CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE

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1 CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE 1. Conceitos 1.1 Experimento determinístico Um experimento se diz determinístico quando repetido em mesmas condições conduz a resultados idênticos. Exemplo 1: De uma urna que contém 6 bolas branca, tira-se uma bola e verifica-se sua cor, sempre ocorrerá bola branca. 1.2 Experimento aleatório Um experimento se diz aleatório quando repetido em mesmas condições conduz a resultados diferentes. Exemplo 2: No lançamento de um dado é impossível prever exatamente qual a face que estará voltada para cima. A teoria das probabilidades desenvolve modelos que podem ser utilizados no estudo de fenômenos aleatórios. 2. Espaço amostral Situação-problema: Uma urna contém cinco bolas brancas e uma preta. Extraindo-se uma bola, qual é a cor mais provável? Casos possíveis são: S={B,B,B,B,B,P}. Portanto as brancas têm mais chances que a preta. Neste caso usaremos a fórmula introduzida pelo Italiano Cardano ( ), dada pelo quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Assim a probabilidade da extração da bola branca 5 1 pb ( ) e da bola preta é pp ( ). 6 6 Chama-se espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer e indicaremos pela letra S. Na situação-problema o espaço amostral é dado por S={B,B,B,B,B,P}. 3. Evento de um espaço amostral Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo 3: Dar o espaço amostral para o lançamento de duas moedas, observando as faces voltadas para cima. 60

2 S Chamando de C a face cara e de R a face coroa, podemos escrever seu espaço amostral: CC, CR, RC, RR e definimos os eventos: A: ocorre duas caras, A CC e B: ocorre faces iguais, B CC, RR Exemplo 4: No lançamento de um dado dar o espaço amostral e os elementos do evento número par. Solução: O espaço amostral é dado por todos os acontecimentos possíveis, isto é: S 1,2,3,4,5,6. Seu evento número par é dado por P 2,4,6 3.1 União de eventos de um espaço amostral Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, chama-se união de A e B ao evento formado pelos resultados de A ou B e indicamos por A B. 3.2 Intersecção de eventos de um espaço amostral Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, chama-se intersecção de A e B ao evento formado pelos resultados de A e B e indicamos por A B. 3.3 Evento complementar Chama-se evento complementar do evento A aquele formado pelos resultados que não são de A e A xs x A. indicamos por A ou ainda Exemplo 5: No lançamento de um dado, determinar a) Seu espaço amostral; b) A: elementos do evento número par; c) B: elementos do evento número ímpar; d) C: elementos do evento número primo; e) D: elementos do evento número par ou primo; f) E: elementos do evento número par e primo e g) F: elementos do evento complementar do número par. Solução: a) Seu espaço amostral é dado por todos os acontecimentos possíveis, S 1,2,3,4,5,6. b) Seu evento número par é dado por A 2,4,6. c) Seu evento número ímpar é dado por B 1,3,5. d) Seu evento número primo é dado por C 2,3,5. e) Seu evento número par ou primo é dado por D A C 2,3,4,5,6. f) Seu evento número par e primo é dado por E AC 2 g) Seu evento complementar do número par é F A B 1,3,5 61

