Parte 3 Probabilidade

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1 Parte 3 Probabilidade

2 A probabilidade tem origem no século XVII, motivada, inicialmente, pelos jogos de azar. De maneira bastante informal, refere-se à probabilidade como uma medida de chance de algum evento ocorrer. Na primeira parte do curso discutimos sobre a importância de usar aleatorização na seleção de amostras ou execução de experimentos. 2

3 Dispondo de amostras ou experimentos aleatórios, usaremos probabilidade para quantificar a chance de ocorrência dos possíveis resultados. Com base no cálculo de probabilidades para diferentes resultados amostrais ou experimentais, estaremos aptos a produzir inferências. 3

4 Elementos básicos de Probabilidade O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Denotamos o espaço amostral pela letra S. Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Eventos são representados por letras maiúsculas, usualmente as primeiras do alfabeto (A, B, C...). Um evento simples é qualquer evento constituído por um único elemento do espaço amostral. 4

5 Exemplo 3.1 Um dado comum, com seis faces numeradas de um a seis, é lançado uma única vez. Registra-se o valor da face voltada para cima. Represente o espaço amostral e os seguintes eventos: a) A: sai o número 3; b) B: sai um número par; c) C: sai um valor maior que 4; d) Algum dos eventos solicitados configura um evento simples? Justifique. 5

6 Exemplo 3.2 Um grupo é composto por cinco crianças: Pedro, João, Maria, Ana e Beatriz. Duas dessas crianças serão sorteadas aleatoriamente para uma apresentação musical. Considerando como resultado do sorteio o par crianças selecionadas: a) Represente o espaço amostral; b) Represente o evento A: Pedro é um dos selecionados; c) Represente o evento B: A dupla selecionada é composta por um menino e uma menina. 6

7 Exemplo 3.3 O tempo de vida (em anos) para um paciente com diagnóstico de câncer no pâncreas é observado. Represente o espaço amostral e os seguintes eventos: a) A: O paciente sobrevive por menos de três anos; b) B: O paciente sobrevive por mais de dois, mas por menos de cinco anos; c) C: O paciente sobrevive por um ano ou mais? 7

8 Relações e operações entre eventos O diagrama de Venn Diferentes eventos podem ser definidos com base num único espaço amostral. Como dito anteriormente, eventos são subconjuntos de resultados do espaço amostral correspondendo, usando analogia com a teoria dos conjuntos, ao conjunto universo. O estudo da relação entre dois ou mais eventos fica facilitado utilizando-se os chamados Diagramas de Venn. 8

9 A união de dois eventos A e B, representada por como o evento ocorre A, ocorre B ou ocorrem ambos A e B. AU B, é definida Figura 3.1 União de dois eventos A e B ( AU B). 9

10 A intersecção de dois eventos A e B, representada por como o evento ocorrem A e B. AI B, é definida Figura 3.2 Intersecção de dois eventos A e B ( AI B) 10

11 Nota Dois eventos A e B são denominados disjuntos ou mutuamente exclusivos se eles não têm qualquer resultado em comum, o que pode ser denotado por AI B = φ. Figura 3.3 Eventos mutuamente exclusivos. 11

12 O complemento de um evento A, denotado por ao evento não ocorre A. C A ou A, corresponde Figura Complemento de A ( C A ). 12

13 Dizemos que um evento A está contido num evento B se todos os eventos simples pertencentes a A também pertencem a B. Denotamos essa relação por A B. Figura 3.5 Representação de A B. 13

14 Nota Embora tenham sido apresentadas apenas ilustrações de operações envolvendo dois eventos, todas elas se estendem para um número maior (possivelmente até infinito) de eventos. Exemplo 3.4 Três pacientes serão submetidos a um novo tratamento e classificados, após determinado tempo, como curados (C) ou não curados (N). Vamos representar o resultado desse experimento por uma tripla composta pelas letras C e N, tal que cada uma das letras represente a classificação, segundo o resultado do tratamento, de um dos pacientes. 14

15 a) Represente o espaço amostral; b) Represente o evento A: os três pacientes são curados; c) Represente o evento B: ao menos dois pacientes são curados; d) Represente o evento C: o primeiro paciente é curado; e) Represente o evento D: o segundo e o terceiro paciente não são curados. Agora, com base nos eventos definidos, represente os eventos relacionados na sequência (Dica: antes, escreva o que representa cada um deles): BUC ; AUD ; disjuntos? BI C ; C C ; C C BI ; AI BI C ; A C?; C e D são 15

