Noções sobre Probabilidade
|
|
- Tiago Igrejas Álvares
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de apresentar dados e realizar determinados cálculos em cima desses dados, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência. Imagine que um pesquisador anotou a idade e a pressão arterial de seus pacientes. Com esses dados, ele pode montar tabelas e gráficos, realizar as medidas desejadas como médias e desvios padrões, além de traçar a reta que dá a variação da pressão arterial em função da idade. Mas este pesquisador também gostaria de estender suas conclusões a outros pacientes, além daqueles que examinou. Então, este pesquisador gostaria de fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza. A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento. São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, evolução de uma doença, fazer uma previsão do número de internações em um período, chover amanhã à tarde etc. Experiência aleatória Considere uma experiência onde os resultados sejam imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado que será obtido; além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais. Como exemplo, imagine o lançamento de um dado. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima E Nemer 1 / 15
2 jogada do dado. Outro ponto importante é que a ocorrência de um valor exclui a ocorrência dos demais pois é impossível você tirar dois valores em uma única jogada do dado. Chama-se a uma experiência desse tipo de experiência aleatória, e seus resultados, que são mutuamente exclusivos, são chamados eventos simples. Espaço Amostral O conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente exclusivos) de uma experiência aleatória é chamado de espaço amostral S. Como exemplo de espaços amostrais, temos: o lançamento de um dado: S {1,2,3,4,5,6} o lançamento de uma moeda: S {c, k}, onde ccara e kcoroa Medidas de Probabilidades Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito S {a 1,a 2,a 3...,a n }, no qual os pontos amostrais a i (i1,2,..., n) podem ter a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis. Então, todo subconjunto A do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua probabilidade dada por: m P ( n número de casos favoráveis ao evento A ou seja, a probabilidade de um evento é definida como o quociente do número m de casos que lhe são favoráveis, pelo número n de resultados possíveis. Por exemplo, se um dado é não viciado, espera-se que as várias faces sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a mesma probabilidade de sair quanto às outras. Assim, temos que a probabilidade de sair o número 5 em um lançamento de dado, ou seja 5), é calculada da seguinte forma: o Número de casos favoráveis ao evento 5 1 (pois só existe uma face do dado com o número 5); o Número de casos possíveis 6 (pois existem seis números que podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas E Nemer 2 / 15
3 faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, os seis eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento 5 1 P ( 5) 16,67 % n 6 Como um outro exemplo, qual seria a probabilidade de sair número ímpar? Neste caso, temos que: o Número de casos favoráveis ao evento número ímpar 3 (pois existem três faces do dado com número ímpar: 1, 3 e 5); o Número de casos possíveis 6 (pois existem seis números que podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, os seis eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento número ímpar 3 1 5) 50 % n 6 2 Considere mais um exemplo. Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um ás? Ora, um baralho tem 52 cartas, das quais quatro são ases. Neste caso, temos que: o Número de casos favoráveis ao evento tirar ás 4 (pois existem quatro ases em um baralho); o Número de casos possíveis 52 (pois um baralho contém 52 cartas). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque dois ases não podem ocorrer ao mesmo tempo. Os 52 eventos são igualmente prováveis. o Logo, temos que: m número de casos favoráveis ao evento tirar ás 4 1 ás) 7,69 % n E Nemer 3 / 15