3 4. Conceito de probabilidade Em um experimento aleatório e para um determinado evento, há sempre um grau de incerteza quanto a sua ocorrência, ou não. Procuraremos fazer afirmações com respeito às chances de cada evento, isto é, seus possíveis resultados. 1, 2, 3,..., n. A cada evento elementar atribuímos um número real que corresponde à chance de ser o resultado do experimento. Assim, O evento a1 com chance pa ( 1) O evento a2 com chance pa ( 2) O evento a3 com chance pa ( 3)... O evento an com chance pa ( n), com pa ( i ) satisfazendo as condições: a) Cada pa ( i ) é um número real maior ou igual a zero, porém menor ou igual a 1. b) A soma pa ( 1) + pa ( 2) + pa ( 3) pa ( n) =1. Dessa maneira, denominamos de probabilidade pa ( i ) do evento a i. Exemplo 6: No lançamento de um dado e observando a face superior, temos o espaço amostral S 1,2,3,4,5,6 e cada uma das seis faces tem a mesma probabilidade, isto é, 1 a) p(1) p(2) p(3) p(4) p(5) p(6) 0 6 b) p(1) p(2) p(3) p(4) p(5) p(6) 1 Seja o espaço amostral finito S a a a a Observação 1: Se o evento for o espaço S, então ps ( ) 1 e denomina-se probabilidade do evento certo. 2) Se o evento for o subconjunto vazio de S, então p( ) 0. 3) Se A é um evento qualquer de S, então 0 pa ( ) Probabilidade no espaço amostral equiprovável Um espaço se diz equiprovável quando os seus eventos elementares ocorrem com probabilidades 1 iguais. Neste caso a probabilidade de cada evento elementar de S é dada por: pa ( ) ns ( ), sendo ns ( ) número de elementos do espaço amostral. Sendo A um evento de S com naelementos, ( ) então a probabilidade de A é dada por: n( A) nº deelementos de A pa ( ) n( S) nº de elementos de S, ou ainda n( A) nº de casos favoráveis a A pa ( ) n( S) nº de casos possíveis de S 62

4 Exemplo 7: No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos duas coroas? Solução: Espaço amostral: n( S) ( c, c),( c, r),( r, c),( r, r), sendo c: caras e r: coroa. na ( ) 1 Evento A ( r, r), logo, pa ( ) ns ( ) 4 Exemplo 8: Tira-se ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que seja a) carta de ás? b) figura? c) carta de ouro? d) carta vermelha? Solução: O espaço amostral: ns ( ) 52 cartas a) Se A: carta de ás, então na ( ) 4 1 pa ( ) ns ( ) b) Se F: carta figura, então nf ( ) 12 3 pf ( ) ns ( ) c) Se O: carta de ouro, então no ( ) 13 1 po ( ) ns ( ) 52 4 d) Se V: carta vermelha, então nv ( ) 26 1 pv ( ) ns ( ) Definição de Probabilidade Seja p uma função definida no conjunto das partes de S, ( S) e imagem no conjunto dos reais [0,1], isto é, p: ( S) [0,1], satisfazendo as propriedades: a) ps ( ) 1(probabilidade do evento certo) b) p( A A ) p( A) p( A ) se A A,para i j, então p é uma função de probabilidade i j i j i j relativa ao evento A. O par Sp, denomina-se espaço de probabilidade. 4.3 Teoremas Teorema 1: Se A e B são eventos quaisquer de S, então p( AB) p( A) p( B) p( A B). Demonstração: Escrevendo A B e B como dois eventos mutuamente excludentes e usando a propriedade b, segue: A B AB A( B A) p( AB) p[ A( B A)] p( A) p( B A) (I) 63

5 B ( AB) ( B A) p( B) p( AB) p( B A) (II), subtraindo (I) de (II), segue p( AB) p( B) p( A) p( A B), logo p( AB) p( A) p( B) p( A B). Teorema 2: Se A e A são eventos de S, então p( A) 1 p( A) Demonstração: Sabemos que S A A e usando a propriedade b, segue: p( S) p( A) P( A), mas ps ( ) 1e assim p( S) p( A) P( A) 1 e, portanto, p( A) 1 p( A) Teorema 3: Se é um evento de S, então p( ) 0 Demonstração: Para qualquer evento A, podemos escrever A A e usando a propriedade b, segue: p( A) p( A) p( ) p( A), logo, p( ) 0 Teorema 4: Se A, B e C são eventos quaisquer de S, então p( ABC) p( A) p( B) p( C) p( AB) p( AC) p( BC) p( AB C) Demonstração: A demonstração consiste em escrever ABC na forma ( AB) C e aplicar o teorema 1. Exemplo 9: Se pa ( ) 0,7 e pb ( ) 0,2, determinar p( A B) nos casos a) p( AB) 0,1 b) A e B mutuamente exclusivos. Solução: a) Sabemos pelo teorema 1 que p( AB) p( A) p( B) p( AB) e substituindo p( A B) =0,7+0,2-0,1=0,8 b) Se A e B mutuamente exclusivos, então p( AB) 0, logo p( A B) =0,7+0,2=0,9 Exemplo 10: Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? Solução: Sejam os eventos: 64