16 Vamos utilizar probabilidades para quantificar as chances de ocorrências de eventos; Denotaremos a probabilidade de um evento A por P ( A) para qualquer evento A definido num espaço amostral S. Questão: como determinar probabilidades? Veremos algumas abordagens. 16

17 Abordagem clássica Suponha que o espaço amostral seja composto por um conjunto finito de n resultados (eventos simples). Considere, adicionalmente, que todos os resultados sejam equiprováveis; 17

18 Neste caso, considerando A um evento qualquer do espaço amostral, a probabilidade do evento A pode ser calculada por: número de resultados em que A ocorre P ( A) =, número de resultados possíveis que iremos denotar, de forma abreviada, por P( A) na =. n 18

19 Exemplo 3.2 (retomado) Um grupo é composto por cinco crianças: Pedro, João, Maria, Ana e Beatriz. Duas dessas crianças serão sorteadas aleatoriamente para uma apresentação musical. Considere os eventos A: Pedro é um dos selecionados; B: A dupla selecionada é composta por um menino e uma menina. a) Para esse problema, você julga pertinente utilizar a abordagem clássica para calcular as probabilidades dos eventos? Alguma suposição deve ser considerada válida? Justifique. b) Calcule P ( A), P ( B), P ( AUB) e ( A B) P I. 19

20 Suponha agora que os resultados (eventos simples) não sejam equiprováveis, de tal forma que se tenha probabilidades p p,,... associadas a cada um deles. 1, 2 p3 Neste caso, a probabilidade de um evento A pode ser obtida pela soma das probabilidades dos eventos simples em que A ocorre. 20

21 Exemplo 3.5 Num jogo de dados, o apostador vence se o resultado do lançamento for par. Calcule a probabilidade de ganho do apostador caso: a) O dado seja balanceado (faces equiprováveis); b) O dado seja desbalanceado, de tal forma que p 1 = 6 / 21; p 2 = 5/ 21; p 3 = 4 / 21; p 4 = 3/ 21; p 5 = 2 / 21; p 6 =1/

22 Abordagem frequentista Em muitos casos, os eventos simples não são equiprováveis nem tem probabilidades conhecidas. Nestes casos, a probabilidade de um evento pode ser obtida com base na frequência (proporção) de ocorrências do evento em um grande número de observações. 22

23 Exemplos o Em uma amostra de 500 pacientes submetidos a um novo procedimento cirúrgico, 10 apresentaram determinada sequela. Assim, usando a abordagem frequentista, tem-se uma probabilidade de sequela de ( ) 0,02. o Em 1000 lançamentos de um dado, o número 6 saiu 200 vezes. Assim, segundo a abordagem frequentista, teríamos probabilidade 0,2 (200/1000) de sair a face 6. 23

24 Nota A abordagem frequentista fornece apenas uma aproximação para a real probabilidade do evento. No entanto, a probabilidade frequentista se aproxima cada vez mais da real probabilidade à medida que aumentamos o número de observações (lei dos grandes números). 24

25 Abordagem subjetiva Há situações em que também a definição frequentista não se aplica, por não dispormos de observações em número suficiente para calcularmos a frequência relativa de um evento. A abordagem subjetiva consiste na atribuição de uma probabilidade baseada no grau de crença de um individuo quanto à ocorrência do evento. 25

26 Exemplos Um jornalista esportivo pode atribuir uma probabilidade de um time ser o campeão da temporada com base nas informações que ele dispõe sobre o time e seus adversários; Um médico pode atribuir uma probabilidade de cura a um paciente submetido a um tratamento experimental; Um professor pode atribuir a um aluno uma probabilidade de aprovação, com base no empenho do aluno em suas aulas. 26

27 Nota Probabilidades subjetivas fundamentam um ramo importante da Estatística, denominada Estatística Bayesiana, em referência ao Matemático inglês Thomas Bayes. 27

28 Algumas propriedades básicas de probabilidade Para qualquer evento A, 0 ( A) 1 P ; Regra da soma: Para dois eventos quaisquer A e B, P ( AU B) P( A) + P( B) P( AI B) = ; Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então ( A B) = P( A) P( B) P U +. 28

29 Estendendo a propriedade apresentada no item anterior, se A, B, C, D,... são eventos mutuamente exclusivos, então: P ( AU BU CU D... ) = P( A) + P( B) + P( C) + P( D) +... Probabilidade do evento complementar: se evento A, então: C A é o complemento do ( A ) P( A) P C =1. 29

30 Exemplo 3.6 Uma bolsa de estudos será sorteada aleatoriamente entre os alunos matriculados numa faculdade. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos alunos com relação ao sexo e à área do curso em que estão matriculados. Área do curso Sexo Masculino Feminino Total Exatas Humanas Biológicas Total