4 Regras básicas da probabilidade i. Campo de variação das probabilidades A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0 (zero), porém menor ou igual a 1. Isto é: 0 P ( 1 ou 0 % P ( 100 % Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1, ou 100%; se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é zero. Por exemplo, a probabilidade de ocorrer número menor do que 8 no lançamento de um dado é 1, ou 100% (evento certo pois todos os números de um dado são menores do que 8). Já a probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 é zero (evento impossível). ii. Probabilidade do espaço amostral A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é: P ( S) 1 ou P ( S) 100 % iii. Regra da adição de probabilidades A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é igual a: A + A E Nemer 4 / 15
5 Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é: A B, então: P ( A + Essa regra pode ser estendida para n eventos mutuamente exclusivos: A 1, A 2, A 3,..., A n. Assim: P A A K A ) A ) + A ) + K+ A ) ( 1 2 n 1 2 n Fica mais fácil entender o teorema da soma com a ajuda de exemplos. Suponha, então, que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? Ora, a probabilidade de sair bola azul é: número de casos favoráveis ao evento bola azul 1 P ( azul) 0,25 ou 25 % 4 E a probabilidade de sair bola vermelha é: número de casos favoráveis ao evento bola vermelha 1 P ( vermelha) 0,25 ou 25 % 4 Então, a probabilidade de sair bola colorida, isto é, azul ou vermelha, é dada pela soma: 1 1 P ( azul ou vermelha) azul) + vermelha) + 0,5 ou 50 % 4 4 Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás é dada pela soma 13 P ( espadas ou ás) E Nemer 5 / 15
6 Mas esta resposta estaria errada, porque existe uma carta, o ás de espadas, que é tanto ás como espadas. Então, o ás de espadas teria sido contado duas vezes. A probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás de espadas é dada por: espadas ás) espadas) + ás) espadas ás) + 30,77 % Recapitulando, agora fica mais fácil entender o teorema da soma. Se os eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B. Logo, escreve-se que: P ( A + Se A e B podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B. Escreve-se: A + A iv. Probabilidade de um evento complementar Se Ā é o evento complementar de A, então: 1 Como exemplo, considere retirar uma carta qualquer exceto copas de um baralho de 52 cartas. A probabilidade de se retirar uma carta qualquer do baralho é dada por: número de casos favoráveis ao evento carta qualquer 52 P ( carta qualquer) 1 ou 100 % 52 obs: nesse caso, o evento A é igual a S, assim: S)1 A probabilidade de se retirar uma carta de copas do baralho é dada por: E Nemer 6 / 15
7 número de casos favoráveis ao evento carta de copas P ( copas) Se A {carta de copas}, então Ā {qualquer carta exceto copas}. Logo, temos que: 1 qualquer carta exceto copas) 1 carta de copas) Logo, temos que: P ( qualquer carta exceto copas) 1 0,75 ou 75% Multiplicando probabilidades e independência estatística Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Assim, no lançamento de uma moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara, ou coroa, no segundo lance, não é afetada pelo resultado do primeiro lance. No caso do lançamento de duas moedas, existem quatro possibilidades, isto é: S {cc, ck, kc, kk}, onde c cara e kcoroa. Cada resultado é igualmente provável e a qualquer um pode ser atribuída a probabilidade de ¼. A probabilidade de obter uma seqüência particular de sucessos, por exemplo, duas caras, pode ser calculada como o produto das probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance, separadamente, assim: 1 1 P ( CC) C) C) Logo, dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra de multiplicação: P ( A. A Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3,..., Na, desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é, E Nemer 7 / 15
8 desde que todas as combinações sejam constituídas por eventos independentes. P A. A. K A ) A A K A ) A ) A ) K A ) ( 1 2 n 1 2 n 1 2 n Como um exemplo, imagine uma experiência que consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual é a probabilidade de obter um cinco e duas coroas em uma única jogada? Como os eventos são, evidentemente, independentes, a probabilidade procurada é: P ( 5KK) 5 K K) 5) K) K) 0,0416 ou 4,16 % i. Probabilidade condicionada Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas. Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer determinado evento sob uma dada condição. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por B/. Similarmente, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A, condicionada à ocorrência de B, como A/ (lê-se probabilidade de A dado que B tenha ocorrido ou probabilidade de A condicionada à ocorrência de. Como exemplo, suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos. Se todos forem colocados um uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de extrair um rótulo particular é 1/10. Se, porém, após retirar um rótulo ao acaso, ele for amarelo, como calcular a probabilidade de que um certo rótulo, por exemplo, aquele com número 1, seja extraído? Evidentemente, o número possível de acontecimentos favoráveis está agora reduzido de 10 para três; em outras palavras, o rótulo desejado deve ter o número 1 e ser amarelo. E Nemer 8 / 15