6 A: sair número 4, logo na ( ) 1 B: sair número par, logo nb ( ) 3, e n( AB) 1. Pelo teorema 1, segue p( AB) p( A) p( B) p( AB) e substituindo p( A B) = Exemplo 11: Uma urna contém 20 etiquetas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de retirarmos um número que seja primo ou quadrado perfeito? Solução: Sejam os eventos: A: sair número primo, logo A2,3,5,7,11,13,17,19 e na ( ) 8 B: sair número quadrado perfeito, logo B 1,4,9,16 e ( ) 4 nb, e n( AB) 0. Pelo teorema 1, segue p( AB) p( A) p( B) p( AB) e substituindo p( A B) = Exemplo 12: Em uma urna existem 5 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas ao acaso, qual a probabilidade de que a) A: ambas sejam pretas? b) B: seja uma de cada cor? c) C: a primeira seja branca e a segunda seja preta? 3 n( P, P) () 2 3 Solução: a) pa ( ) 8 ns ( ) ( ) ( 1).( 1) b) pb ( ) 8 ( 2) c) Para responder a essa pergunta colocamos novo conceito. 5. Probabilidade Condicional Situação-problema: Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a probabilidade de a carta ser um rei de ouro sabendo-se que a carta retirada é vermelha. Solução: Do fato de sabermos que ocorreu o evento carta vermelha, tem-se um novo espaço amostral 1 formado pelas cartas vermelhas, isto é, ns ( ) 26 e, portanto, p( R/ V).Esta probabilidade que 26 usamos nessa situação-problema denomina-se probabilidade condicional. A notação p( R/ V ) lê-se probabilidade de sair rei de ouro dado que já saiu carta vermelha. Definição: Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S. Denominamos probabilidade condicional do evento B dado que o evento A tenha ocorrido, e indicamos por p( B/ A ), a probabilidade de B dado que A ocorreu a p( AB) p( B/ A), com p( A) 0 pa ( ) 65

7 Observação 2: Aceitamos sem demonstração que: p( AB) i) Se B ocorreu p( A/ B), com p( B) 0 pb ( ) p( A A) ii) p( A/ A) 1 pa ( ) iii) p( S / A) 1 iv) p( BC/ A) p( B/ A) p( C/ A) se BC Exemplo 13: Dois dados são lançados e os valores da face superior são registrados como pares ( xy, ). Seja S seu espaço amostral e consideremos os eventos assim definidos: A ( x, y) x y 10 B ( x, y) x y. Pede-se e b pb A a) p( A/ B) ) / Solução: Se dois dados são lançados, então ns ( ) e os elementos de A e B são: A ( x, y) x y 10 (5,5),(6,4),(4,6) e na ( ) 3 segue: pa ( ) 3/36 1/12 = B ( x, y) x y= (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) e nb ( ) 15 e segue: pb ( ) 15/ 36 5/12 AB (6,4) e n( AB) 1, e segue p( AB) 1/36. Usando a fórmula tem-se: p( AB) 1/36 1 a) p( A/ B) pb ( ) 5/12 15 p( AB) 1/36 b) p( B/ A) 12/36 1/3 pa ( ) 1/12 6. Probabilidade do produto A probabilidade de ocorrer simultaneamente dois eventos A e B do mesmo espaço S, é igual ao produto da probabilidade pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro. p( AB) p( A). p( B/ A) ou p( AB) p( B). p( A/ B) Exemplo 14: Extrai-se ao acaso duas cartas de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a probabilidade de aparecer 2 reis? Solução: Seja Arei na primeira carta e B rei na segunda carta, assim, p( A) 4/52 e p( B/ A) 3/51, pela fórmula da probabilidade do produto, segue: p( AB) p( A). p( B/ A) =

