 (pois existem quatro ases em um baralho); o Número de casos possíveis 52 (pois um baralho contém 52 cartas). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque dois ases não podem ocorrer ao mesmo tempo. Os 52 eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento tirar ás 4 1 ás) 7,69 % n E Nemer 3 / 15

4 Regras básicas da probabilidade i. Campo de variação das probabilidades A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0 (zero), porém menor ou igual a 1. Isto é: 0 P ( 1 ou 0 % P ( 100 % Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1, ou 100%; se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é zero. Por exemplo, a probabilidade de ocorrer número menor do que 8 no lançamento de um dado é 1, ou 100% (evento certo pois todos os números de um dado são menores do que 8). Já a probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 é zero (evento impossível). ii. Probabilidade do espaço amostral A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é: P ( S) 1 ou P ( S) 100 % iii. Regra da adição de probabilidades A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é igual a: A + A E Nemer 4 / 15

5 Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é: A B, então: P ( A + Essa regra pode ser estendida para n eventos mutuamente exclusivos: A 1, A 2, A 3,..., A n. Assim: P A A K A ) A ) + A ) + K+ A ) ( 1 2 n 1 2 n Fica mais fácil entender o teorema da soma com a ajuda de exemplos. Suponha, então, que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? Ora, a probabilidade de sair bola azul é: número de casos favoráveis ao evento bola azul 1 P ( azul) 0,25 ou 25 % 4 E a probabilidade de sair bola vermelha é: número de casos favoráveis ao evento bola vermelha 1 P ( vermelha) 0,25 ou 25 % 4 Então, a probabilidade de sair bola colorida, isto é, azul ou vermelha, é dada pela soma: 1 1 P ( azul ou vermelha) azul) + vermelha) + 0,5 ou 50 % 4 4 Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás é dada pela soma 13 P ( espadas ou ás) E Nemer 5 / 15

6 Mas esta resposta estaria errada, porque existe uma carta, o ás de espadas, que é tanto ás como espadas. Então, o ás de espadas teria sido contado duas vezes. A probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás de espadas é dada por: espadas ás) espadas) + ás) espadas ás) + 30,77 % Recapitulando, agora fica mais fácil entender o teorema da soma. Se os eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B. Logo, escreve-se que: P ( A + Se A e B podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B. Escreve-se: A + A iv. Probabilidade de um evento complementar Se Ā é o evento complementar de A, então: 1 Como exemplo, considere retirar uma carta qualquer exceto copas de um baralho de 52 cartas. A probabilidade de se retirar uma carta qualquer do baralho é dada por: número de casos favoráveis ao evento carta qualquer 52 P ( carta qualquer) 1 ou 100 % 52 obs: nesse caso, o evento A é igual a S, assim: S)1 A probabilidade de se retirar uma carta de copas do baralho é dada por: E Nemer 6 / 15

7 número de casos favoráveis ao evento carta de copas P ( copas) Se A {carta de copas}, então Ā {qualquer carta exceto copas}. Logo, temos que: 1 qualquer carta exceto copas) 1 carta de copas) Logo, temos que: P ( qualquer carta exceto copas) 1 0,75 ou 75% Multiplicando probabilidades e independência estatística Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Assim, no lançamento de uma moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara, ou coroa, no segundo lance, não é afetada pelo resultado do primeiro lance. No caso do lançamento de duas moedas, existem quatro possibilidades, isto é: S {cc, ck, kc, kk}, onde c cara e kcoroa. Cada resultado é igualmente provável e a qualquer um pode ser atribuída a probabilidade de ¼. A probabilidade de obter uma seqüência particular de sucessos, por exemplo, duas caras, pode ser calculada como o produto das probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance, separadamente, assim: 1 1 P ( CC) C) C) Logo, dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra de multiplicação: P ( A. A Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3,..., Na, desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é, E Nemer 7 / 15

8 desde que todas as combinações sejam constituídas por eventos independentes. P A. A. K A ) A A K A ) A ) A ) K A ) ( 1 2 n 1 2 n 1 2 n Como um exemplo, imagine uma experiência que consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual é a probabilidade de obter um cinco e duas coroas em uma única jogada? Como os eventos são, evidentemente, independentes, a probabilidade procurada é: P ( 5KK) 5 K K) 5) K) K) 0,0416 ou 4,16 % i. Probabilidade condicionada Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas. Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer determinado evento sob uma dada condição. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por B/. Similarmente, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A, condicionada à ocorrência de B, como A/ (lê-se probabilidade de A dado que B tenha ocorrido ou probabilidade de A condicionada à ocorrência de. Como exemplo, suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos. Se todos forem colocados um uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de extrair um rótulo particular é 1/10. Se, porém, após retirar um rótulo ao acaso, ele for amarelo, como calcular a probabilidade de que um certo rótulo, por exemplo, aquele com número 1, seja extraído? Evidentemente, o número possível de acontecimentos favoráveis está agora reduzido de 10 para três; em outras palavras, o rótulo desejado deve ter o número 1 e ser amarelo. E Nemer 8 / 15

9 Neste momento, o cálculo da probabilidade condicionada é realizado da seguinte forma: o número de casos favoráveis ao evento : rótulo 1 e amarelo 1/10 rótulo n 1/ amarelo) número de casos favoráveis ao evento : amarelo 3/ De modo geral, dados dois eventos, A e B, que não são independentes, a probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como: A / A A ou seja, como a razão entre a probabilidade do evento conjunto A e B ocorrer e a probabilidade da ocorrência de B. Como um outro exemplo, suponha que uma carta é retirada de um baralho. Qual é probabilidade de ser um rei preto, sabendo que a carta retirada foi uma figura (valete, dama ou rei)? Sejam A {rei preto} e B {figura}, e: i) como existem dois reis pretos no baralho, os quais são, também, figuras, logo: 2 P ( A 52 ii) como existem doze figuras em um baralho, temos que: Logo, o resultado é: P ( A A P ( A / 0,1666 ou ,67 % Então, a probabilidade de ocorrer um rei preto condicionada à ocorrência de uma figura é de 1/6 ou aproximadamente 17%. E Nemer 9 / 15

