Tratamento de Incertezas TIC MINTER-IFMT

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1 Tratamento de Incertezas TIC MINTER-IFMT Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em Tópicos da Aula Revisão de conjuntos Modelos probabilísticos Experimento aleatório Espaço amostral Evento Axiomas da probabilidade Lei probabilística Leituras Bertsekas and Tsitsiklis, 2nd ed., 2008, Seções 1.1 e 1.2 TIC Tratamento de Incertezas 2 1

2 Espaços Amostrais e Probabilidade Modelos Probabilísticos TIC Tratamento de Incertezas 3 Experimento Aleatório Experimento aleatório é uma atividade real ou conceitual que leva a um resultado possível Exemplos Lançar uma moeda Lançar, consecutivamente, duas moedas Lançar um dado Arremessar um dardo Rodar um programa de computador TIC Tratamento de Incertezas 4 2

3 Espaço Amostral Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Os elementos de Ω precisam ser Mutuamente exclusivos Coletivamente exaustivos TIC Tratamento de Incertezas 5 Espaço Amostral Exemplo 1 Caso Discreto Lançamento de uma moeda representa cara representa coroa Ω, Mutuamente exclusivo e coletivamente exaustivo? TIC Tratamento de Incertezas 6 3

4 Espaço Amostral Exemplo 2 Caso Discreto Lançamento de duas moedas representa cara representa coroa Ω,,, ou Ω,, se a ordem dos resultados parciais não é importante Mutuamente exclusivo e coletivamente exaustivo? TIC Tratamento de Incertezas 7 Espaço Amostral Exemplo 3 Caso Discreto Lançamento de dois dados de 4 faces, assumindo que a ordem dos lançamentos é importante Ω 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4 Segundo lançamento Primeiro lançamento ,1 1,2 1,3 1,4 Pensar graficamente ajuda muito! TIC Tratamento de Incertezas 8 4

5 Espaço Amostral Exemplo 4 Caso Contínuo Lançamento de um dardo em um alvo quadrado de lado igual a 1 Ω, 0, 1 1,1 0,0 TIC Tratamento de Incertezas 9 Classificação de Espaços Amostrais Espaço discreto Finito (e.g., faces de um dado) Infinito contável (e.g., conjunto dos números naturais, ) Espaço contínuo Finito não-contável (e.g., a superfície de um alvo) Infinito não-contável (e.g., conjunto dos números reais, ) TIC Tratamento de Incertezas 10 5

6 Evento Evento é uma coleção dos resultados possíveis de um experimento aleatório Um subconjunto do espaço amostral (Ω) Exemplo Resultados possíveis do lançamento de um dado de 6 faces o O número ser impar o O número ser menor do que quatro o O número ser um Um evento é representado como um conjunto de eventos atômicos, os elementos básicos de Ω TIC Tratamento de Incertezas 11 Revisão de Conjuntos Definição Um conjunto é uma coleção de objetos, que são os elementos do conjunto Notação para conjunto discreto o Finito,,,, tal que!!" o Infinito contável,,, tal que! Notação para conjunto contínuo o Finito ou infinito não-contável!! " Conjunto vazio é denotado por ou por TIC Tratamento de Incertezas 12 6

7 Revisão de Conjuntos Pertinência Pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto, lê-se o elemento pertence ao conjunto, lê-se o elemento não pertence ao conjunto TIC Tratamento de Incertezas 13 Revisão de Conjuntos Relações entre Conjuntos % é subconjunto de & se todo elemento de% também é elemento de & % &, lê-se % é subconjunto de & & %, lê-se & é superconjunto de % % é igual a & se % & e & % % &, lê-se % é igual a& % %, % % & Diagrama de Venn TIC Tratamento de Incertezas 14 7

8 Revisão de Conjuntos Operações com Conjuntos União % & % ou &,-%, % % % % e & são partições de se % & e % & Intersecção % & % e &,-%, % % % % e & são disjuntos se % & Complemento % 0 % e %, para % % % & % & & % & % % 0 ou e TIC Tratamento de Incertezas 15 Revisão de Conjuntos Outras Operações e Identidades Diferenças % & % & 0 (diferença entre conjuntos) % & % & % & % & & % (diferença simétrica) Algumas identidades 0, 0, % 0 0 % %, % % % % 0, % % 0 % & 0 % 0 & 0, % & 0 % 0 & 0 % & 7 % & % 7 % & 7 % & % 7 TIC Tratamento de Incertezas 16 8

9 Evento Recapitulando Evento é uma coleção dos resultados possíveis de um experimento aleatório Um subconjunto do espaço amostral (Ω) Exemplo Resultados possíveis do lançamento de um dado de 6 faces o O número ser impar o O número ser menor do que quatro o O número ser um Um evento é representado como um conjunto de eventos atômicos, os elementos básicos de Ω TIC Tratamento de Incertezas 17 Evento Exemplo 1 Caso Discreto Lançamento de um dado de 6 faces Espaço amostral Ω 1,2,3,4,5,6 Eventos o O número ser ímpar o O número ser menor do que quatro o O número ser um TIC Tratamento de Incertezas 18 9

10 Evento Exemplo 2 Caso Contínuo Lançamento de um dardo em um alvo quadrado de lado igual a 1 Espaço amostral Ω, 0, 1 Eventos o O dardo atingir o círculo inscrito no alvo o A soma de e ser menor ou igual a 0,3 TIC Tratamento de Incertezas 19 Probabilidade A probabilidade de um evento é a chance do evento acontecer como resultado de um experimento aleatório : % denota a probabilidade do evento % ocorrer Definição axiomática da probabilidade Não se considera a forma como as probabilidades são obtidas, mas se assume que estas devem satisfazer certos axiomas TIC Tratamento de Incertezas 20 10

11 Axiomas da Probabilidade 1) Não-negatividade 2) Normalização : % ;0 : Ω 1 3) Aditividade se % &, então : % & : %?: & de maneira mais geral, se Ω possui um número infinito de elementos e %,%, é uma sequência de eventos disjuntos : % % : %?: %? TIC Tratamento de Incertezas 21 Propriedades da Probabilidade Para um evento : % 0 1@: %, % : 0 ( evento impossível) Para quaisquer eventos % e & : % & : %?: % & : % & : %?: & Para qualquer evento % & : % : & TIC Tratamento de Incertezas 22 11

12 Lei Probabilística Uma lei probabilística associa a um evento % a probabilidade : % que codifica o conhecimento ou crença sobre as possibilidades coletivas dos elementos em % TIC Tratamento de Incertezas 23 Lei Probabilística Exemplo 1 Caso Discreto Experimento Lei Lançamento de dois dados de quatro faces Todo resultado possível tem probabilidade de G Eventos :, ser 2,2 ou 3,2 : 2 : IJK, 2 Lançamento Lançamento TIC Tratamento de Incertezas 24 12

13 Lei Probabilística Exemplo 2 Caso Contínuo Experimento Lei Sorteio de dois número reais no intervalo 0,1 Probabilidade equivale à área Eventos :? 0,3 :, 0,5,0,5 0,0 1,1 TIC Tratamento de Incertezas 25 Modelo Probabilístico Modelo probabilístico é a descrição matemática de uma situação incerta Elementos de um modelo probabilístico Um espaço amostral Ω Uma lei probabilística TIC Tratamento de Incertezas 26 13