8 Voltando ao exemplo 12, respondemos a pergunta c) a primeira seja branca e a segunda seja preta nessa ordem? Então, segue p( B P) Exemplo 15: Em uma sala existem 10 alunos, sendo 6 rapazes e 4 garotas. a) Retirando-se 1 aluno aleatoriamente, qual a probabilidade de a 1 ) Ser rapaz? 6 pr ( ) 0,6 10 a 2 ) Ser garota? 4 pg ( ) 0,4 10 b) Retirando-se 2 alunos aleatoriamente, qual a probabilidade de b 1 ) serem rapazes? p( R R) 0, b 2 ) serem na ordem 1 rapaz e uma garota? p( R G) b 3 ) serem 1 rapaz e uma garota? p( R G) c) Retirando-se 3 alunos aleatoriamente, qual a probabilidade de b 1 ) serem rapazes? p( R R R) 0, b 2 ) serem na ordem rapaz, garota e rapaz? p( R G R) 0, b 3 ) serem 2 rapazes e uma garota? p( R R G) 3. 0,

9 6.1. Eventos independentes Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro e podemos escrever: A e B são eventos independentes se, e somente se p( AB) p( A). p( B). Observação 3: Esta definição é equivalente dizer que p( A/ B) p( A) e p( B/ A) p( B) Exemplo 16: Lança-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter cara na moeda e o número 6 no dado? Solução: Seja o evento A: sair cara, então na ( ) 1 e B: sair a face 6, então nb ( ) 1. Sendo A e B eventos independentes, segue: p( AB) p( A). p( B) = Exemplo 17: No lançamento de três moedas, qual a probabilidade de se obter cara nas três moedas? Solução: 1 Seja o evento A: sair cara em uma moeda é igual a pa ( ). Sendo os eventos independentes 2 segue: p( A A A) Exemplo 18: Sejam as urnas U 1 com 2 bolas brancas e 4 vermelhas e U 2 com 3 bolas brancas e 4 vermelhas. Retirando-se ao acaso uma bola de cada urna, qual a probabilidade de se obter uma branca e uma vermelha? Solução: Devemos retirar B/ U1 e V / U 2 e depois V / U1 e B /U2 e usando a probabilidade do produto segue: p( BV) P( V B)

10 Exercícios de aplicação 9: 1. Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a probabilidade de a carta ser a) um ás. b) um valete de copas. c) três de paus ou seis de ouro. d) uma carta de copas. e) de qualquer naipe exceto copas. f) um dez ou uma carta de espadas. g) nem quatro nem carta de paus. 2. Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determine a probabilidade de a bola ser: a) vermelha. b) branca. c) azul. d) não vermelha. e) vermelha ou branca. 69

11 3. Joga-se um dado honesto duas vezes. Determinar a probabilidade de se obter 4, 5, ou 6 na primeira jogada e 1, 2, 3, ou 4 na segunda jogada? 4. Extraem-se aleatoriamente 2 cartas de um baralho comum de 52 cartas. Determine a probabilidade de serem ambas ases se a primeira carta a) é reposta. b) não é reposta. 5. Uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Extraem-se três bolas sucessivas e aleatoriamente, determine a probabilidade de as mesmas serem extraídas na ordem vermelhabranca-azul a) havendo reposição. b) não havendo reposição. 6. Uma caixa contém 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 9 azuis. Extraindo-se ao acaso 3 bolas, sem reposição, determine a probabilidade de a) todas serem vermelhas. b) todas serem brancas. c) 2 serem vermelhas e uma azul. d) ao menos uma ser branca. e) ser uma de cada cor. f) as bolas serem extraídas na ordem vermelha-branca-azul. 70

12 7. Uma estante contém 6 livros de matemática e 4 de física. Determine a probabilidade de 3 livros de matemática em particular estarem juntos. 8. Jogando-se 3 dados, calcular a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja superior a 14? Exercícios de aplicação 10: 1. Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que o número seja a) par. b) ímpar. c) par e menor que 10. d) primo e maior que 3. e) múltiplo de 3 e Uma urna contém 7 bolas gravados com as letras A,A,A,C,C,R,R. Extraindo-se as bolas uma por uma calcular a probabilidade de obter-se a palavra CARCARA. 71

