Probabilidade Condicional e Independência

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise [email protected] 17/08/2011 Probabilidade Condicional e Independência

2 Roteiro Definição de Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teoremas Fundamentais Probabilidade Condicional Permite analisar o resultado de um experimento aleatório (cálculo de probabilidades), quando existe intervenção no espaço amostral (e.g., quando temos informação incompleta). Exemplos Num experimento em que um dado é lançado duas vezes, sabe-se que a soma dos dois resultados vale 9. Qual a probabilidade de que o primeiro resultado tenha sido 6? Um objeto é detectado por um radar. Qual a probabilidade de que seja um avião? Qual a probabilidade de que o paciente esteja doente, dado que o teste deu negativo?

3 Probabilidade Condicional Exemplo Suponha que em uma sala de aula com 15 meninos e 10 meninas, um aluno é escolhido ao acaso para realizar uma tarefa na aula de 4a. feira. Um outro aluno é escolhido aleatoriamente para realizar a mesma tarefa na aula de 6a. feira. Dado o resultado da escolha de 4a. feira, qual a probabilidade de que na 6a. feira o aluno escolhido seja do sexo masculino? Probabilidade Condicional Exemplo (Cont.) Duas respostas são possíveis, dependendo do resultado de 4a. feira: 1. Um menino foi escolhido na 4a. feira P[ outro menino ser escolhido na 6a. feira ] = 14/24 2. Uma menina foi escolhida na 4a. feira P[ um menino ser escolhido na 6a. feira ] = 15/24 Estas são probabilidades condicionais! Nota: Se não tivéssemos nenhuma informação sobre o resultado de 4a. feira, a resposta seria 15/25

4 Probabilidade Condicional Exemplo (Cont.) Se sabemos que um determinado evento B ocorreu, então o espaço amostral para outro evento subsequente é reduzido para os resultados possíveis à luz desta informação, ou seja, os resultados pertencentes a B. Para determinar a probabilidade da ocorrência de um outro evento A, devemos considerar o conjunto de resultados em B que também resultam na ocorrência de A este é o evento AB. Probabilidade Condicional Definição Sejam A e B dois eventos associados a um experimento aleatório E e definidos em um espaço amostral Ω. P[A B] = P[AB] P[B], P[B] > 0 P[B A] = P[AB] P[A], P[A] > 0 A expressão P[A B] representa a probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B ocorreu. Regra do Produto = P[AB] = P[A B]P[B] = P[B A]P[A]

5 Probabilidade Condicional Propriedades Probabilidade condicional é função probabilidade (satisfaz os três axiomas): 1. P[A B] 0 2. P[Ω B] = 1 3. A 1, A 2,... tais que A i A j =, i j = P[ i A i B] = i P[A i B] (Demonstrar em casa) Probabilidade Condicional Propriedades... e, portanto, também satisfaz as propriedades decorrentes dos axiomas: P[A c B] = 1 P[A B] No entanto, geralmente, P[A B c ] 1 P[A B] P[A B C] = P[A C] + P[B C] P[AB C], P[C] > 0 AB = P[A B] = 0 B A P[A B] = 1 Podemos ter: P[A B] < P[A] ou P[A B] > P[A] ou P[A B] = P[A] Não existe relação entre as probabilidades condicionais e as probabilidades marginais correspondentes....

6 Independência de Eventos Dois eventos aleatórios A e B são independentes se, e somente se: P[A B] = P[A]; P[B A] = P[B] (condição necessária e suficiente) = P[AB]=P[A B]P[B] = P[B A]P[A] =P[A]P[B] Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influência na probabilidade de ocorrência do outro. Nota: Independência é hipótese (não é de natureza estatística) Independência de Eventos Exemplo (Cont.) Sejam os eventos: A : M selecionado na 4a. feira A c : F selecionado na 4a. feira B : M selecionado na 6a. feira Pergunta-se: A e B são independentes? E se for irrelevante o aluno selecionado na 4a. feira?