31 Calcule a probabilidade de o aluno sorteado ser: a) Do sexo feminino; b) Da área de humanas; c) Do sexo masculino e da área de exatas; d) Do sexo masculino ou da área de exatas; e) Do sexo feminino ou da área de biológicas; f) Não ser da área de humanas; g) Da área de humanas ou da área de exatas. 31

32 Probabilidade condicional e independência Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um evento A é alterada pela ocorrência de um evento B. Denotamos por ( A B) condicional (dada a) ocorrência de B; P a probabilidade de ocorrência de A 32

33 Exemplos - o Probabilidade de um apostador conseguir mais de seis pontos no lançamento de dois dados dado que ele tirou 3 no primeiro dado; o Probabilidade de um componente eletrônico durar mais de 1000 horas dado que ele funciona por mais de 500 horas; o Probabilidade de um aluno atingir média superior a 50 em duas provas dado que sua nota na primeira prova foi 40; 33

34 A probabilidade de A condicional à ocorrência de B é determinada pela razão da probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B em relação à probabilidade de ocorrência do evento B: P ( A B) ( AI B) P( B) P =. 34

35 Exemplo 3.7 Numa certa população, os indivíduos se distribuem com relação ao peso e à condição da pressão arterial segundo as seguintes frequências: Peso Pressão sanguínea Normal Elevada Total Adequado 0,6 0,1 0,7 Acima do peso 0,2 0,1 0,3 Total 0,8 0,2 1,0 Selecionada uma pessoa ao acaso dessa população: 35

36 a) Qual a probabilidade que ela tenha pressão elevada? b) Qual a probabilidade que ela esteja acima do peso? c) Qual a probabilidade que ela tenha pressão elevada e esteja acima do peso? d) Qual a probabilidade que ela tenha pressão elevada dado que está acima do peso? e) Qual a probabilidade que ela esteja acima do peso dado que apresenta pressão elevada? 36

37 Regra do produto de probabilidades Para dois eventos A e B quaisquer, a probabilidade de ocorrência de A e B fica dada por: ( A B) = P( A B) P( B) P I, ou, de forma equivalente, ( A B) = P( B A) P( A) P I. 37

38 Exemplo 3.8 A probabilidade de um vendedor convencer um cliente A a comprar um particular produto é 0,6. Se o cliente A comprar o produto, a probabilidade de um segundo cliente B também comprá-lo, inspirado pela compra do primeiro, é 0,8. a) Qual a probabilidade de ambos comprarem o produto? b) Qual a probabilidade de A comprá-lo, mas B não? 38

39 Independência entre eventos: Dizemos que dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência de A não é alterada pela ocorrência de B, ou, de forma equivalente, a probabilidade de B não é alterada pela ocorrência de A: ( A B) = P( A) ; P( B A) P( B) P =. Pela regra do produto de probabilidades, se A e B são eventos independentes, então: ( A B) P( A) P( B) P I =. 39

40 Exemplo 3.9 Um economista acerta sua previsão para a cotação de uma moeda estrangeira para a próxima semana (dentro de uma margem de erro) com probabilidade 0,95. Supondo que suas previsões em diferentes semanas sejam independentes, qual a probabilidade dele acertar nas próximas duas semanas? Nota: Se A,..., 1, A2 An são eventos independentes, então: ( A A I A ) = P( A ) P( A )... P( ) P 1I 2... I n 1 2 A n. 40

41 Teorema da Probabilidade Total Sejam A,..., 1, A2 An eventos mutuamente exclusivos, e tais que A1 U A2 U... U An = S (dizemos, neste caso, que A 1, A2,..., An formam uma partição de S); Seja B um evento qualquer em S. 41

42 Figura Partição do espaço amostral e um evento adicional B. S 42

43 A probabilidade do evento B, neste caso, pode ser escrita como a probabilidade de B ocorrer junto com A 1 + probabilidade de B ocorrer junto com A : P ( B) = P( BI A ) + P( BI A ) P( BI ) 1 2 A n. Usando a regra do produto de probabilidades, a probabilidade de B pode ser calculada, de forma equivalente, por: ( B) = P( B A ) P( A ) + P( B A ) P( A ) P( B A ) P( ) P n A n. 43

44 Exemplo 3.10 Um aluno vai para a escola a pé em 50% das vezes, de ônibus em 30% e de carona em 20%. A probabilidade dele se atrasar nos dias em que vai a pé é de 0,05, nos dias em que vai de ônibus é 0,20 e nos dias em que vai de carona 0,20. Qual a probabilidade desse aluno se atrasar amanhã? 44