9 Neste momento, o cálculo da probabilidade condicionada é realizado da seguinte forma: o número de casos favoráveis ao evento : rótulo 1 e amarelo 1/10 rótulo n 1/ amarelo) número de casos favoráveis ao evento : amarelo 3/ De modo geral, dados dois eventos, A e B, que não são independentes, a probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como: A / A A ou seja, como a razão entre a probabilidade do evento conjunto A e B ocorrer e a probabilidade da ocorrência de B. Como um outro exemplo, suponha que uma carta é retirada de um baralho. Qual é probabilidade de ser um rei preto, sabendo que a carta retirada foi uma figura (valete, dama ou rei)? Sejam A {rei preto} e B {figura}, e: i) como existem dois reis pretos no baralho, os quais são, também, figuras, logo: 2 P ( A 52 ii) como existem doze figuras em um baralho, temos que: Logo, o resultado é: P ( A A P ( A / 0,1666 ou ,67 % Então, a probabilidade de ocorrer um rei preto condicionada à ocorrência de uma figura é de 1/6 ou aproximadamente 17%. E Nemer 9 / 15
10 Como um outro exemplo, suponha que um dado foi jogado. Qual é probabilidade de ocorrido um 5? Como um dado tem seis faces, a probabilidade de ter ocorrido a face com o número 5 é: número de casos favoráveis ao evento : face 5 1 P ( 5) 0,1667 ou 6 16,67 % Imagine, agora, que o mesmo dado foi jogado e já se sabe que ocorreu face com número ímpar. Qual é a probabilidade de ter ocorrido a face 5? Note que a resposta a esta pergunta é diferente da resposta dada à pergunta anterior. Se saiu face com número ímpar, só podem ter ocorrido os números:1, 3 ou 5. Logo, a probabilidade de ter ocorrido 5 é: Sejam A {face 5} e B {número ímpar}, e: i) como existe somente uma face 5 no dado e que também é número ímpar, logo: 1 P ( A 6 ii) como existem três faces ímpares em um dado, temos que: Logo, o resultado é: P ( A A 6 1 P ( A / 0,3333 ou ,33 % Logo, observe que a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser modificada quando se impõe uma condição. Como mostra o exemplo, a probabilidade de ocorrer 5 no jogo de um dado é 16,67%, mas, sob a condição de ter ocorrido face com número ímpar, a probabilidade de ocorrer 5 é 33,33%. E Nemer 10 / 15
11 Tendo estudado probabilidade condicionada, e para entender melhor a idéia de eventos independentes, imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo e se pergunte: a) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda? b) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que ocorreu face 6 no dado? Na tabela abaixo estão os eventos que podem ocorrer quando se jogam um dado e uma moeda ao mesmo tempo. Dado Moeda Cara Coroa 1 Cara;1 Coroa;1 2 Cara;2 Coroa;2 3 Cara;3 Coroa;3 4 Cara;4 Coroa;4 5 Cara;5 Coroa;5 6 Cara;6 Coroa;6 Dos doze eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na tabela acima, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda é: número de casos favoráveis ao evento cara 6 P ( cara) 0,5 ou 50 % 12 Para obter a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que saiu 6 no dado, observe a última linha da tabela anterior. Dos dois eventos que correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que ocorreu 6 no dado, é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair cara na moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 6 no dado). Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Por definição, dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. Quando se E Nemer 11 / 15
