Probabilidades 1. Motivação; 2. Conceitos importantes; 3. Definições de probabilidades; 4. Probabilidade Condicional; 5. Independência de eventos; 6.

Transcrição

1 Probabilidades 1. Motivação; 2. Conceitos importantes; 3. Definições de probabilidades; 4. Probabilidade Condicional; 5. ndependência de eventos; 6. Regra da probabilidade total.

2 Probabilidades Probabilidades S RSLTDS, MSM M CNDÇÕS NRMS D XPRMNTÇÃ, VRM D M BSRVÇÃ PR TR. DFCLT PRVSÃ D RSLTDS FTRS

3 Probabilidades teoria das probabilidades nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo. probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos biológicos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

4 Probabilidades xercícios: a)qual a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino? b)m pesquisador verifica que, dentre 1000 casos de cirrose hepática, 40 evoluíram para câncer. Com base nessa experiência, qual a probabilidade da cirrose se tornar cancerosa?

5 CNCTS MPRTNTS xperimento aleatório ou Processo DFNÇÃ 1: Qualquer fenômeno que gere CNDÇÕS: resultado incerto ou casual. Cada experimento pode ser repetido sob as mesmas condições; Não se conhece um valor particular do experimento a priori, porém, podemos descrever todos os possíveis resultados.

6 CNCTS MPRTNTS xperimento aleatório xemplos: 1. bservar o número de caras obtidos no lançamento de uma moeda; 2. Jogar um dado e observar o número que cai na face superior; 3. De uma urna com 2 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, retirar uma bola com ou sem reposição e observar a cor. 4. bservar o número de peças defeituosas produzidas.

7 CNCTS MPRTNTS vento: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorridos no experimento. 1. o jogar a moeda o evento foi cara; 2. raio atingir (ou não) uma pessoa; 3. o jogar dois dados o evento foi número nove. vento simples: é um resultado, ou um evento, que não comporta mais decomposições. 1. o jogar a moeda o evento foi cara; 2. o jogar o dado o evento foi o número quatro.

8 CNCTS MPRTNTS spaço mostral de um experimento É composto pelo conjunto de todos os eventos simples possíveis, o espaço amostral também é chamado de conjunto universo. 1. No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é composto de dois eventos: cara ou coroa. 2. No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é composto de quatro eventos: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa). 3. No lançamento de um dado, o espaço amostral é composto de seis eventos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

9 CNCTS MPRTNTS peração com conjuntos NÃ: É o evento que ocorre se ocorrer, B ocorrer ou ambos ocorrerem. B B

10 CNCTS MPRTNTS peração com conjuntos NTRSÇÃ: É o evento que ocorre se e B ocorrerem simultaneamente. B B

11 CNCTS MPRTNTS peração com conjuntos CMPLMNTR c : É o evento que ocorre se NÃ ocorrer. C B

12 CNCTS MPRTNTS peração com conjuntos MTMNT XCLSVS: É caracterizado quando e B não ocorrerem simultaneamente. B = Ø B

13 Recapitulando bservar o número de caras no lançamento de 4 moedas. que é? R. xperimento aleatório = {CKCK} B = {CKKK} C = {0,1,2,3} que são? R. ventos. e B B

14 CM PDMS DFNR PRBBLDD? Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento futuro. Há várias maneiras de se medir a incerteza e é costume se pensar na seguinte divisão: 1) Método Clássico; 2) Método Subjetivo; 2) Método Freqüentista; 4) Método Moderno ou xiomático;

15 Definição Clássica m conjunto de N eventos equiprováveis, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento, é dado pela razão: P n N nde: n é o número de elementos em N é o número de elementos em.

16 Definição Moderna Probabilidade é uma função P( ), que associa a cada evento do espaço amostral, um número real, pertencente ao intervalo [0, 1], satisfazendo os seguintes axiomas: (1) 0 P() 1. (2) P( ) = 1. (3) Se e B são eventos mutuamente exclusivos: P( B) = P() + P(B).

17 Definição Moderna Propriedades P1: P(Ø) = 0, onde. é o conjunto vazio. P2: Se c for o evento complementar de, então P( c ) = 1 P(). P3: Se B, então P() P(B).

18 Teorema da adição Se e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos e B é igual a adição das probabilidades de e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto e B. P( B) = P() + P(B) - P( B) Se e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos), a probabilidade da reunião dos subconjuntos e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P( B) = P() + P(B)

19 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? P( Quadrado Vermelho ) 8 9 P( Quadrado Vermelho ) P( Quadrado ) P( Vermelho ) ? 9 9 9

20 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? P( Quadrado Vermelho ) 8 9 P( Quadrado Vermelho ) P( Quadrado ) P( Vermelho ) P( Quadrado Vermelho )

21 Probabilidade B B P( B) P( ) P( B) P( B) B B P( B) 0 P( B) P( ) P( B) (eventos mutuamente exclusivos)

22 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2)?? ?

23 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2)? ?