45 Teorema de Bayes No contexto apresentado no Teorema da Probabilidade Total, suponha para agora que se deseja calcular a probabilidade de um particular evento A k condicional à ocorrência de B ( ( A B) Bayes: P P ( A B) k = P P k ). Segundo o Teorema de ( BI Ak ) P( A ) P( B AK ) P( AK ) ( B A ) P( A ) + P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) 1 k = 1,2,..., n k = n n, 45

46 Exemplo 3.10 (continuado) Supondo que amanhã o aluno se atrase para a escola, qual a probabilidade que ele tenha ido até lá: a) A pé; b) De ônibus; c) De carona. 46

47 Qualidade de testes diagnósticos Probabilidades são frequentemente utilizadas na área de saúde com o objetivo de medir a qualidade de testes utilizados para um específico diagnóstico, bem como para medir o grau de certeza de decisões clínicas baseadas em tais testes. Os principais índices associados à qualidade de testes diagnósticos são os seguintes: 47

48 o Sensibilidade: é a probabilidade de o teste ser positivo dado que o paciente examinado é doente. A sensibilidade de um teste diagnóstico será denotada por = P( T D ) s ; + + o Especificidade: é a probabilidade de o teste ser negativo dado que o paciente examinado não tem a doença. A especificidade de um teste diagnóstico será denotada por = P( T D ) e. 48

49 Embora sensibilidade e especificidade sejam importantes parâmetros referentes à qualidade do teste, um interesse mais usual, para profissionais da área de saúde, refere-se à probabilidade do diagnóstico correto de um paciente, com base no resultado do teste; Para o cálculo de tais probabilidades, além da sensibilidade e da especificidade do teste, deve-se considerar a prevalência da doença em questão p P( ) de interesse. = D +, que é a proporção de pessoas doentes na população 49

50 Os principais indicadores de qualidade, neste caso, são: o Valor preditivo positivo (VPP): é a probabilidade de o paciente de fato estar doente, dado o resultado positivo do teste: P ( D T ) + + = P ( D+ I T+ ) P( T ) + = = P( T+ D+ ) P( D+ ) ps = ( D ) P( D ) + P( T D ) P( D ) ps + ( 1 p)( 1 e). P T

51 o Valor preditivo negativo (VPN): é a probabilidade de o paciente de fato não estar doente, dado o resultado negativo do teste: VPN = P ( D T ) = P ( D I T ) P( T ) = = P( T D ) P( D ) ( D ) P( D ) + P( T D ) P( D ) P T + + = e e( 1 p) ( 1 p) + ( 1 s). p 51

52 Como consequência das definições dos valores preditivos, têm-se as probabilidades de decisões incorretas: a probabilidade de falso positivo (PFP) e a probabilidade de falso negativo (PFN): PFP ( D T ) = 1 P( D T ) = VPP = P ; PFN ( D T ) = 1 P( D T ) = VPN = P

53 Exemplo 3.11 Foram examinadas radiografias do tórax de indivíduos, dos quais 30 estavam com tuberculose e não apresentavam a doença, por diagnóstico feito de forma independente da leitura dos raios X e com uma margem de erro desprezível. Pelo modo como estes pacientes foram selecionados, a prevalência da doença, tanto neste grupo quanto na população de interesse, é de 30/1.820=0,0165. Os resultados do experimento estão resumidos na tabela a seguir: 53

54 Tuberculose Leitura do raio X Positivo Negativo Total Presente Ausente Total a) Calcule a sensibilidade e a especificidade do raio X como teste diagnóstico para tuberculose; b) Calcule o valor preditivo positivo e o valor preditivo negativo do teste; c) Calcule as probabilidades de falso positivo e de falso negativo. 54

55 Exemplo 3.12 Um clínico considera uma pessoa diabética se a concentração de glicose no sangue é maior que L 1. Um outro clínico toma como valor de referência L 2, tal que L 2 >L 1. Compare as sensibilidades e as especificidades dos testes utilizados pelos dois médicos. 55

56 Exemplo 3.13 Um teste tem sensibilidade de 95% e especificidade de 80%. A prevalência da doença correspondente ao teste, numa particular população, é de 5%. a) Se um indivíduo selecionado ao acaso dessa população for submetido ao teste e testar positivo, qual a probabilidade dele estar realmente doente? b) Se um médico tem 75% de certeza sobre um paciente ter a doença, quanto aumenta esta probabilidade depois de se observar um resultado positivo para o teste? 56

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