12 jogam um dado e uma moeda, o resultado que ocorre na moeda não depende do que ocorre no dado. Então, esses eventos são independentes. Na área biológica existem vários exemplos de eventos dependentes e de eventos independentes. Assim, olhos claros e cabelos claros são eventos dependentes porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros é maior se a pessoa tem cabelos claros. Já olhos claros e idade avançada são eventos independentes, porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros não aumenta (ou diminui) com a idade. ii. Regra geral da multiplicação de probabilidades A partir da definição de probabilidade condicionada, é possível enunciar a regra geral de multiplicação de probabilidades: a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicionada do outro, dado o primeiro. P ( A A B / A / A regra geral da multiplicação, estendida aos eventos A, B e C, é: A B C) B / C / A A probabilidade A B C) pode assumir seis diferentes formas, uma das quais foi dada acima. Uma outra forma é mostrada abaixo. Como exercício, você pode obter as outras quatro formas. A B C) C / B / A C) Como exemplo, imagine uma urna contendo três bolas brancas e oito pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não reposta: então outra bola é retirada. Qual e probabilidade de ambas serem pretas? A primeira bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma segunda bola preta: os dois eventos não são estatisticamente independentes, logo: E Nemer 12 / 15
13 P ( ambas pretas) primeira preta) segunda preta / primeira preta) E temos que: P ( ambas pretas) 0,5090 ou ,9 % Em um outro exemplo, uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Se A for evento sair coroa e B for o evento ocorrer o 3, constatar que os eventos A e B são independentes. Ora, vamos calcular a probabilidade de A dado que B tenha ocorrido. Temos que: 1 A 12 1 P ( A / 0, ou 50 % 12 Se calculássemos somente a probabilidade de A ocorrer, teríamos: número de casos favoráveis ao evento coroa 1 P ( coroa) 0,5 ou 50 % 2 Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair caroa na moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 3 no dado). Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Em outras palavras, como a probabilidade de A é igual à probabilidade de A dado que saiu B, isto significa que a ocorrência de um evento não interfere com o outro e os dois eventos são independentes. Em um outro exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 E Nemer 13 / 15
14 Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto: iii. Em resumo Em um exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é: número de casos favoráveis ao evento cara 1 P ( cara) 0,5 ou 50 % 2 Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto: P ( KK) K K) K) K) 0,25 ou 25 % Em um outro exemplo, uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade das duas serem brancas? A probabilidade da primeira bola ser branca é: número de casos favoráveis ao evento bola branca 2 P ( bola branca) 0,6667 ou 66,67 % 3 A probabilidade da segunda bola ser branca vai depender do que ocorreu na primeira retirada. Se saiu bola branca, a probabilidade da segunda também ser branca é: E Nemer 14 / 15
15 número de casos favoráveis ao evento bola branca 1 P ( bola branca) 0,5 ou 50 % 2 Para obter, então, a probabilidade de duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: P ( 2 bolas brancas) 0,3333 ou 33,33 % Agora fica fácil entender o teorema do produto. Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B. P ( A. A Se A e B não são independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade (condicional) de ocorrer B, dado que A ocorreu. P ( A A B / A / E Nemer 15 / 15
PROBABILIDADES PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
PROBABILIDADES Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a
Leia maisIntrodução à Estatística
Introdução à Estatística Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos de experimentos:
Leia maisProbabilidade e Estatística Probabilidade Condicional
Introdução Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode ser afetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência
Leia maisTeoria das Probabilidades
08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto
Leia maisEstatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade
Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação
Leia maisTeoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das
Leia maisTEORIA DAS PROBABILIDADES
TEORIA DAS PROBABILIDADES 1.1 Introdução Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da
Leia maisBIOESTATISTICA. Unidade IV - Probabilidades
BIOESTATISTICA Unidade IV - Probabilidades 0 PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COMO ESTIMATIVA DA PROBABILIDADE Noções de Probabilidade Após realizar a descrição dos eventos utilizando gráficos,
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo
Leia mais12/06/14. Probabilidade. Probabilidade. A teoria das probabilidades nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo.
