Teoria da Probabilidade

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1 Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1

2 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos eventos 4 Noção e Axiomas da Probabilidade 5 Eventos Equiprováveis 6 Probabilidade condicional 7 Probabilidade Total e o Teorema de Bayes 8 Independência Estatística Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 2

3 Sumário 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos eventos 4 Noção e Axiomas da Probabilidade 5 Eventos Equiprováveis 6 Probabilidade condicional 7 Probabilidade Total e o Teorema de Bayes 8 Independência Estatística Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 3

4 Definição Em um Exp. Aleatório a saída varia de maneira imprevisível mesmo quando o teste é controlado e se encontra nas mesmas condições. Exs: Uma urna contendo bolas enumeradas de 1 a 50. Retirar a bola e anotar o número. Jogar uma moeda três vezes a anotar a sequência de caras e coroas. Determinar os valores de um sinal de áudio no instante t 1 e t 2. Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 4

6 Experiência / fenômeno de exame Condições idênticas ω - Ponto-amostra - resultado de um experimento Ω - Espaço de amostras - todos os possíveis resultados do experimento Fenômeno físico: Jogar um dado de seis lados: Experimento: Numero de saída Espaço de amostras jogando um dado uma vez Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Em um determinado momento t, ω t = 1 Experimento: Paridade do numero de saída Espaço de amostras jogando um dado uma vez Ω = {P AR, IMP AR} Em um determinado momento t, ω t = P AR Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 6

7 Eventos Quando ω é um elemento de Ω, então ω pertence à Ω. A notação é a seguinte: ω Ω Quando não pertence: ω / Ω Quando A é um subconjunto de B: A B todo elemento de A está contido em B Ω B A Qualquer subconjunto do espaço Ω é um Evento. O evento A números pares pertencente ao conjunto dos números do dado de seis lados: A = {2, 4, 6} Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 7

8 Espaço discreto e espaço contínuo de amostras Espaço discreto Quando o numero possível de elementos é finito. Ex: Lados da moeda, dado de N lados, números inteiros entre 0 e 10. Espaço contínuo Quando o numero possível de elementos é infinito e nós estamos mais interessados na probabilidade de um intervalo que de um valor determinado. Ex: Altura de uma pessoa em determinada população, um numero real entre 0 e 1. Notação: o espaço contendo todos os pontos entre 0 e 1: S = {x : 0 x 1} = [0, 1] Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 8

9 Exemplos de espaços amostrais Dado de seis lados: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Qualquer número entre 0 e 1: S = [0, 1] Amplitude do sinal de áudio em t 1 e t 2 : S = {(v 1, v 2 ) : < v 1 < e < v 2 < } Jogar uma moeda três vezes e anotas a sequência de caras (K) e coroas (C): S = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 9

11 Operações algébricas dos eventos Igualdade Se A e B são iguais: A = B Inclusão Se A está incluso em B são iguais: A B Do mesmo modo que B contém A: B A União Se os elementos fazem parte do conjunto A, B ou ambos: A B {ω Ω : ω A ou ω B ou ambos} Interseção Se os elementos fazem parte simultaneamente de A e B: A B {ω Ω : ω A e ω B} Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 11

12 Operações algébricas dos eventos Complemento Conjunto dos elementos de Ω não pertencente a A é o complemento de A, representado por A: A A c {ω Ω : ω / A} Diferença Elementos pertencentes a um conjunto B e não pertencem a A: B A {ω Ω : ω B e ω / A} Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 12

13 Diagrama de Venn União Interseção Ω B A Ω B A A B Complemento A B Diferença Ω A Ω A B A B A Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 13

14 Conjuntos Vazio e Disjuntos Conjunto Vazio Conjunto que não contém elemento: / Ω Conjuntos Disjuntos Quando A e B não têm elementos em comum Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 14

15 Resumo das Operações Notação Descrição Matemática Descrição Verbal A B União de A e B A ou B (ou ambos) ocorre A B Interseção de A e B Ambos A e B ocorrem A A c Complemento de A A não ocorre B A Diferença entre B e A B ocorre mas A não ocorre Conjunto Vazio Evento Impossível Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 15

16 Propriedades Associativa (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Distributiva A (B C) = (A B) (A C) Lei de De Morgan A B = A B A B = A B Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 16

17 Mais diagramas de Venn Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 17

19 Definição Axiomática A probabilidade P (A) de um evento A satisfaz os seguinte axiomas: Axioma 1: P (A) 0 Axioma 2: P (Ω) = 1 Axioma 3: P (A B) = P (A) + P (B) se A B = Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 19

20 Propriedades Elementares 1 P (A) = 1 P (A) 2 P ( ) = 0 3 P (A) P (B) se A B 4 P (a) 1 5 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (fazer a prova) Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 20

21 Frequência Relativa Definição: n(a) P (A) = lim n n Eventos mutuamente exclusivos: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = n(a) n n + n(b) n Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 21

23 Eventos Equiprováveis 1 Hipótese assumida em casos onde se precisa definir uma probabilidade sem ter passado por uma experiência. 2 Ex: a probabilidade de que um dado caia com a face ω para cima. Pode se assumir para um dado de 6 lados que P (ω) = 1 6 com a hipótese de que o dado não é viciado. 3 Quando todos eventos elementares ω i (i = 1, 2,..., n) são equiprováveis, então: p i = 1 n i = 1, 2,..., n Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 23

25 Conceito e Definição A probabilidade pode se alterar se temos informação adicional. Ex: A chance de se ter câncer de pulmão aumenta se a pessoa é fumante. A probabilidade de um evento A dado que um evento B tenha ocorrido. Definida pela seguinte razão: P (A B) = P (AB) P (B) Rearranjando os termos: = P (A B) P (B) P (AB) = P (B)P (A B) Significa que a chance de A e B ocorrerem é igual a chance de B e a chance de A dado que B ocorreu. Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 25

