Definição: É uma coleção bem definida de

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1 EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 1: Introdução à Probabilidade Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF

2 Conjuntos: Definição e notação Definição: É uma coleção bem definida de objetos, elementos ou unidades. Notação: Letras maiúsculas: A, B, C, São descritos de três formas: Lista: A={1,2,3,4}; Por extenso: A contém os primeiros quatro números inteiros maiores que zero; ou A={x inteiros 0<x<5} ou B={x 0 x 5} (B: todos os reais entre 0 e 5, inclusive) EXERCÍCIO: Defina C: Ano de ingresso na UFJF, e D: Estado (BR) de procedência de alunos da UFJF. 2

3 Conjuntos: Definição e notação Exemplo: 3

4 Relação entre conjuntos Definição: Cardinalidade de A é o número de elementos desse conjunto. Denota-se por n(a) ou #(A). #(A) pode ser: finito, infinito enumerável ou infinito. Exemplos: quadro (fl. 5)! 4

5 Representação Gráfica 5

6 Operações com conjuntos (1) União (2) Interseção (3) Diferença (4) Complemento 6

7 Propriedades das operações com conjuntos Denote o conjunto universo por Ω. Então (1) Ω C = Ø (4) Lei Comutativa A U B = B U A e A B = B A Exemplo: quadro (fl. 3) 7

8 Propriedades das operações com conjuntos 8

9 Produto Cartesiano Definição: Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de descrito por: Observações: A x B={(a,b) a A e b B} Em geral A x B B x A. Pode ser estendido para n conjuntos. Exemplo: Sejam os conjuntos A={x,z} e B={1,2} temos: A x B ={(x,1),(x,2),(z,1),(z,2)} Exercício: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4}. Mostre que A x B é diferente de B x A. 9

10 Exercícios Fazer exercícios 1.3, 1.4 e 1.5 Meyer (arquivo Lista1_p1a da página) 10

11 Modelo Matemático Definição: Uma relação que explica de forma simplificada um fenômeno ou observação. Tipos de fenômenos ou observações: DETERMINÍSTICO: Determinado pelas condições sob as quais o experimento é executado. Exemplo: Lei de Ohm, lei de Kepler, etc. ALEATÓRIO OU NÃO-DETERMINÍSTICO: Condições só determinam o comportamento probabilístico. Exemplo: Fenômenos de radiação, chuvas etc. Os fenômenos ou observações são estudados ou obtidos via EXPERIMENTOS. 11

12 Experimentos Aleatórios Características: 1) Pode ser repetido indefinidamente sob condições inalteradas. 2) Embora não seja possível saber qual resultado ocorrerá, pode-se descrever todos os possíveis resultados. 3) Os resultados individuais parecem ocorrer de uma forma acidental, porém, quando repetidos um grande número de vezes surge uma regularidade. Exemplos: livro texto, pág

13 Espaço Amostral Definição: Dado um experimento E, o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Notação: letra S. Observações: O resultado não é sempre um número. É importante conhecer o número de resultados. Estes resultados podem ser finitos, infinitos enumeráveis ou infinitos não enumeráveis. Existem diferenças entre um espaço amostral idealizado e o espaço amostral realizável. Exemplos: livro texto, pág. 11 Exercício: O experimento consiste em escolher aleatoriamente um ponto do círculo de raio unitário. Descreva S. 13

14 Evento - Definição Definição: Um evento A relativo a um espaço amostral S e associado a um experimento é um conjunto de resultados possíveis. De outra forma, é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Notação: Letras maiúsculas. Observação: Ø e S são eventos! Exemplo: Resultado de um Lançamento de um dado (face voltada para cima). S={1,2,3,4,5,6} Eventos: A={ocorre par} = {2,4,6}, B = {ocorre no máximo 3} = {1,2,3} Exercício: Considere o experimento que consiste em lançar dois dados, defina o Espaço Amostral, diversos interesses e Eventos para o experimento. 14

15 Evento - continuação Se um espaço amostral S contém n elementos, quantos subconjuntos existem? Prova no Cap. 2. Definição: Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se A B = Ø. 15