A teoria das probabilidades nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo. Ela é um dos mais valiosos suplementos à ignorância e a falibilidade da mente humana. Pierre S. Laplace (1749-1827) 2
Leia mais3. Probabilidade P(A) =
7 3. Probabilidade Probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um evento ocorrerá. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza e podem ser expressas de
Leia maisProbabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Probabilidade Probabilidade Experimento Aleatório Um experimento é dito aleatório quando satisfaz
Leia maisProbabilidade em espaços discretos. Prof.: Joni Fusinato
Probabilidade em espaços discretos Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Probabilidade em espaços discretos Definições de Probabilidade Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade
Leia maisMatemática & Raciocínio Lógico
Matemática & Raciocínio Lógico para concursos Prof. Me. Jamur Silveira www.professorjamur.com.br facebook: Professor Jamur PROBABILIDADE No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE
PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido,
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Prof. Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) 23 de fevereiro de 2018 Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) Teoria das 2018.1 1 / 54 Roteiro Experimento aleatório, espaço amostral, evento 1 Experimento aleatório, espaço
Leia maisPortal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de FRAÇÃO COMO PORCENTAGEM E COMO PROBABILIDADE. Fração como Probabilidade. Sexto Ano do Ensino Fundamental
Material Teórico - Módulo de FRAÇÃO COMO PORCENTAGEM E COMO PROBABILIDADE Fração como Probabilidade Sexto Ano do Ensino Fundamental Prof. Francisco Bruno Holanda Prof. Antonio Caminha Muniz Neto 1 Introdução
Leia maisT o e r o ia a da P oba ba i b lida d de
Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que
Leia maisAulas particulares. Conteúdo
Conteúdo Capítulo 6...2 Probabilidade...2 Exercícios...4 Restpostas...9 Capítulo 7... 12 Análise combinatória... 12 Fatorial... 12 Arranjo... 13 Combinação... 16 Exercícios... 17 Respostas... 22 1 Capítulo
Leia maisCiclo 3 Encontro 2 PROBABILIDADE. Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr.
1 Ciclo 3 Encontro 2 PROBABILIDADE Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr. Probabilidade 2 Texto: Módulo Introdução à Probabilidade O que é probabilidade? parte 1 de Fabrício Siqueira
Leia maisELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015
ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Def.: Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível antes de sua realização, ou seja,
Leia maisUnidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno
Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho:
Leia maisEscola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas. Probabilidades. Cristian Villegas
Probabilidades Cristian Villegas clobos@usp.br Setembro de 2013 Apostila de Estatística (Cristian Villegas) 1 Introdução Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas
Leia maisAULA 08 Probabilidade
Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina e Bruno AULA 08 Conceitos e assuntos envolvidos: Espaço amostral Evento Combinação de eventos Espaço Amostral
Leia maisProf.: Joni Fusinato
Introdução a Teoria da Probabilidade Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso
Leia maisPROBABILIDADE - INTRODUÇÃO
E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA 1º ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA http://donaantoniavaladares.comunidades.net TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria
Leia maisEstatística: Probabilidade e Distribuições
Estatística: Probabilidade e Distribuições Disciplina de Estatística 2012/2 Curso: Tecnólogo em Gestão Ambiental Profª. Ms. Valéria Espíndola Lessa 1 Aula de Hoje 23/11/2012 Estudo da Probabilidade Distribuição
Leia maisPROBABILIDADE. É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade.
Leia mais1 Definição Clássica de Probabilidade
Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica
Leia maisLista de exercícios de Matemática Eventos, espaço amostral e definição de probabilidade. Probabilidade condicional. Exercícios gerais.
p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br. No lançamento de dois dados, D e D 2, tem-se o seguinte espaço amostral, dado em forma de tabela de dupla entrada. Lista de exercícios
Leia maisCAPÍTULO 3 PROBABILIDADE
CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE 1. Conceitos 1.1 Experimento determinístico Um experimento se diz determinístico quando repetido em mesmas condições conduz a resultados idênticos. Exemplo 1: De uma urna que contém
Leia maisProbabilidades. Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer
Probabilidades Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer Universidade Federal do Paraná Departamento de Estatística Laboratório de Estatística e Geoinformação 06/03/2018 WB, EK, FM ( LEG/DEST/UFPR
Leia maisProf. Luiz Alexandre Peternelli
Exercícios propostos 1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade de acertarmos todas as 7 questões se: a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas. b) Escolhermos
Leia maisEstatística Aplicada. Prof. Carlos Alberto Stechhahn PARTE I ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE PROBABILIDADE CONDICIONAL.