26 Interpretação Frequencial O numero de ocorrências de do evento A é dado por n(a), do evento B por n(b) e da combinação dos eventos AB, como sendo n(ab). P (A) n(a) P (B) n(b) P (AB) n(ab) n n n Então: P (A B) = P (AB) P (B) n(ab) n n(b) n = n(ab) n(b) Se nós descartarmos as tentativas onde o evento B não ocorreu, então n(ab) é igual a frequência relativa de ocorrência n(ab) n(b) Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 26

27 Exemplo Em uma caixa, temos 4 bolas, duas pretas, enumeradas 1 e 2, e duas brancas, enumeradas 3 e 4. O espaço de amostras é S = {(1, p), (2, p), (3, b), (4, b)}. Cada saída tem igual probabilidade. Vamos definir os eventos A, B e C. A={(1, p), (2, p)} - Bola preta selecionada B={(2, p), (4, b)} - Bola par selecionada A={(3, b), (4, b)} - Bola maior que 2 selecionada Calcule p[a B] e P [A C] Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 27

28 Exemplo 2 Em uma caixa, temos 5 bolas, duas pretas, e três brancas. As bolas são retiradas e não são devolvidas para a caixa. Qual a probabilidade das duas bolas serem pretas. Alteração do espaço amostral de um evento ao outro. P [P 1 P 2 ] = P [P 2 P 1 ]P [P 1 ] Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 28

30 Probabilidade Total Sendo A = A 1,..., A n um conjunto de Ω e B um evento arbitrário: P (B) = P (B A 1 )P (A 1 ) P (B A n )P (A n ) Para se obter a interseção dos eventos BA i : P (BA i ) = P (B A i )P (A i ) Teorema da Probabilidade Total Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 30

31 Teorema da probabilidade total Sendo B 1, B 2,..., B n mutuamente exclusivos e sendo sub conjuntos de S = {B 1 B 2 B n }. E A é um evento que pode ser representado da seguinte maneira: A = A S = A (B 1 B 2 B n ) P [A] = P [A B 1 ] + P [A B 2 ] + + [A B n ] P [A] = P [A B 1 ]P [B 1 ] + P [A B 2 ]P [B 2 ] + + P [A B n ]P [B n ] Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 31

32 Teorema de Bayes De maneira análoga a P (BA i ) = P (B A i )P (A i ), temos: P (BA i ) = P (A i B)P (B) Combinando as duas equações: P (A i B) = P (B A i ) P (A i) P (B) P (A i ) P (A i B) = P (B A i ) n i=1 P (B A i)p (A i ) Teorema de Bayes P [B j A] = P [A B j] P [A] = P [A B j ]P [B j ] n k=1 P [A B k]p [B k ] Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 32

33 Exemplo do livro: O Andar do Bêbado Em um programa de TV, o candidato tem de escolher aleatoriamente entre 3 portas. Atrás de uma tem um carro e atrás das outras duas tem um bode. Uma vez escolhida uma das três portas, o apresentador descarta outra porta que com certeza contém um bode. Ele então pergunta se o candidato pretende mudar sua escolha. A probabilidade de ganhar aumenta ou não fazendo a troca da porta? Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 33

34 Exemplo 2 Temos 4 caixas. Caixa 1 contêm 2000 componentes com 5% deles defeituosos. Caixa 2 contêm 500 componentes e 40% são defeituosos. Caixas 3 e 4 têm 1000 componentes cada com 10% defeituosos. Selecionamos aleatoriamente uma das caixas e removemos aleatoriamente um componente. (a) Qual a probabilidade do componente ser defeituoso? (b) Retiramos um componente e sabemos que ele tem defeito. Qual a chance de ele ter vindo da caixa 2? Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 34

36 Independência Estatística Se o conhecimento do evento B não altera a probabilidade do evento A, o evento A é independente do evento B. Para elementos independentes: Portanto: P (B A) = P (B) P (A B) = P (A) P (AB) = P (A)P (B) Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 36

37 Independência Estatística Ex: Para um dado de seis lados Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o evento A Ω são os números pares A = {2, 4, 6} e o evento B Ω é para a condição B i 4, então B = {1, 2, 3, 4} Para calcular a probabilidade de ao jogar o dado, temos a condição A B, ou seja, que o numero é par e inferior a 4, temos duas etapas: 1 Identificar o numero de possíveis valores. n = 6 2 Identificar A B, sendo A B = {2, 4} Logo: P (A B) = 1/3 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 37

38 Independência Estatística Como o dado é jogado uma única vez, assumimos a independência do sistema, e calculando P (A) e P (B), obtemos: P (A) = 1/2, e P (B) = 2/3, sendo P (A)P (B) = 1/3 = P (A B) Apesar de A e B, serem independentes, eles não são disjuntos, pois A B = {2, 4} Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 38

39 Ex: Confiabilidade Considere um sistema com um equipamento de controle e três periféricos. O sistema é funcional se o controle e pelo menos dois dos três periféricos estiverem em funcionamento. Considere que a probabilidade de falha de cada unidade (controle ou periférico) é independente das outras. Assuma a probabilidade de falha de cada periférico como a e a probabilidade do equipamento de controle de p. Determine a expressão de probabilidade de falha do sistema? Considere a = 10% e p = 20%. Qual a probabilidade de falha? R = 22.2%. E se adicionarmos mais um controle? R = 6.7% Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 39

40 Dois Extremos: Mutuamente Exclusivos e Totalmente Dependentes Quando totalmente dependente: P (B A) = 1, quando B A P (A B) = 1, quando A B Ou mutuamente exclusivos: P (B A) = P (A B) = 0, quando A B = 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 40