UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística Probabilidade Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Tarciana Liberal

2 Existem muitas situações que envolvem incertezas: fenômenos ou experimentos aleatórios. Um modelo matemático ajudará a investigar de maneira bastante precisa esse fenômeno.

3 Introdução Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado. Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : Aplicados em situações que envolvem incerteza. Resultados variam de uma observação para outra, mesmo em condições normais de experimentação. As condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável. Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente.

4 A teoria das probabilidades é o fundamento para a inferência estatística. O objetivo desta parte é que o aluno compreenda os conceitos mais importantes da probabilidade. O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo, podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70% de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um professor está 90% seguro de que um novo método de ensino proporcione uma melhor compreensão pelos alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de um bem. Introdução

5 Conceitos importantes Experimentos Aleatórios (E) : São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais que conduzem a resultados incertos. Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma moeda, Retirar uma carta do Baralho, Preço do Dólar ao final do dia.

6 Características de um experimento aleatório : Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Podemos descrever todos os possíveis resultados.

7 Conceitos importantes Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da face Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de coroas e caras Ω={(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)} Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma rede de computação Ω = {0,1, 2, 3, 4, } Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento { t IR / t 0}

8 O espaço amostral pode ser Finito: Número limitado de resultados. Exemplo 1 e 2. Infinito Enumerável: Número infinito de resultados que podem ser listados. Exemplo 3. Infinito: Intervalo de números reais. Exemplo 4.

9 Conceitos importantes Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a um experimento E qualquer, definimos como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. Exemplo 1: Sair um número par A = Exemplo 2: Sair duas caras B = Exemplo 3: transmitir duas mensagens C = Diz-se que ocorre o evento A, B ou C, quando o resultado do experimento aleatório for um elemento de A, B ou C.

10 Alguns Eventos Em particular, o conjunto universo,, e o conjunto vazio,, são também eventos, onde é denominado de evento certo e evento impossível. Se A contém apenas um elemento, dizemos que A é um evento elementar ou simples.

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13 Diagrama de Venn

14 Algumas Operações entre conjuntos A B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.

15 Algumas Operações entre conjuntos A B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente.

16 Algumas Operações entre conjuntos A ocorrerá se e somente se não ocorrer A (COMPLEMENTAR). A A

17 Algumas Operações entre conjuntos A B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não ocorrer B.

18 Algumas Operações entre conjuntos LEIS DE MORGAN: (I) O complementar da ocorrência de pelo menos um dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos. (II) O complementar da ocorrência de todos os eventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.

19 Eventos mutuamente excludentes Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes se não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, a ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são mutuamente exclusivos por A B =. Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6} B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5} A B Exclusão mútua

20 Eventos não mutuamente excludentes Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente excludentes, ou seja, A B. Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6} B = {sair nº maior que 4} = {5, 6} A B Sem exclusão mútua A B

21 Alguns Conceitos Básicos de Contagem REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de n i maneiras, então o número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou o procedimento 1 ou o procedimento 2,..., ou o procedimento k, supondo que dois deles não possam ser realizados conjuntamente, é: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimento formado por 1, seguido por 2,..., seguido pelo procedimento k poderá ser executado de : PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras de se permutar n objetos distintos é:

22 Alguns Conceitos Básicos de Contagem ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras de escolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos (ordenados) que diferem pela natureza e pela ORDEM. COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras de escolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos sem considerar a ordem. Algumas oservações:

23 EXEMPLO 1: Luciano, José, Bruno, Leiliane e Antônio vão fazer uma entrevista para um estágio. De quantas formas os candidatos podem ser chamados para fazer a entrevista? EXEMPLOS EXEMPLO 2: Os alunos de E. Mecânica, Física, Química Industrial, E. de Produção e E. Alimentos disputam um campeonato em que apenas três times serão classificados. De quantas formas pode ser essa classificação? EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, das quais 3 são defeituosas, de quantas formas poderemos escolher 4 peças das quais metade é defeituosa?

24 EXEMPLOS

25 Probabilidade Definição: é uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento, atribuindo um número (valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de que um evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos que existe uma chance de 25% de ocorrência de tal evento

26 Probabilidade

27 Probabilidade Clássica P(A) número de resultados do evento A número total de resultados no espaço amostral

28 Exemplo 4

29 Probabilidade

30 Exemplo 5

31 Probabilidade

32 Probabilidade

33 Probabilidade

34 Probabilidade

35 Probabilidade

36 Probabilidade

37 Espaços amostrais finitos e equiprováveis Um espaço amostral é dito finito se = {a 1,a 2,...,a n }. Considere o evento A i = {a i } formado por um resultado simples. A cada evento simples {a i } associaremos um número p i, denominado de probabilidade de {a i }, satisfazendo às seguintes condições: i) p i 0, i = 1, 2,..., n. ii) p 1 + p p n =1.