Estatística Aplicada Administração p(a) = n(a) / n(u) PARTE I ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE PROBABILIDADE CONDICIONAL Prof. Carlos Alberto Stechhahn 2014 1. Noções de Probabilidade Chama-se experimento
Leia maisProbabilidades- Teoria Elementar
Probabilidades- Teoria Elementar Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados
Leia maisProbabilidade Condicional (grupo 2)
page 39 Capítulo 5 Probabilidade Condicional (grupo 2) Veremos a seguir exemplos de situações onde a probabilidade de um evento émodificadapelainformação de que um outro evento ocorreu, levando-nos a definir
Leia maisEstatística. Disciplina de Estatística 2011/2 Curso de Administração em Gestão Pública Profª. Ms. Valéria Espíndola Lessa
Estatística Disciplina de Estatística 20/2 Curso de Administração em Gestão Pública Profª. Ms. Valéria Espíndola Lessa Estatística Inferencial Estudos das Probabilidades (noção básica) Amostragens e Distribuição
Leia maisChama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral. PROBABILIDADE. Introdução
Introdução PROBABILIDADE Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma
Leia maisProbabilidade. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Probabilidade Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Experimento aleatório Definição. Qualquer experimento cujo resultado não pode
Leia mais3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE
3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação
Leia maisProbabilidades. Palavras como
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Introdução Palavras como provável probabilidade acaso sorte pertencem ao vocabulário corrente
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES14. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Vanderlei S. Bagnato
INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES14 TÓPICO Vanderlei S. Bagnato Fundamentos da Matemática II 14.1 Introdução 14.2 Definição de Probabilidade 14.3 Adição de probabilidade 14.4 Multiplicação de Probabilidades
Leia maisEstatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.
Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano Probabilidades - Noções gerais Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Organizando todos os resultados possíveis para os dois números possíveis de observar,
Leia maisINTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15
INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15 Vanderlei S. Bagnato 15.1 Introdução 15.2 Definição de Probabilidade 15.3 Adição de probabilidade 15.4 Multiplicação de probabilidades Referências Licenciatura em Ciências
Leia maisEstatística. Aula : Probabilidade. Prof. Ademar
Estatística Aula : Probabilidade Prof. Ademar TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora
Leia mais* Acontecimento elementar: é formado por um só elemento do conjunto de. * Acontecimento composto: é formado por dois ou mais elementos do conjunto
PROBABILIDADE A linguagem das probabilidades Quando lidamos com probabilidade, as experiências podem ser consideradas: Aleatórias ou casuais: quando é impossível calcular o resultado à partida. Como exemplo
Leia maisAdição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):
Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B
Leia maisSe a bola retirada da urna 1 for branca temos, pelo princípio da multiplicação:
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística Paul L. Meyer Capitulo 3 Probabilidade Condicionada e Independência. 1. Probabilidade Condicionada. Definição: Definição. Dizemos que os representam uma
Leia maisPROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 2 07 e 08 março MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos
PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Aula 2 07 e 08 março 2007 1 1. Probabilidade Condicional 2. Propriedades 3. Partições 4. Teorema de Probabilidade Total 5. Teorema de Bayes 6. Independencia
Leia maisProbabilidade. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Probabilidade Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Introdução Experimento aleatório Definição Qualquer experimento cujo resultado
Leia maisProbabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise
Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Você reconhece algum desses experimentos? Alguns
Leia maisEXERCÍCIOS REVISIONAIS SOBRE BINÔMIO DE NEWTON SISTEMAS LINEARES PROBABILIDADE 2 ANO
QUESTÃO 1: Uma urna contém 4 bolas vermelhas, 6 pretas e 5 azuis. Retirando-se dessa urna, ao acaso, uma bola, CALCULE a probabilidade de ela: ser vermelha. ser vermelha ou preta. não ser azul. QUESTÃO
Leia maisPROBABILIDADE. Luciana Santos da Silva Martino. PROFMAT - Colégio Pedro II. 01 de julho de 2017
Sumário PROBABILIDADE Luciana Santos da Silva Martino PROFMAT - Colégio Pedro II 01 de julho de 2017 Sumário 1 Conceitos Básicos 2 Probabildade Condicional 3 Espaço Amostral Infinito Outline 1 Conceitos
Leia maisLista 2 Estatística 1. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule a
Lista 2 Estatística 1. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule a probabilidade se sair bola: a. azul; b. vermelha; c. amarela. 2.
