Prof.: Joni Fusinato

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1 Probabilidade Condicional Prof.: Joni Fusinato

2 Probabilidade Condicional É a probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que já ocorreu um evento B. Assim, o evento B é certo, enquanto que o evento A é incerto. Esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito. Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de ocorrer o evento A sabendo que ocorreu o evento B é denotado por P(A B) e definido por: P A B P A B P(B) 0 P B

3 Exemplo 1: Qual a probabilidade de se obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares? 2 P A B 2 P A B 36 22,22% P B

4 Atividade Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter 10, sabendo que é uma carta de copas? A = Obter um 10 de copas B = Obter uma carta de copas Só existe um 10 de copas no baralho, P(A B) = 1/52 A probabilidade de se obter uma carta de copas é: P(B) = 13/52 R: 1/13 ou 7,69%

5 Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Lidam com eventos sob diversas condições. Probabilidades diferentes para cada condição. Partição do Espaço Amostral É um conjunto de eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o espaço amostral. Não há eventos vazios. Não há intersecção entre os eventos A união dos eventos da partição é o espaço amostral

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7 Teorema da Probabilidade Total P(B) = Σ P(B A i ).P(A i ) A expressão matemática pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado B, com probabilidades condicionais conhecidas e dado qualquer evento de A i, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que B vai acontecer? A resposta para esta questão é P(B). Usado quando é difícil calcular a probabilidade do evento B diretamente, mas pode-se conhecer a probabilidade dele acontecer dado que ocorreram outros eventos A i que formam uma partição do espaço amostral.

8 Exemplo 1: Duas fábricas fornecem sensores para a mesma empresa. Os sensores da fábrica X funcionam por mais de horas em 99% dos casos, enquanto os sensores da fábrica Y funcionam por mais de horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% dos sensores. Calcule a probabilidade de um sensor, escolhido ao acaso, funcionar por mais de horas. P(B) = Sensor funcionar por mais de horas P(A x ) = 0,6 (Fábrica X) P(A y ) = 0,4 (Fábrica Y) P(B A x ) = 0,99 P(B A y ) = 0,95 P(B) = P(B A x ).P(A x ) + P(B A y ).P(A y ) P(B) = 0,99.0,6 + 0,95.0,4 P(B) = 0, ,38 P(B) = 0, = 97,40%

9 Árvore de Probabilidade 0,6 0,99 X Fábrica 0,4 Y ,95 P(B) = 0,99.0,6 + 0,95.0,4 P(B) = 0, ,38 P(B) = 0, = 97,40%

10 Exemplo 2: Uma equipe de Fórmula 1 estima que seu piloto tem 50% de chances de vencer a corrida quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, suas chances de vitória cai para 25%. Os meteorologistas estimam em 30% as chances de chover durante a corrida, qual a probabilidade desse piloto vencer? P(B) = Piloto vencer P(A x ) = 0,30 (Chover) P(A y ) = 0,70 (Não chover) P(B A x ) = 0,50 P(B A y ) = 0,25 P(B) = P(B A x ).P(A x ) + P(B A y ).P(A y ) P(B) = 0,50.0,3 + 0,25.0,70 P(B) = 0,15 + 0,175 P(B) = 0, = 32,50%

11 Atividade Um jogador de Poker participa de um torneio onde sua probabilidade de vitória é de 30% contra metade dos jogadores (chame-os do tipo 1), 40% contra um quarto dos jogadores (chame-os do tipo 2) e 50% contra o um quarto dos jogadores restantes (chame-os do tipo 3 ). O jogador disputa uma partida contra um oponente selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade dele vencer? P(B) = Jogador vencer P(A 1 ) = 0,50 P(A 2 ) = 0,25 P(A 3 ) = 0,25 P(B A 1 ) = 0,30 P(B A 2 ) = 0,40 P(B A 3 ) = 0,50 P(B) = P(B A 1 ).P(A 1 ) + P(B A 2 ).P(A 2 ) + P(B A 3 ).P(A 3 ) P(B) = 0,30.0,50 + 0,40.0,25 + 0,50.0,25 P(B) = 0,15 + 0,10 + 0,125 P(B) = 0, = 37,50%

12 Teorema de Bayes Recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês Thomas Bayes, que foi o primeiro a fornecer uma equação que permitiria que novas evidências atualizassem a probabilidade de um evento a partir do conhecimento a priori (ou a crença inicial na ocorrência de um evento). É um corolário da lei da probabilidade total, expresso matematicamente na forma da seguinte equação:,

13 Exemplo 1: A máquina A responde por 60% da produção e a máquina B pelo restante da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas são de 3% e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? A: peça produzida por A B: peça produzida por B d: peça defeituosa P(B d) =? P(d A) = 3% P(d B) = 7% P(A) = 60% P(B) = 40% R: 60,87%

14 Árvore de Probabilidade 0,03 Defeito 0,018 0,6 A 0,97 Sem Defeito 0,582 Máquina 0,4 0,07 Defeito 0,028 B 0,93 Sem Defeito 0,372 P(B d) = 1,000

15 Exemplo 2: Um novo produto para detectar a hepatite está para ser lançado no mercado. O laboratório ainda não tem certeza da eficácia do teste. Antes de lançar o produto testou-o com um grupo de pessoas para estudar as probabilidades de ter resultados corretos e incorretos (falso positivo e falso negativo). No grupo há 8% de pessoas realmente doentes. Sabe-se que a probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa está doente é de 98% e a probabilidade de dar negativo quando a pessoa não está doente é de 90%. A partir dessas informações: a) Qual é a probabilidade do teste dar negativo? b) Se der negativo qual a probabilidade do indivíduo estar saudável? c) Se der positivo qual a probabilidade da pessoa estar doente?

16 Positivo ou negativo? Árvore de Probabilidade: Resultados dos Exames

17 Árvore de Probabilidade Completa

18 a) Qual é a probabilidade do teste dar negativo? Negativo Falso Negativo P (negativo) = 0, ,0016 = 0,8296 ou 82,96%

19 b) Se der negativo qual a probabilidade do indivíduo estar saudável? P (são/negativo) = P(são negativo) = 0,828 = 0,998 ou 99,80% P(negativo) 0,8296

20 c) Se der positivo qual a probabilidade da pessoa estar doente? P (doente/positivo) = P(doente positivo) = 0,0784 = 0,46 ou 46% P(positivo) 0,1704

21 Atividades 1) Em uma escola, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1,80 m. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante for selecionado ao acaso e tem mais de 1,80 m, qual a probabilidade de ser mulher? (R: 21,05%) 2) Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é escolhida ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A? (R: Máquina B: 64,10%, Máquina A: 30,77%) 3) Em uma fábrica de lâmpadas, as linhas de fabricação 1, 2 e 3 respondem por 50%, 30% e 20% da produção respectivamente. Algumas lâmpadas saem defeituosas. A porcentagem é de 0,4%, 0,6% e 1,2% para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que elas cheguem ao mercado com defeitos todas são inspecionadas. Qual a chance de uma lâmpada defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha 1? (R: 32,26%)