10 Como um outro exemplo, suponha que um dado foi jogado. Qual é probabilidade de ocorrido um 5? Como um dado tem seis faces, a probabilidade de ter ocorrido a face com o número 5 é: número de casos favoráveis ao evento : face 5 1 P ( 5) 0,1667 ou 6 16,67 % Imagine, agora, que o mesmo dado foi jogado e já se sabe que ocorreu face com número ímpar. Qual é a probabilidade de ter ocorrido a face 5? Note que a resposta a esta pergunta é diferente da resposta dada à pergunta anterior. Se saiu face com número ímpar, só podem ter ocorrido os números:1, 3 ou 5. Logo, a probabilidade de ter ocorrido 5 é: Sejam A {face 5} e B {número ímpar}, e: i) como existe somente uma face 5 no dado e que também é número ímpar, logo: 1 P ( A 6 ii) como existem três faces ímpares em um dado, temos que: Logo, o resultado é: P ( A A 6 1 P ( A / 0,3333 ou ,33 % Logo, observe que a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser modificada quando se impõe uma condição. Como mostra o exemplo, a probabilidade de ocorrer 5 no jogo de um dado é 16,67%, mas, sob a condição de ter ocorrido face com número ímpar, a probabilidade de ocorrer 5 é 33,33%. E Nemer 10 / 15

11 Tendo estudado probabilidade condicionada, e para entender melhor a idéia de eventos independentes, imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo e se pergunte: a) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda? b) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que ocorreu face 6 no dado? Na tabela abaixo estão os eventos que podem ocorrer quando se jogam um dado e uma moeda ao mesmo tempo. Dado Moeda Cara Coroa 1 Cara;1 Coroa;1 2 Cara;2 Coroa;2 3 Cara;3 Coroa;3 4 Cara;4 Coroa;4 5 Cara;5 Coroa;5 6 Cara;6 Coroa;6 Dos doze eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na tabela acima, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda é: número de casos favoráveis ao evento cara 6 P ( cara) 0,5 ou 50 % 12 Para obter a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que saiu 6 no dado, observe a última linha da tabela anterior. Dos dois eventos que correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que ocorreu 6 no dado, é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair cara na moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 6 no dado). Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Por definição, dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. Quando se E Nemer 11 / 15

12 jogam um dado e uma moeda, o resultado que ocorre na moeda não depende do que ocorre no dado. Então, esses eventos são independentes. Na área biológica existem vários exemplos de eventos dependentes e de eventos independentes. Assim, olhos claros e cabelos claros são eventos dependentes porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros é maior se a pessoa tem cabelos claros. Já olhos claros e idade avançada são eventos independentes, porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros não aumenta (ou diminui) com a idade. ii. Regra geral da multiplicação de probabilidades A partir da definição de probabilidade condicionada, é possível enunciar a regra geral de multiplicação de probabilidades: a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicionada do outro, dado o primeiro. P ( A A B / A / A regra geral da multiplicação, estendida aos eventos A, B e C, é: A B C) B / C / A A probabilidade A B C) pode assumir seis diferentes formas, uma das quais foi dada acima. Uma outra forma é mostrada abaixo. Como exercício, você pode obter as outras quatro formas. A B C) C / B / A C) Como exemplo, imagine uma urna contendo três bolas brancas e oito pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não reposta: então outra bola é retirada. Qual e probabilidade de ambas serem pretas? A primeira bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma segunda bola preta: os dois eventos não são estatisticamente independentes, logo: E Nemer 12 / 15

13 P ( ambas pretas) primeira preta) segunda preta / primeira preta) E temos que: P ( ambas pretas) 0,5090 ou ,9 % Em um outro exemplo, uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Se A for evento sair coroa e B for o evento ocorrer o 3, constatar que os eventos A e B são independentes. Ora, vamos calcular a probabilidade de A dado que B tenha ocorrido. Temos que: 1 A 12 1 P ( A / 0, ou 50 % 12 Se calculássemos somente a probabilidade de A ocorrer, teríamos: número de casos favoráveis ao evento coroa 1 P ( coroa) 0,5 ou 50 % 2 Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair caroa na moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 3 no dado). Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Em outras palavras, como a probabilidade de A é igual à probabilidade de A dado que saiu B, isto significa que a ocorrência de um evento não interfere com o outro e os dois eventos são independentes. Em um outro exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 E Nemer 13 / 15

14 Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto: iii. Em resumo Em um exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto: P ( KK) K K) K) K) 0,25 ou 25 % Em um outro exemplo, uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade das duas serem brancas? A probabilidade da primeira bola ser branca é: número de casos favoráveis ao evento bola branca 2 P ( bola branca) 0,6667 ou 66,67 % 3 A probabilidade da segunda bola ser branca vai depender do que ocorreu na primeira retirada. Se saiu bola branca, a probabilidade da segunda também ser branca é: E Nemer 14 / 15

15 número de casos favoráveis ao evento bola branca 1 P ( bola branca) 0,5 ou 50 % 2 Para obter, então, a probabilidade de duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: P ( 2 bolas brancas) 0,3333 ou 33,33 % Agora fica fácil entender o teorema do produto. Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B. P ( A. A Se A e B não são independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade (condicional) de ocorrer B, dado que A ocorreu. P ( A A B / A / E Nemer 15 / 15