Leia maisExperiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos
Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos Experiência Aleatória É uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar; conhece-se o universo dos resultados
Leia maisPrincípios de Bioestatística
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 5 Introdução à Probabilidade Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova 1 de Probabilidade I Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 15 de setembro de 2014 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória
Leia maisEstatística Aplicada. Prof. Carlos Alberto Stechhahn EXERCÍCIOS - REVISÃO ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE. Administração. p(a) = n(a) / n(u)
Estatística Aplicada Administração p(a) = n(a) / n(u) EXERCÍCIOS - REVISÃO ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE Prof. Carlos Alberto Stechhahn 2014 1. Tema: Noções de Probabilidade 1) Considere o lançamento
Leia maisTeoria da Probabilidade
Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos
Leia maisOs experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.
PROBABILIDADE Prof. Aurimenes A teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Leia mais1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades
1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades 1.1 Definição Frequentista Considere um experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado honesto. O espaço amostral desse experimento é Ω = {1, 2, 3,
Leia maisEstatística Planejamento das Aulas
7 de outubro de 2018 Fatorial Para n inteiro não negativo. O fatorial de n é definido por: Convenciona-se: Para n = 0, 0! = 1 Para n = 1, 1! = 1 Exemplos: 1. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 2. 4! = 4.3.2.1 = 24
Leia maisProbabilidade Condicional
18 Probabilidade Condicional Sumário 18.1 Introdução....................... 2 18.2 Probabilidade Condicional............... 2 1 Unidade 18 Introdução 18.1 Introdução Nessa unidade, é apresentada mais uma
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como P (B) = 1 P ( B ) = P (B) P (A B) vem que P (B) = 1 0,7
Leia maisSerá que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza. Probabilidades Aula 1
Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza Probabilidades Aula 1 Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai chover amanhã? Quanto tempo levarei de casa até a universidade? Em quanto tempo
Leia maisPROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache
PROBABILIDADE Aula 2 Probabilidade Básica Fernando Arbache Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência
Leia maisOs experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.
PROBABILIDADE A teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Os experimentos
Leia maisUniversidade Estadual de Londrina Centro de Ciências Exatas Departamento de Estatística. Probabilidades
Universidade Estadual de Londrina Centro de Ciências Exatas Departamento de Estatística Probabilidades Aluna(o): Aluna(o): Turma: Responsável: Prof. Silvano Cesar da Costa L O N D R I N A Estado do Paraná
Leia maisIntrodução à Bioestatística
Instituto Nacional de Cardiologia March 11, 2015 1 2 3 Os primeiros estudos surgiram no século XVII Teve origem nos jogos de azar Grandes nomes da matemática desenvolveram teorias de probabilidades: Pascal
Leia maisEscola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 2011/12 Distribuição de probabilidades 12.º Ano
Escola Secundária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 0/ Distribuição de probabilidades.º Ano Nome: N.º: Turma:. Numa turma do.º ano, a distribuição dos alunos por idade e sexo
Leia maisProf. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução
Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da causa e efeito. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a
Leia maisCoordenadoria de Matemática. Apostila de Probabilidade
Coordenadoria de Matemática Apostila de Probabilidade Vitória ES 1. INTRODUÇÃO CAPÍTULO 03 Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático que permite
Leia maisRegras de probabilidades
Regras de probabilidades Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 16 de maio de 2018 Londrina 1 / 17 Propriedades As probabilidades sempre se referem a
Leia maisNoções de Probabilidade
Noções de Probabilidade Joel M. Corrêa da Rosa 2011 A estatística descritiva é ferramenta indispensável para extrair informação em um conjunto de dados. Entretanto, a tomada de decisões está fortemente