24 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2) P( Vermelho P(?) 1)

25 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2) P( Vermelho sabendo P(?) que Vermelho ) 2 1 P( Vermelho / Vermelho ) 2 1

26 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2) P( Vermelho Vermelho ) P( Vermelho ). P( Vermelho / Vermelho )

27 Probabilidade B B P( B) P( ). P( B / ) P( B). P( / B)

28 Probabilidade B B xemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho 1 Vermelho 2)?? 6 6 P ( Vermelho 1 Vermelho 2 ) (eventos independentes) P( Vermelho 1). P( Vermelho 2)

29 Probabilidade B B P( B) P( ). P( B / ) P( B). P( / B) P( / B) P( ) e P( B / ) P( B) P( B) P( ). P( B) (eventos independentes)

30 Probabilidade C B Qual a probabilidade de escolher pelo menos 1 objeto vermelho? P( pelo menos 1 Vermelho ) P(1 Vermelho) P(2 Vermelhos ) P(3 Vermelhos ) 1 P(5 zuis) ,9978 P(4 Vermelhos ) P(5 Vermelhos )

31 Probabilidade C B P( ) 1 P( )

32 Probabilidade xercícios 1) probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos, a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) nenhum esteja vivo; e e) pelo menos um esteja vivo. H: homem vivo H: homem morto M: mulher viva M: mulher morta

33 Probabilidade xercícios 1) probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) ambos estejam vivos; P( H M ) P( H). P( M) b) somente o homem esteja vivo; P( H M ) P( H). P( M ) c) somente a mulher esteja viva; P( H M ) P( H). P( M )

34 Probabilidade xercícios 1) probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: d) nenhum esteja vivo; P( H M ) P( H). P( M ) e) pelo menos um esteja vivo; P( H M ) P( H) P( M) P( H M) 1 P( H M ) bs: P( H M ) P( H M ) P( H M ) P( H M )

35 Probabilidade xercícios 2) Sejam e B eventos tais que P() = 0,2; P(B) = p; e P( B) = 0,6. Calcular p considerando e B: a) mutuamente exclusivos; b) independentes.

36 Probabilidade xercícios 2) Sejam e B eventos tais que P() = 0,2; P(B) = p; e P( B) = 0,6. Calcular p considerando e B: a) mutuamente exclusivos; P( B) 0 P( B) P( ) P( B) PB ( ) 0,6 0,2 0,4 b) independentes P( B) P( ). P( B) P( B) P( ) P( B) P( B) P( ) P( B) P( ). P( B) P( B). 1 P( ) P( ) P( B) P( B) P( ) P( B) P( ) 0,6 0,2 0,4 PB ( ) 0,5 1 P ( ) 1 0,2 0,8

37 Probabilidade xercícios 3) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2zuis P(3 Vermelhos ) P( V V V ) P( V V V ) P( V V V ) ?

38 Probabilidade xercícios 3) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2zuis P(3 Vermelhos ) P( V V V ) P( V V V ) P( V1 V2 V3 4 5 ) ?

39 Probabilidade xercícios 3) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2zuis P(3 Vermelhos ) P( V V V ) P( V V V ) P( V1 V2 V3 4 5 ) P( 1 2 V3 V4 V5 ) ? Técnicas de contagem

40 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a

41 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a

42 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a

43 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a

44 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a 5 x 5 x 5 = 125 grupos? grupos

45 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? com reposição 1 a 2 a 3 a 5 x 5 x 5 = 125 grupos # grupos n r

46 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição 1 a 2 a 3 a

47 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição 1 a 2 a 3 a

48 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição 1 a 2 a 3 a

49 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição 1 a 2 a 3 a

50 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição 1 a 2 a 3 a? grupos 5 x 4 x 3 = 60 grupos

51 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição Permutação 1 a 2 a 3 a r n! Pn ( n r)! 3 5! P5 (5 3)! 2 5 x 4 x 3 = 60 grupos 60

52 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição (ordem não é importante) 1 a 2 a 3 a 6 grupos 3! P 3

53 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição (ordem não é importante) 3 P 5 1 a 2 a 3 a

54 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição (ordem não é importante) Combinação 1 a 2 a 3 a 10 grupos P P

55 Técnicas de Contagem De quantas formas posso formar grupos de 3 letras? sem reposição (ordem não é importante) Combinação 1 a 2 a 3 a C r n n n! r r!( n r)! 3 5! C5 10 3!(5 3)! 3 2 2

56 Técnicas de Contagem De quantas formas posso rearranjar estas 9 letras? sem reposição Permutação com repetição k n! # grupos n n n! n!... n! i k i 9! # grupos 2!1!2!3!1!

57 Probabilidade xercícios 4) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2zuis P(3 Vermelhos ) P( V V V ) P( V V V ) P(3 Vermelhos ) 5! !2! ! 3!2!

58 Probabilidade xercícios 5) Duas imagens de duas épocas distintas foram classificadas em 3 classes: floresta (F), capoeira (C) e área agrícola (). fim de comparar as mudanças entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada entre as imagens classificadas, obtendo-se a seguinte matriz (em ha): É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola Selecionando-se um ponto aleatoriamente, calcule a probabilidade deste ponto: a) ser floresta na época 1; b) ser floresta em ambas as épocas; c) ser capoeira em qualquer época; d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas; e) ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1; e f) ser capoeira na época 2, não tendo sido área agrícola na época 1.

59 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola a) ser floresta na época 1 PF ( 1)

60 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola b) ser floresta em ambas as épocas P( F1 F 2)

61 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola c) ser capoeira em qualquer época P( C1 C2)

62 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas P ( F1 F2 ) ( C1 C2) ( 1 2 )

63 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola e) ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1 P C2/

64 Probabilidade É p o c a 1 É p o c a 2 Floresta Capoeira Área grícola Floresta Capoeira Área grícola f) ser capoeira na época 2, não tendo sido área agrícola na época P C2/ 1 1 P( C2/ 1)