MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE

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1 PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido, e além disso, a ocorrência de um deles exclui os demais. É o caso do lançamento de uma moeda, cujos possíveis resultados são: cara, coroa; ou então, o lançamento de um dado, com resultados:, 2,, 4, 5, 6. Todo experimento desta natureza chama-se de experimento aleatório, e seus possíveis resultados, mutuamente exclusivos, são chamados de eventos simples. Diremos que um é determinístico quando repetido em condições iguais conduz a resultados idênticos. Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes são chamados experimentos aleatórios. O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os seus eventos simples. No caso do lançamento do dado, o espaço é igual a U, 2,, 4, 5, 6. Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A {2,, 5} é o evento que ocorre se o número mostrado na face de cima é primo. Para calcular a probabilidade de um evento A, iremos considerar o caso do evento A {2,, 5} do nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade dos casos.se os eventos elementares são todos equiprováveis e se o número de elementos de A é a metade dos elementos do espaço amostral. A probabilidade do evento A, será calculada da seguinte forma: probabilidade de #(A) A. #( ) 6 2 Suponha que um experimento aleatório tem as seguintes características: Há um número finito (digamos n) de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral U. Os eventos elementares são igualmente prováveis. Todo evento A é uma união de m eventos elementares onde m n. Definimos, então: Probabilidade de número de casos favoráveis #(A) m A P(A). número de casos possíveis #(U) n

2 São consequências imediatas desta definição as seguintes propriedades: ) Para todo evento A, 0 PA ( ) ; 2) P (U) ; ) P ( ) 0 (porque #( ) 0; 4) Se AB então P( A B) P( A) P( B ). TEOREMA - PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR c p(a ) p(a). 2

3 EXERCÍCIOS DE COMBATE. (EEAR 20) Para participar de um sorteio, um grupo de 52 pessoas responderam à pergunta: Você é fumante?. Se 40 pessoas responderam SIM, a probabilidade da pessoa sorteada não ser fumante é: (AFA 2006) Em uma urna contendo 2 bolas amarelas, 5 bolas brancas e 8 bolas pretas, a probabilidade de retirar três bolas de cores diferentes é 8% 22,8%,4% 76. (AFA 200) Na Academia da Força Aérea, existem 8 professores de matemática e 6 de física. Para participar de um congresso no Rio de Janeiro, deverá ser formada uma comissão de 4 professores. A probabilidade de participarem dessa comissão professores de matemática e de física é de: (AFA 2005) Dentro de uma caixa há nove etiquetas. Cada etiqueta recebe um número de 0 a 09, sem repetir nenhum. Retira-se três delas, uma a uma, sem reposição. A probabilidade de que os três números correspondentes às etiquetas retiradas sejam, nesta ordem, ÍMPAR PAR ÍMPAR ou PAR ÍMPAR PAR é de 28

4 PROF. HAROLDO FILHO (AFA200) Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. Os estudantes A e B têm a mesma probabilidade de vencer e cada um tem o dobro da probabilidade de vencer que o estudante C Admitindo-se que não haja empate na competição, é FALSO afirmar que a probabilidade de A ou B vencer é igual a a,8 A vencer é igual a 0,4 C vencer é maior que 0,2 B ou C vencer é igual a 0,6 6. (ESPCEX 20) A probabilidade de ocorrer um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis: P (A) = número de resultados favoráveis número de resultados possíveis De uma urna com bolas numeradas de a 0 serão sorteadas bolas, sem reposição. Um apostador marcou um bilhete com 5 números distintos (de a 0). A probabilidade de ele acertar os números é: e) (IME 200) Cada um dos quatro quadrados menores da figura abaixo é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. 4