Leia maisDisciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros. DTAiSeR-Ar
Disciplina: 221171 Probabilidade Condicional Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1 Probabilidade condicional Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos
Leia maisProbabilidades. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Gestão de Empresas Contabilidade e Administração
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gestão de Empresas Contabilidade e Administração Introdução Ao comprar acções, um investidor sabe que o ganho que vai obter
Leia maisProbabilidade e Estatística
Aula 3 Professora: Rosa M. M. Leão Probabilidade e Estatística Conteúdo: 1.1 Por que estudar? 1.2 O que é? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade 1.6 Análise Combinatória 3
Leia maisConteúdo: Aula 2. Probabilidade e Estatística. Professora: Rosa M. M. Leão
Aula 2 Professora: Rosa M. M. Leão Probabilidade e Estatística Conteúdo: 1.1 Por que estudar? 1.2 O que é? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade 1.6 Análise Combinatória 3
Leia maisProbabilidade. Experiências aleatórias
Probabilidade Experiências aleatórias 1 Experiências aleatórias Acontecimento: Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar: Um resultado que não pode ser simplificado ou
Leia maisAgrupamento de Escolas de Diogo Cão, Vila Real
Agrupamento de Escolas de Diogo Cão, Vila Real 2015/2016 MATEMÁTICA FICHA DE TRABALHO 7 3º PERÍODO MAIO Nome: Nº Turma: 9º Data: CIRCUNFERÊNCIA 1. Relativamente à fig. 1 indica: 1.1 duas cordas; 1.2 a
Leia maisLista 3 - Introdução à Probabilidade e Estatística
Lista - Introdução à Probabilidade e Estatística Probabilidade em Espaços Equiprováveis 1 Num evento científico temos 1 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão escolhidos aleatoriamente para participar
Leia mais1- INTRODUÇÃO 2. CONCEITOS BÁSICOS
1 1- INTRODUÇÃO O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir um certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo
Leia mais2. Se A e B são acontecimentos incompatíveis, a sua interseção é o conjunto vazio, pelo que
reparar o Exame 0 06 Matemática ágina 6. nalisemos cada opção: : e não são contrários pois a sua união não é o espaço amostral. Há, ainda, bolas pretas. : e não são contrários pois a sua união não é o
Leia maisIntrodução à Probabilidade
A Teoria de Probabilidade é responsável pelo estudo de fenômenos que envolvem a incerteza (é impossível prever antecipadamente o resultado) e teve origem na teoria de jogos, servindo como ferramenta para
Leia maisCapítulo 2 Probabilidades
Capítulo 2 Probabilidades Slide 1 Definições Slide 2 Acontecimento Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar Um resultado que não pode ser simplificado ou reduzido. Espaço
Leia mais1 Noções de Probabilidade
Noções de Probabilidade Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária
Leia maisProbabilidade. É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Probabilidade Introdução O trabalho estatístico se desenvolve a partir da observação de determinados fenômenos e emprega dados numéricos relacionados aos mesmos, para tirar conclusões que permitam conhecê-los
Leia maisProposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número
Leia maisFernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative
Leia maisModelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49 Conceitos Fundamentais Prof. Tarciana Liberal
Leia mais3. A probabilidade do evento de números pares. 4. O evento formado por número menor que três. 5. A probabilidade do evento número menor que três.
1 a Lista de Exercício - Estatística (Probabilidade) Profa. Ms. Ulcilea A. Severino Leal Algumas considerações importantes sobre a resolução dos exercícios. (i) Normas da língua culta, sequência lógica
Leia maisLista de exercícios Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Agrárias Departamento de Tecnologia Agroindustrial e Socioeconomia Rural Disciplina: Noções de Probabilidade e Estatística (221171) - 2019 Prof. a
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Análise e Elaboração de Projetos Apresentação Prof Dr Isnard Martins Conteúdo: Profº Dr Carlos Alberto (Caio) Dantas Profº Dr Luiz Renato G. Fontes Prof Dr Victor Hugo Lachos
Leia maisResposta: Resposta: 4 ou seja, 1.
1. (Unicamp 2016) Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a a) 1. 4 b). 8 c) 1. 2 d). 4
Leia maisCap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS
Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um
Leia mais