13 3. Uma gaveta contém 50 parafusos e 150 porcas. Metade dos parafusos e metade das porcas está enferrujada. Se uma dessas peças for escolhida ao acaso, qual será a probabilidade de que esteja enferrujada ou seja um parafuso? 4. Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por 3 bolas azuis. Em seguida 2 bolas são retiradas ao acaso da caixa. Calcular a probabilidade de que essas 2 últimas bolas sejam da mesma cor. 5. O número de uma placa de um carro é par. Qual a probabilidade de o algarismo das unidades ser 0? 6. Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos? 72

14 7. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do São Paulo, 5 são do Palmeiras e as demais são do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual a probabilidade dele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras? 8. Um prédio de 3 andares, com dois apartamentos por andar, têm apenas 3 apartamentos ocupados. Qual a probabilidade de que cada um dos 3 andares tenha exatamente um apartamento ocupado? 9. Uma urna contém 1 bola branca 3 bolas pretas. Extrai-se 3 bolas consecutivas e aleatoriamente, sem identificar a cor de cada uma. Qual a probabilidade da bola que ficou na urna ser branca?. 10. Uma urna contém 4 fichas brancas e 5 pretas. Extraindo-se sucessivamente duas fichas, qual a probabilidade da a) 1ª ser branca sabendo-se que a 2ª é branca? b)1ª ser branca sabendo-se que a 2ª é preta?.11. A probabilidade de um marido e sua esposa estarem vivos daqui a 20 anos são respectivamente 0,6 e 0,8. Qual a probabilidade de que daqui a 20 anos a) ambos estarem vivos? b) nenhum estar vivo? c) pelo menos um estar vivo? 73

15 12. Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. Extraem-se 3 fichas sucessivamente. Determinar a probabilidade de saírem a) nessa ordem ímpar-par-ímpar? b) dois ímpares e um par? 13. Sejam dois eventos associados a um experimento. Seja p(a)=0,4, p(a B)=0,7. Se p(b)=k, então o valor de k para que A e B sejam a) mutuamente exclusivos. b) independentes. 14. Escolhendo-se, aleatoriamente, uma carta de um baralho de 52 cartas, pede-se: a) A probabilidade de ser uma carta de ouro? b) A probabilidade de ser uma figura? 15. Num lote de 12 peças, 4 defeituosas. 2 peças são retiradas, aleatoriamente. Calcule a) a probabilidade de ambas serem defeituosas. b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas. c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 74

16 16. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Retiram-se 2 artigos, aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a) ambos sejam perfeitos. b) ele não tenha defeitos graves. c) nenhum tenha defeito grave. d) nenhum seja perfeito. Exercícios de aplicação 11: 1. No lançamento de um dado observe a face voltada para cima. Definimos: A ocorre número par; B ocorre número primo e S espaço amostral. Dessa maneira seus elementos são (A) S= 0,1,2,3,4,5,6, ; A=0,2,4,6, e B=1,3,5 (B) S= 0,1,2,3,4,5,6, ; A=0,2,4,6, e B=3,5 (C) S= 1,2,3,4,5,6, ; A=2,4,6, e B=1,3,5 (D) S= 1,2,3,4,5,6, ; A=2,4,6, e B=2,3,5 (E) nda 2. No lançamento de dois dados observe as faces voltadas para cima. Definimos o evento A como a soma das faces iguais a 7. A probabilidade de ocorrer A é (A) 0,166 (B) 0,333 (C) 0,5 (D) 0,194 (E) nda. 3. Uma estante contém 4 livros de matemática e 5 de estatística. Retirando-se ao acaso 3 livros sem reposição, então a probabilidade de saírem 2 de matemática e 1 de estatística é (A) 0,06 (B) 0,12 (C) 0,24 (D) 0,36 (E) 0,26 75

