INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

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1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Análise e Elaboração de Projetos Apresentação Prof Dr Isnard Martins Conteúdo: Profº Dr Carlos Alberto (Caio) Dantas Profº Dr Luiz Renato G. Fontes Prof Dr Victor Hugo Lachos Davila Prof Fernando Brito Soares Prof. Claudio Jordão et al. Prof David Lavine et al. Prof Isnard Martins 1

2 Experimento Designaremos por Experimento todo processo que fornece dados: Pode ser a observação de um fenômeno natural: 1.observação astronômica 2.meteorológica 2

3 Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplos: Condições climáticas do próximo domingo; Taxa de inflação do próximo mês; Resultado ao lançar um dado ou moeda; Tempo de duração de uma lâmpada. Espaço Amostral (O) Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno aleatório. 3

4 observação de um experimento controlado para testar a fadiga de materiais verificar o resultado de um exame de sangue etc. pesquisa de opinião para saber quantos estudantes fumam na Universidade quantos eleitores tem intenção de votar num candidato A em uma eleição 4

5 Exemplos: 1. Lançamento de um dado.? O={1,2,3,4,5,6} 2. Tipo sanguíneo de um individuo.? O={A, B, AB,0} 3. Opinião de um eleitor sobre um projeto.? O={Favorável,Contrário} 4. Tempo de duração de uma lâmpada? O={t; t>0) Evento subconjunto do espaço amostral O Notação: A, B, C,... Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos: A: sair face par:? A={2,4,6}? O B: Sair face maior que 3? B={4,5,6}? O C: sair face 1? C={1}? O D: sair face 7? D={ } (evento impossível)= Ø (conjunto vazio)? O 5

6 Definição Clássica ou a priori Se um experimento aleatório tiver n(o) resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se um evento A tiver n(a) desses resultados. A probabilidade do evento A representado por P(A), é dado por: Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a probabilidade de: a) Obter soma 7; b) Obter soma maior que 10; c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo. 6

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8 Definição frequentista ou a posteriori Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o evento A ocorre exatamente r<n vezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, r/n, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja, Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito. Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de A={ resultado obtido é cara}. 8

9 Experimento aleatório Os resultados são imprevisíveis mas podemos descrever quais são os possíveis resultados. É possível associar uma chance a cada possível resultado. 9

10 Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral A? B: União dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B AnB: Intersecção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, AnB= Ø A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço amostral, isto é. AnB= Ø e A? B= O. O complementar de um evento A é representado por A C 10 ou A

11 Exemplo 1 Qual a probabilidade do Funcionário 10 ser escolhido? {Funcionário 1, Funcionário 2,, Funcionário 100 } Se há 40 mulheres dentre os 100 funcionários, qual é a probabilidade de uma delas ser escolhida? 11

12 Exemplo 2 Lançamento de um dado honesto Conjunto de possibilidades = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Qual é a probabilidade de vitória? Supondo que o dado é equilibrado, temos: (3/6) (nº de possibilidades favoráveis / nº total de possibilidades ) 12

13 Modelos matemáticos para experimentos aleatórios Modelo de Probabilidade 1)? = Conjunto de resultados possíveis do experimento, denominado Espaço Amostral. 2) Atribuição de Probabilidades a cada Evento = Subconjunto do Espaço Amostral. Eventos particulares do experimento Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. Evento A: é escolhida uma mulher A = {ser escolhida uma mulher}? 1 13

14 Exemplo 2? 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: sair face par B = {2, 4, 6}?? 2 Evento C: sair uma face ímpar C = {1, 3, 5}?? 2 Evento D: sair uma face maior que 3 D = {4, 5, 6}?? 2 Evento E: sair face 1 E = {1}?? 2 14

15 A um experimento aleatório está associado um espaço amostral?. Um evento A ocorre se o resultado do experimento pertence a A. Os conjuntos? e Ø também são eventos:? é o evento certo Ø é o evento impossível 15

