Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos Mutuamente Exclusivos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória

2 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 1 Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar? 2 Uma prova consta de 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta. Se um aluno chutar todas as respostas: a)qual a probabilidade dele acertar uma questão? b)qual a probabilidade dele acertar todas as questões?

3 Experimentos Aleatórios O que é um experimento aleatório? Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado! Exemplos: Resultado de jogar um dado Palavra de busca submetida ao Google Tempo de espera no ponto de ônibus Vivemos num mundo aleatório...

4 Modelo Probabilístico Componentes Espaço amostral (S): conjunto de eventos elementares que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório Probabilidade de eventos (P): quantificação da chance que cada evento ocorra Conjunto de eventos (E): subconjunto de eventos que são de nosso interesse

5 Álgebra de Eventos Diagrama de eventos Espaço amostral S Evento A Evento B Evento C Conjunto de eventos (resultados) elementares Ex. evento A, evento B, etc Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório Operações de união, interseção e complemento

6 Exemplo: Dois dados Considere dois dados jogados simultaneamente Qual é o espaco amostral? S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Evento A : os dois dados são pares A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6,2), (6,4), (6,6)} Evento B : soma é menor que 7 B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

7 Exemplo: Dois dados Evento A : os dois dados são pares A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), (6,6)} Evento B : soma é menor que 7 B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)} Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados são pares A B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}

8 Exclusão Mútua Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se A B= conjunto vazio Exemplos? Evento A: os dois dados são pares Evento B: os dois dados são ímpares

9 Axiomas de Probabilidade (A1): para cada evento A, 0 <= P(A) <= 1 (A2): P(S) = 1, onde S é o espaço amostral (A3): se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A U B) = P(A) + P(B) Consequências? Teoria de Probabilidade!

10 Exemplo de Confiabilidade Sistema com 2 discos idênticos Sistema operacional quando ao menos 1 disco está funcionando Qual probabilidade do sistema estar operacional? Modelo p: prob. de um disco falhar Falhas ocorrem de forma independente

11 Exemplo de Confiabilidade Qual é o experimento aleatório? Qual é o espaço amostral? estado do disco 1, estado do disco 2 f = disco falhou, o = disco operacional S = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) } Qual é o conjunto de eventos de interesse? (ao menos 1 disco está operacional) A = { (f, o), (o, f), (o, o) } Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse?

12 Exemplo Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunos de cada sexo numa escola: Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% na turma B, escolhemos um estudante ao acaso. Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexo feminino ou alguém da turma B?

13 Exemplo Da tabela e das características das turmas A e B temos: P(M) = 0,26; P(A) = 0,52; P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.

14 Exemplo Pergunta colocada: "Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexo feminino ou alguém da turma B?" Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já que teríamos probabilidade maior que 1. Estamos somando duas vezes alguns elementos pois há mulheres em ambas as turmas Queremos P(F B) P(M) = 0,26; P(A) = 0,52; P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.

15 Exemplo Temos que P(F B) é igual ao número de estudantes do sexo feminino e da turma B. Assim, para obter a probabilidade correta temos que somar as probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste valor P(F B) P(F B)=P(F)+P(B) P(F B)

16 Caso geral Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabilidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por P( A B)=P( A)+P(B) P( A B) observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somente neste caso),a probabilidade da intersecção de A com B é nula e temos que a união é igual a soma das probabilidades dos dois eventos. Esta regra pode ser estendida para soma de três ou mais termos.

17 Como calcular as freqüências de ocorrência? Contando o número de casos favoráveis para ocorrência de um certo evento, se os eventos são equiprováveis Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos

18 Permutação com repetição Contamos o número de maneiras que podemos selecionar objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto pode se repetir diversas vezes (n.n... n(k vezes)) = n k

19 Permutação sem repetição Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto não pode se repetir P(n,k) = (n.(n 1)... (n k+1)) = n! / (n k)!, para k = 1,2,...,n

20 Combinação de n objetos distintos Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem não é importante e o mesmo objeto não pode se repetir C(n,k) = n! / (k!(n k)!), para k = 1,...,n

21 Exemplo 1 Considere uma caixa com 75 placas de memória sem problemas e 25 placas com defeito. Se selecionarmos aleatoriamente 12 placas, qual a probabilidade de ao menos uma delas possuir defeito?

22 Exemplo 1 E = no mínimo uma placa possui defeito E = nenhuma placa possui defeito P E = E S = P E =1 P E

23 Exemplo 2 Considere uma rede celular que possui n estações base. Cada estação base possui m canais operando por TDMA. A estação base está sujeita a falhas. Para avaliar o impacto da falha de uma estação base, temos que calcular o número de canais sendo usados no momento da falha. Suponha que o número de canais sendo usados em todo o sistema seja igual a k e que o número de canais ociosos seja igual a j (j+k=mn), no momento da falha.

24 Exemplo 2 Qual a probabilidade de que i canais (da estação que falhou) estejam sendo usados no momento da falha, ou seja, a probabilidade de que i clientes serão afetados pela falha?

25 Exemplo 2 E = i canais estão na estação que falhou (k-i) canais estão nas outras estações p i = E S = m n 1 m k i i mn k i canais estão na estação que falhou k canais sendo usados de um total de mn