16 Frequência Ao definir o espaço amostral de um experimento, é importante conhecer o número de elementos que este contém. Finalmente, é possível determinar o número de elementos para qualquer evento W que se defina sobre o espaço amostral gerado pelo experimento E. Determinar este número de elementos é determinar sua Frequência. Observação: O experimento (E), o espaço amostral (S) e um evento (W) sempre estão relacionados. 16

17 Um Exemplo Exemplo: Lançamento de dois dados com interesse na soma das faces voltadas para cima. Experimento (E): Lançamento de dois dados. Algumas observações práticas a respeito são: Forma de lançamento dos dados (um após outro ou juntos) Os dados são identificáveis (por exemplo, cores diferentes). 17

18 Um Exemplo - continuação Espaço Amostral (S): Considerando S 1 e S 2 os espaços amostrais dos experimentos 1 e 2, respectivamente. S 1 ={1,2,3,4,5,6} e S 2 = {1,2,3,4,5,6} Logo o espaço amostral S pode ser construído a partir de S 1 x S 2. S= S 1 x S 2= {(x,y) x S 1 e y S 2 } ou S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5), (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 18

19 Um Exemplo Evento (W): Soma resulta em 7. W= {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)} Pela tabela, vemos que W é o evento (simples) mais frequente. Determinando frequências: Soma do lançamento Frequência Outro evento: A = diferença absoluta é menor ou igual a 1 entre os dois dados. A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3), (3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)} 19

20 Definição de Probabilidade (I) Clássica ou à priori: Se um experimento aleatório tiver n(ω) resultados exclusivos e igualmente prováveis e se um evento W tiver n(w) desses resultados, então a probabilidade de ocorrer o evento W é dada por Verifica-se que: Os valores de probabilidade estão entre 0 e 1. Se Ω = {w 1, w 2,..., w n }, então P(w i )=1/n, para todo i=1, 2,..., n. Exemplo: Experimento anterior E: Lançamento de dois dados, W: soma dos resultados igual a 7. n(ω)=36, n(w) = 6, P(W) = 6/36 = 1/6. 20

21 Definição de Probabilidade (II) Freqüentista ou à posteriori: Repetimos o experimento Ω n vezes e contamos a freqüência com que um evento W ocorre. Sendo r esta freqüência (r n), a freqüência relativa r/n é uma estimativa da verdadeira probabilidade do evento. Ou seja, A probabilidade calculada é próxima da verdadeira quando Exemplo: Probabilidade de encontrar peças defeituosas em um lote de n, digamos, 1000 peças. 21

22 Como atribuir Probabilidade a um evento? Problema: Atribuir um nº real, entre 0 e 1, a um evento. Uma forma: repetir o experimento um grande nº de vezes e anotar a freq. Relativa do evento. f A p quando n, 0 < p < 1. Problema: Qual deveria ser o tamanho de n? Para diferentes eventos, n deveria ser o mesmo? Custo! Outra forma: Definição axiomática, sem recorrer à repetição de experimentos. 22

23 Definição de Probabilidade (III) e 23

24 Teoremas Teoremas básicos de probabilidade 1. Sendo Ø o conjunto vazio, então P(Ø) = Sendo W C o evento complementar do evento W, então P(W C )=1-P(W). 3. Se W 1 e W 2 são dois eventos quaisquer, então P(W 1 U W 2 ) = P(W 1 ) + P(W 2 ) P(W 1 W 2 ). 4. Se W 1, W 2 e W 3 são três eventos quaisquer, então P(W 1 U W 2 U W 3 ) = P(W 1 ) + P(W 2 ) + P(W 3 ) P(W 1 W 2 ) -P(W 1 W 3 ) - P(W 2 W 3 ) + P(W 1 W 2 W 3 ). Extensão: Se W 1, W 2,..., W n são n eventos quaisquer, então 5. Se W 1 e W 2 são dois eventos quaisquer tal que W 1 W 2, então P(W 1 ) P(W 2 ). 24

25 Teoremas básicos 25