16 Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral: O evento interseção de A e B, denotado An B, é o evento em que A e B ocorrem Simultaneamente O evento reunião de A e B, denotado AUB, é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos) O evento complementar de A, denotado Ac, é o evento em que A não ocorre 16

17 Exemplos: interseção e reunião de eventos? 2 = {1,2,3,4,5,6} Eventos A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 3, 5} A n C = {2, 4, 6} n {1, 3, 5} = Ø sair uma face par e ímpar A n B = {2, 4, 6} n {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e maior que 3 A U B = {2, 4, 6} U {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou maior que 3 A U C = {2, 4, 6} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sair uma face par ou ímpar 17

18 Probabilidade É uma função que atribui aos eventos de? um número P(A) (se A é um evento de?, P(A) é a probabilidade de A) satisfazendo as condições: 1) 0 <= P(A) <= 1 2) P(Ø) = 0, P(? ) = 1 3) Regra da soma para dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos: P(A U B) = P(A) + P(B) 18

19 Propriedades Probabilidade da união de eventos: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A n B) Probabilidade do evento complementar: P(AC) = 1 - P(A) para todo evento A 19

20 Relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária entre 20 a 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura 20

21 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.? = conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Exemplo Eventos de interesse: M = jovem sorteado é do sexo masculino F = jovem sorteado é do sexo feminino L = jovem sorteado sabe ler M n L = jovem sorteado é do sexo masculino e sabe ler M U L = jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler 21

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24 Definição de probabilidade condicional Se A e B são eventos de um experimento aleatório, a prob. condicional de A dado B é: Exemplo: Prob. de um jovem sorteado ser do sexo masculino dado que sabe ler: P(M L) = P(M n L) = 0,388 = 0,460 P(L) 0,843 Regra do Produto: P(A n B) = P(B).P(A B) 24

25 Exercícios Ex. 1 No lançamento de um dado perfeito de 6 faces qual é a probabilidade de saída de: a) um número par; b) um número superior a 4; c) um número igual ou inferior a 4 25

26 Exercícios a) um número par; b) um número superior a 4; c) um número igual ou inferior a 4 26

27 Probabilidades Aplicações na Administração de Projetos A incerteza é uma característica inerente a todos os fatos da vida particularmente àqueles relacionados com o futuro. A probabilidade é uma medida de certeza ou incerteza. Quando afirmamos ser possível realizar um projeto em 15 semanas, afirmamos que em determinadas condições de trabalho e da equipe envolvida, a realização plena do projeto pode ser obtida no prazo dimensionado. 27

28 Probabilidades Aplicações na Administração de Projetos Quando afirmamos que a probabilidade de desenvolvimento de uma atividade é de 60%, estamos na verdade associando uma medida de certeza à sua realização, bem como uma medida de incerteza de 40% à não realização da atividade. Quanto mais improvável apresentar-se a realização do evento mais próximo de zero estará a probabilidade de sua realização e quanto mais provável, mais próximo de 1 estará a sua probabilidade de materialização. 28

29 Probabilidades Aplicações na Administração de Projetos O conceito de probabilidade é muito útil na área de administração, já que permite expressar opiniões quantificadas com base na experiência pessoal de gestores. Com base no aprendizado profissional podemos tomar decisões com maior segurança através das informações acumuladas e armazenadas em nossa mente ao longo do tempo. Desta forma quando afirmamos assumir um risco calculado, queremos afirmar que dispomos de um grau de certeza satisfatório para determinada situação sobre o sucesso de certa ação. 29

30 EXERCÍCIO Se escolhermos aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade: 1. A carta escolhida ser preta? 2. A carta escolhida ser um ás? 3. A carta escolhida ser um às preto? 4. A carta escolhida ser um ás ou carta preta? 5. Sabendo à priori que a carta escolhida é preta, ser a carta um ás? 30

31 EXERCÍCIO Se escolhermos aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade: A carta escolhida ser preta? A carta escolhida ser um ás? A carta escolhida ser um às preto? A carta escolhida ser um ás ou carta preta? Sabendo à priori que a carta escolhida é preta, ser a carta um ás? 31