38 Exemplo 6 Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou C ganhe? Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B, P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem que ser 1; então

39 Exemplo 7

40 Exemplo 8

41 Exemplo 9 Exeperimento: Dois dados são jogados Espaço Amostral ( ) 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que: A ={a soma seja 4}. Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11}. P(A) = P(B) =

42 Tabela de contingência Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos. É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos.

43 Exemplo 10 Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. J. Pessoa Recife C. Grande Total Sim Não Não sabe Total Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grande ou que tenha respondido SIM P(C. Grande SIM) = 250/ / /1.000 = 500/1.000 = 0,5

44 Perguntou-se a uma amostra de adultos formados em engenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Os resultados estão a seguir. 1. P(Natal U Sim) 2. P(Recife Não) 3. P(João Pessoa) Exemplo 10 João Pessoa Recife Natal Total Sim Não Total Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:

45 Probabilidade condicional

46 Probabilidade condicional Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam A={o 1 artigo é defeituoso} e B={o 2 artigo é defeituoso}. Calcule P(A) e P(B) a) com reposição; b) sem reposição. a) Se extrairmos com reposição, P( A) P( B) , pois cada vez que estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P( A) 1. 5 Mas e sobre P(B)? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber sea ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte conceito

47 Probabilidade condicional

48 Probabilidade condicional Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento B já ocorreu. P( A B) P( A B),para P( B) P( B) 0 Sempre que calcularmos P(A B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço original.

49 Probabilidade condicional Observações importantes: 1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito da probabilidade condicional. 2) Se A e B forem mutuamente excludentes, então P( A / B) P( ) P( B) 0

50 Probabilidade condicional P( A / B) P( ) P( B) 0

51 Exemplo 11 Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o primeiro dado saiu um número menor que 3 A = {soma igual a 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} B = {1º dado com nº < 3 } = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} A B = {(1,5), (2,4)} Logo P(A B) =

52 Exemplo 12 J. Pessoa Recife C. Grande Total Sim Não Não sabe Total P(Não C. Grande) = 95/250 = 0,38 2. P(João Pessoa Sim) 3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que ele não é de Recife?

53 Exemplo 13 Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela abaixo (dados fictícios): Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora, como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu questionamento da acusação de discriminação?

54 Exemplo 14

55 Teorema da Multiplicação A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional é o seguinte teorema: Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral, então: ) / ( ) ( ) ( B A P B P B A P ) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P

56 Teorema da Multiplicação O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais de dois eventos. Sejam A 1, A 2,..., A n eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral, a probabilidade da ocorrência simultânea de A 1, A 2,..., A n é dada por: P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )*P(A 2 /A 1 )*...*P(A n /A 1 A 2... A n-1 )

57 Exemplo 15 Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição. Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas. Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )xp(a 2 /A 1 )xp(a 3 /A 1 A 2 ) =

58 Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. A = o 1 o carro é defeituoso. B = o 2 o carro é defeituoso. P(A) = P(B A) = P(A B) = Exemplo 16

59 Teorema da probabilidade Total Sejam A um evento qualquer do espaço amostral e B 1, B 2,..., B k uma partição do mesmo espaço amostral, então: P(A) = P(A/ B 1 )P(B 1 ) + P(A/ B 2 )P(B 2 ) P(A/ B k )P(B k ) = k i 1 P( A / B ) P( B ) i i

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62 Exemplo 17 Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as retiradas dos artigos são feitas sem reposição. Como já vimos P( A) 1. Assim, temos que P( A) Agora, P B A, porque se A tiver ocorrido, 99 então na segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temos que P( B / A) 20. Pelo teorema 99 da probabilidade total, temos ( / ) 19

63 Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. A = ser mulher. B = ter sangue tipo O. A = 1 o filho ser menino. B = 2 o filho ser menino. Dois eventos que não são independentes são dependentes. A = tomar uma aspirina por dia. B = ter um ataque do coração. A = ser mulher. B = ter menos de 1,62 m.

64 Eventos independentes Se os eventos A e B são independentes, P(B A) = P(B) Probabilidade condicional Probabilidade Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso. B = o segundo carro é defeituoso. A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.

65 Exemplo 18 Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos. A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado. P(A) = 1/6 P(B A) = 1/6 P(A B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028 Quando dois eventos A e B são independentes, P(A B) = P(A) x P(B)

66 Teorema de Bayes Sejam B 1, B 2,..., B k uma partição do espaço amostral, ou seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento qualquer associado a S, então: ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( 1 1 k k i i i i B P B A P B P B A P B P B A P A p A B P A B P

67 Teorema de Bayes Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado que um estudante com menos de 1,60m foi sorteado aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher? Solução: H={Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1,60m} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A H P A M P A M P A p A M P A M P 0,60) (0,01 0,40) (0,04 0,40 0,04 ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( H P H A P M P M A P M P M A P 0,727

68 Exemplo 19 Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e

69 Exemplo 19

70 Exemplo 20

71 Exemplo 18

72 Exemplo 18