5 PROF. HAROLDO FILHO Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? e) (IME 2009) Uma urna contém cinco bolas numeradas de a 5. Retiram-se, com reposição, bolas desta urna, sendo o número da primeira bola, o da segunda e o da terceira. Dada a equação quadrática x 2 + x + = 0, a alternativa que expressa a probabilidade das raízes desta equação serem reais é e) (ITA 2009) Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6. Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de Um júri de pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As decisões são tomadas por maioria. Outro júri tem probabilidade p de tomar uma decisão correta. Qual dos júris tem maior probabilidade de acerto? Resposta da questão 0: O primeiro júri decide corretamente quando: i) os jurados, 2 e acertam; 5

6 ii) e 2 acertam e erra; iii) e acertam e 2 erra; iv) 2 e acertam e erra. A probabilidade de o primeiro júri decidir corretamente é p. p. 2 + p. p. 2 + p. ( p). 2 + ( p). p. 2 = p. Portanto as probabilidades são iguais.. (Pucrj 205) Em uma urna existem0 bolinhas de cores diferentes, das quais sete têm massa de 00 gramas cada e as outras três têm massa de 200 gramas cada. Serão retiradas bolinhas, sem reposição. A probabilidade de que a massa total das bolinhas retiradas seja de 900 gramas é de: e) (Uerj 205) Cada uma das 28 peças do jogo de dominó convencional, ilustradas abaixo, contêm dois números, de zero a seis, indicados por pequenos círculos ou, no caso do zero, por sua ausência. Admita um novo tipo de dominó, semelhante ao convencional, no qual os dois números de cada peça variem de zero a dez. Observe o desenho de uma dessas peças: Considere que uma peça seja retirada ao acaso do novo dominó. Calcule a probabilidade de essa peça apresentar um número seis ou um número nove. 6

7 . (Espcex (Aman) 205) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é e) (Fuvest 205) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 2 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: e) (Fuvest 204) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

8 2 e) (Espcex (Aman) 204) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 60, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 2 é: e) 8 7. (Escola Naval 205) Há 0 postos de gasolina em uma cidade. Desses 0, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 0 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? e) (EFOMM) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma outra face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha será 6.. 8

9 2. 2. e) 2. 9

10 EXERCÍCIOS DE COMBATE. Como 40 pessoas responderam SIM, então 2 pessoas são NÃO fumantes, portanto a probabilidade de se sortear uma pessoa não fumante é RESPOSTA: B P! 6 22,8% RESPOSTA: B. Número de comissões com de matemática e de física: Número total de comissões: A probabilidade é RESPOSTA: D 56 x x x x x 2 x 7 x x 4 4 x x 2 x 8 x 6 = 56 x 6 4. Nesta caixa temos 5 etiquetas com número ímpar e 4 etiquetas com número par, e como elas são retiradas sem reposição, a probabilidade da sequência IMPAR-PAR-IMPAR é e a probabilidade da sequência PAR-IMPAR-PAR é e como estes eventos são mutuamente exclusivos temos que a probabilidade pedida é RESPOSTA: B P A P B 2x P A P B 0,4 2x 2x x x P C x 5 P C 0,2 A opção C está incorreta, pois a probabilidade de C vencer é igual a 0,2. RESPOSTA: C 0

11 6. C5 0 2 P(acertar os )= C RESPOSTA: C 7. Seja o evento A dos casos em que dois quadrados vizinhos não são pintados da mesma cor. Para calcular a quantidade de elementos do conjunto, A, temos dois casos; o caso: o e o quadrantes de cores diferentes Pelo Princípio Multiplicativo temos: o caso: o e o quadrantes de cores iguais Pelo Princípio Multiplicativo temos: Logo, pelo Princípio Aditivo, A e C P A P A RESPOSTA: E 8. A equação x x + = 0 possui raízes reais se, e somente se, 4 0. Como, e são números naturais de a 5, a condição acima ocorre se, e somente se: (, e ) {(2,,); (,,), (,,2); (,2,); (4,,); (4,,2); (4,2,); (4,,); (4,,); (4,,4); (4,4,); (4,2,2); (5,,); (5,,2); (5,2,); (5,,); (5,,); (5,,4); (5,4,); (5,,5); (5,5,); (5,2,2); (5,2,); (5,,2)} Temos um total de 24 ternas ordenadas e a probabilidade de cada terna é Logo, a probabilidade pedida é RESPOSTA: C 9. Seja A o evento associado à bola retirada da urna ter número múltiplo de 5 e B o evento associado à bola retirada da urna ter número múltiplo de na 8 5, nb , 90 n A B 0 nab na nbnab p A B 90