7 Independência de Eventos Propriedades A Ω: A e são independentes A e Ω são independentes A, B Ω, com A e B independentes: A c e B c A e B c A c e B... também são independentes. (Demonstrar em casa) Independência de Eventos Propriedades A 1, A 2,... A n são independentes aos pares se P[A i A j ] = P[A i ]P[A j ], i j A 1, A 2,... A n são globalmente independentes se k n, quaisquer que sejam os eventos A i(1), A i(2),..., A i(k), temos: P[A i(1) A i(2)... A i(k) ] = P[A i(1) ] P[A i(k)k ], onde i(j) i(m) se i j. Isto significa que podemos tomar eventos 2-a-2, 3-a-3,..., n-a-n e a probabilidade de interseção é o produto das probabilidades marginais. Número de condições para verificar: n ( n ) n ( k=2 k = n ) ( k=0 k n ) ( 0 n ) 1 = 2 n n 1 (T.Bin. de Newton)

8 Independência de Eventos Propriedades Independência Condicional: Dois eventos A e B são ditos condicionalmente independentes com relação a um evento C se Não confundir: P[AB C] = P[A C]P[B C] Eventos Independentes Eventos Disjuntos Teoremas Fundamentais Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Permitem a resolução de problemas complexos através de uma partição adequada do espaço amostral. Probabilidade: Independência + TPT + TB

9 Teoremas Fundamentais Ilustração Júlia diz a Pedro que comprou uma blusa nova e pede que ele adivinhe a cor. Pedro acredita que Júlia tenha escolhido uma blusa vermelha ou verde, mas está na dúvida a respeito da cor selecionada. Ele conta com as seguintes pistas para ajudá-lo: Teoremas Fundamentais Ilustração Pedro sabe que: Há apenas 4 lojas que vendem blusas do jeito que Júlia gosta: B 1, B 2, B 3 e B 4 Como já está acostumado a levá-la a essas lojas, sabe que há a disponibilidade de blusas vermelhas e verdes nas lojas nas seguintes porcentagens: vermelhas: 25, 50, 30 e 50 verdes: 40, 30, 45 e 30 Júlia compra 40% de suas roupas em B 1, 25% em B 2, 20% em B 3 e 15% em B 4. Como Pedro pode utilizar estas informações para adivinhar: 1. qual a cor da blusa comprada por Júlia? 2. onde Júlia comprou a blusa?

10 Teorema da Probabilidade Total B = (A 1 B) (A 2 B)... (A k B) = P[B] = k j=1 P[A jb] Se P[A j ] > 0, j = 1,..., k: P[B] = k P[B A j ]P[A j ] j=1 Teorema de Bayes P[B] > 0; P[A j ] > 0, j = 1,..., k Temos para i = 1,..., k: P[A i B] = P[B A i ]P[A i ] k j=1 P[B A j]p[a j ] Nota: O teorema de Bayes é comumente utilizado para realizar inferência: Existe um certo número de causas que podem resultar em um determinado efeito. Observamos o efeito e desejamos inferir a causa.

11 Exemplo Problema da Comunicação Ruidosa Um sistema de comunicação transmite 0 ou 1. Existe ruído no sistema, de forma que o sinal transmitido às vezes pode ser recebido incorretamente. Sabemos que 60% dos sinais transmitidos correspondem a 0 e que a transmissão se dá corretamente em 70% das vezes para o valor 0 e 80% das vezes, para o valor 1. O valor 1 chegou ao receptor. Qual a probabilidade de ter havido erro de transmissão? Qual a probabilidade de erro de transmissão do sistema? Exemplo Problema dos Fofoqueiros A diz que B lhe contou que C mentiu. As três pessoas dizem a verdade com probabilidade p (0, 1), independentemente umas das outras. Qual a probabilidade de que C tenha realmente mentido?

12 Desafio Problema de Monty-Hall Apenas uma das portas é premiada O participante escolhe uma porta O apresentador abre uma das portas não selecionadas O participante deve mudar de opção? Desafio Problema de Monty-Hall Solução

13 Desafio Problema de Monty-Hall (Solução) A resposta pode causar uma certa confusão por dois motivos: A. Não sabemos o critério de escolha do apresentador B. As pessoas em geral ignoram a informação adicional implícita no fato de que o apresentador abre uma das portas Desafio Problema de Monty-Hall (Solução) Critério de escolha do apresentador: 1. Abre uma das portas aleatoriamente 2. Sempre abre uma porta que sabe estar vazia 3. Só abre a porta quando sabe que o participante escolheu a porta premiada Em cada um desses casos: 1. A probabilidade de o prêmio encontrar-se atrás das outras portas se redistribui igualmente entre elas; 2. A probabilidade de o prêmio estar atrás da porta escolhida não muda; 3. A probabilidade de o participante ter escolhido a porta premidada vai a 100%. Vamos analisar a alteração do espaço amostral...