Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

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1 Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 1 / 31

2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 2 / 31

3 Algumas Definições de Probabilidade Definição Clássica: A definição clássica de probabilidade refere-se a resultados equiprováveis, ou seja, não existe nenhuma razão que privilegie uns resultados contra outros e quando Ω é enumerável finito (um número finito de resultados possíveis). P(A) = Numero de casos favoraveis a A, Numero de casos possiveis Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 3 / 31

4 Exemplo 1: Jogar uma moeda duas vezes. Anota-se a sequência obtida. A =Obtenção de faces iguais e B =Obtenção de duas caras. Exemplo 2: Jogar uma dado. Anota-se o valor obtido. A =Sair um número par e B =Sair um número maior que 4. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 4 / 31

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6 Exemplo 3: Possíveis erros na utilização da definição clássica de probabilidade Uma moeda é jogada duas vezes. o número de caras é anotado. Obtenha a probabilidade de sair uma cara. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 6 / 31

7 Uma outra dificuldade com a definição clássica aparece quando tentamos responder questões como as seguintes: Qual a probabilidade de um indivíduo pertencer ao grupo sanguíneo O? Qual a probabilidade de um indivíduo morrer antes de completas 40 anos? Qual a probabilidade de um indivíduo ser portados de uma lesão cardíaca congênita? Portanto, é necessário considerar outras definições de probabilidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 7 / 31

8 Algumas Definições de Probabilidade Definição Frequentista: Esta definição considera o limite de frequências relativas como o valor da probabilidade. Se um experimento aleatório é repetido um número grande de vezes, n, e seja n A o número de ocorrências do evento A Ω. A probabilidade de A é dada por P(A) = n A n, Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 8 / 31

9 Exemplo 4: Foram constatados 8 casos de de síndrome de Down em 4814 crianças nascidas em maternidades de João Pessoa. Com base nessa amostra, estime o risco de uma criança apresentar a síndrome de Down. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 9 / 31

10 Exemplo 5: Foram levantados dados relativos ao sistema sanguíneo Rh em uma amostra de 820 indivíduos residentes em João Pessoa. Obtenha a probabilidade de um indivíduo ter fator Rh +? E fator Rh? Categoria Frequencia Rh Rh 83 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 10 / 31

11 Introdução Exemplo 6 - Fenômeno de Estabilização: Lançamento de uma moeda. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 11 / 31

12 Problemas da noção frequentista de probabilidade Requer a realização de um experimento um número infinito de vezes. Por exemplo, lançar infinitas vezes um dado para ver que as frequências relativas da aparição de cada face convergem para 1/6. Isso pode suprir-se na prática, realizando o experimento um número de vezes suficientemente elevado, até que tenhamos a precisão que requeiram nossos cálculos. Os experimentos aleatórios, às vezes, não podem ser realizados um número de vezes indefinidamente alto. Por exemplo, calcular a probabilidade de morrer jogando na roleta russa com um revólver. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 12 / 31

13 As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem ser utilizadas para resolver inúmeros problemas. Contudo, elas não são suficientes para uma formulação matemática mais rigorosa de probabilidade. Uma abordagem mais rigorosa (baseada em axiomas) foi apresentada por Kolmogorov para definir probabilidade como uma função de conjuntos em que os elementos do domínio são conjuntos e os elementos da imagem são números reais entre zero e um. Observação 1: Os axiomas matemáticos apresentados por Kolmogorov para definir probabilidade permitem incluir as definições anteriores como casos particulares. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 13 / 31

14 Definição 1: (Probabilidade) Dado um espaço amostral Ω, uma função P é uma probabilidade se satisfaz os seguintes axiomas de Kolmogorov: AXIOMA 1 0 P(A) 1. AXIOMA 2 P(Ω) = 1. AXIOMA 3 Para toda sequência enumerável (A 1, A 2,... A) de elementos mutuamente exclusivos, temos P( A i ) = i=1 P(A i ) i=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 14 / 31

15 Algumas Propriedades de Probabilidade: As seguintes propriedades são consequências dos axiomas: PROPRIEDADES P1 P(A c ) = 1 P(A) (P( ) = 0); P2 Se A B, então P(A) P(B); P3 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (generalizável para qualquer n); P4 P(B) = P(B A) + P(B A c ); P5 P(A B) = P(A) P(A B); Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 15 / 31

16 Ilustrando Algumas Propriedades Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 16 / 31

17 Ilustrando Algumas Propriedades Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 17 / 31

18 Exemplo 7 - Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 18 / 31

19 Exemplo 7 - Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 19 / 31

20 Exemplo 8 - Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 20 / 31

21 Observação 2 (Espaço Amostral Finito): Considerando a situação em que Ω é formado por um número finito de elementos e Ω = {ω 1, ω 2,..., ω k }, a cada evento simples {ω i } associaremos um número p i (probabilidade), que satisfaça as seguintes condições: (i) p i 0, i = 1, 2,..., k; (ii) p 1 + p p k = 1. Observação 3 (Resultados Igualmente Prováveis): No caso em que todos os resultados são igualmente verossímeis, para i = 1,..., k, temos que p = 1 k Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 21 / 31

22 Exemplo 9 - Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 22 / 31

23 EXEMPLO 10: No MDS, 75% dos alunos praticam algum esporte, 20% gostam de sushi e 40% gostam de música. Adicionalmente, suponha que 15% corram e gostem de sushi, 30% corram e gostem de música, 10% gostam de sushi e música e 5% gostem das três atividades. 1 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, gostar de música? 2 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, não gostar de sushi? 3 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, estar engajado em pelo menos uma das três atividades. 4 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente gostar de exatamente um tipo de atividade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 23 / 31

24 EXEMPLO 10: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 24 / 31

25 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 25 / 31

26 Exemplo 11 - Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 26 / 31

27 Exercício 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 27 / 31

28 EXERCÍCIO 2: Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. Seja P(A) = 0.20 e P(B) = Calcule as probabilidades: 1 P(A c ) 2 P(B c ) 3 P(A B) 4 P(A B) 5 P(A c B c ) EXERCÍCIO 3: Suponha agora que A e B não sejam mutuamente exclusivos. Adicionalmente temos que P(A B) = Calcule as mesmas probabilidades anteriores: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 28 / 31

29 EXERCÍCIOS 2 e 3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 29 / 31

30 EXERCÍCIO 4: Os dados abaixo referem-se a informações coletadas de 15 indivíduos (I) no MDS quanto às variáveis obesidade (A) e sedentarismo (B). Obtenha: I A N N S N S S N N N S N N S N N B S N S S N S N S S S N N S N S 1 A probabilidade de selecionar um indivíduo obeso ou sedentário. 2 A probabilidade de selecionar um indivíduo que não seja obeso e nem sedentário. Compare com a probabilidade obtida no item anterior. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 30 / 31

31 EXERCÍCIO 4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 31 / 31