12 Seja C o evento associado à segunda bola retirada ter número múltiplo de 6 e o evento B associado à primeira bola retirada ter número múltiplo de p C p C / B p B p C / B p B A probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6 é 5 pc O primeiro júri decide corretamente quando: i) os jurados, 2 e acertam; ii) e 2 acertam e erra; iii) e acertam e 2 erra; iv) 2 e acertam e erra. A probabilidade de o primeiro júri decidir corretamente é p. p. 2 + p. p. 2 + p. ( p). 2 + ( p). p. 2 = p. Portanto as probabilidades são iguais.. Devemos considerar a retirada de bolinhas de 00 g para que a massa total seja 900g. Portanto, a probabilidade P pedida é: P RESPOSTA: B 2. Dominós que possuem o 0: dominós Dominós que possuem o 9: 0 dominós (pois o dominó (9, 0) já foi contado acim Dominós que possuem o 8: 9 dominós (pois os dominós (9, 8) e (9, 0) já foram contados acim e assim por diante... ( ) Portanto, o total de peças será Temos 2 dominós que possuem o 6 ou o 9: + (dominó que possuem o 6 e o 9) = 2 Portanto, a probabilidade pedida será dada por Divisíveis por 4: A {4,8,2,6,20,,48} e na ( ) 2 Divisíveis por 5: B {5,0,5,,50} e nb ( ) 0 Divisíveis por 4 e 5: AB {20,40} e n(a B) 2 Portanto, a probabilidade pedida será: 2

13 P RESPOSTA: D 4. Luís pode receber cartas de ouros de 2 2! 77! 20! RESPOSTA: C 5 5! 0! 2! modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a maneiras e 5 cartas quaisquer de Existem resultados possíveis, e os casos favoráveis são (2, 2), (2, 6), (, ), (, 5), (, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, ), (6, 4), (6, 5) e (6, 6). Portanto, a probabilidade pedida é 7. 6 RESPOSTA: C = Número de divisores positivos de 60: ( + ). (2 + ). ( + ) = 24 Divisores de 60 que são múltiplos de 2: {2,24,6,60,72,20,80,60} n = 8 Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = /. RESPOSTA: C 2 7. O número de elementos do espaço amostral é C Como os eventos são equiprováveis, a probabilidade pedida é RESPOSTA: A 0.9 # 45 e o número de casos favoráveis é #(A) =. 0 2! # A P A. # Considere os cartões 2 A,A, V,V e 2 A,V identificados pela cor de suas faces. Vamos analisar o experimento no qual o juiz retira o cartão e mostra uma das faces para o jogador aleatoriamente. Se a face que o jogador vê é amarela, ou seja, A, A 2 ou A, então esse é o nosso espaço amostral. Assim, n.

14 Para que a face voltada para o juiz seja vermelha, o jogador deve estar vendo a face A. Assim, há um único caso favorável e n A. Logo, a probabilidade pedida é PA n A. n Esse problema pode ser feito também com auxílio do diagrama de árvore a seguir, onde foi adotada a mesma nomenclatura para os cartões e suas faces. Se a face que o jogador vê é amarela, então ele vê uma das três faces marcadas por retângulos no diagrama. Para que a face voltada para o juiz ser vermelha, então o jogador deve estar vendo a face A. Portanto, a probabilidade pedida é: PA 6 P. P A P A P A RESPOSTA: B 2 4