17 4. Em um grupo de 60 torcedores, 15 são Palmeirenses, 20 flamenguistas e 25 corintianos. Se um torcedor é escolhido ao acaso para assistir um jogo na tribuna de honra, então a probabilidade de ser corintiano ou flamenguista é (A) 0,15 (B) 0,25 (C) 0,50 (D) 0,75 (E) 0,85 5. Uma urna tem 2 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se duas bolas, sem reposição, a probabilidade de sair uma de cada cor é (A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,8 (E) nda 6. Na sala do Curso de Estatística tem 20 rapazes e 10 garotas. Metade dos rapazes e metade das garotas tem olhos castanhos. A probabilidade de um aluno ser escolhido ao acaso ser rapaz ou ter olhos castanhos é (A) 0,833 (B) 0,666 (C) 0,333 (D) 0,5 (E) nda 7. Um caixa possui 20 peças das quais 12 são defeituosas e 8 perfeitas e são inspecionadas uma após a outra. Se forem extraídas ao acaso 2 peças, qual a probabilidade de uma ser perfeita e a outra defeituosa nessa ordem, com reposição? 8. Um caixa possui 20 peças das quais 12 são defeituosas e 8 perfeitas e são inspecionadas uma após a outra. Se forem extraídas ao acaso 2 peças, então a probabilidade de uma ser perfeita e a outra defeituosa nessa ordem, sem reposição é (A) 0,492 (B) 0,505 (C) 0,542 (D) 0,252 (E) nda 76

18 Exercícios de aplicação 12: 1.Uma bolsa tem 4 cédulas de R$ 50,00 e 2 cédulas de R$ 10,00. Retirando-se duas cédulas a probabilidade de sair soma R$ 60,00 é (A) 0,533 (B) 0,466 (C) 0,366 (D) 0,266 E) nda 2. O setor de RH de uma empresa tem 4 gerentes, 3 subgerentes e 3 auxiliares de administração. Se dois funcionários são escolhidos ao acaso para serem promovidos, então a probabilidade de ser um gerente e um subgerente é (A) 0,30 (B) 0,13 (C) 0,27 (D) 0,70 (E) 0,85 3. Em uma sala existem 3 alunos do curso de administração e 2 do curso de direito. Retirando-se dois alunos ao acaso, a probabilidade do primeiro ser de administração e o segundo de direito é (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 (E) 0,5 4. As probabilidades de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente: 2, 4 e cada um cobrar uma única vez, a probabilidade de todos errarem é: Se (A)100% (B) 20% (C) 12% (D) 0,5% (E) 28% 5. Jogam-se 2 dados e verifica-se os pontos da face superior. Então a probabilidade do produto dessas faces ser um número entre 12 e 15 (inclusive) é (A) 0,17. (B) 0,19. (C) 0,21. (D) 0,23. (E) 0,25. 77

19 6. Um grupo de pessoas são leitoras de três jornais; A,B e C e estão classificados na tabela que segue. Escolhida uma pessoa ao acaso e sabendo-se que lê o jornal C, então a probabilidade se ser mulher é A B C Homens mulheres (A) 0,15. (B) 0,17. (C) 0,19. (D) 0,21. (E) 0,23 7. Seja um baralho de 52 cartas. Selecionadas aleatoriamente 3 cartas desse baralho, então a probabilidade das duas primeiras serem damas e a terceira ser rei é (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0, (E) 0, Exercícios de aplicação 13: 1. Uma empresa possui os seguintes departamentos: A (4 operários), B (6 operários) e C (10 operários). Na segunda-feira, 2 operários faltaram. Qual a probabilidade de que os dois sejam de um mesmo departamento? 2. Sejam A e B dois eventos tais que p(a)=0,4 e p(ab)=0,7 e p(b)=p. Para qual valor de p, A e B são independentes? 78

20 3. Um operador observa 3 máquinas M 1, M 2 e M 3. A probabilidade, em uma hora, de que ele tenha que intervir na máquina M 1, é 13%; em M 2 é 34% e em M 3 é 53%. A probabilidade de ter que intervir em duas maquinas ao mesmo tempo é 5% e, nas três, é nula. Qual a probabilidade, em uma hora, ele intervir em M 1 ou M 3? 4. No lançamento de dois dados observe a face voltada para cima. Definimos o evento A como a soma das faces iguais a 7. Qual a probabilidade de ocorrer A? 5. Numa sala de aula existe moças e rapazes que torcem para 3 times segundo a tabela abaixo moças rapazes São Paulo Palmeiras 8 4 Corinthians 1 0 a) Se for moça, qual a probabilidade de ser palmeirense? b) Se for rapaz, qual a probabilidade de ser corintiano? c) Se for são-paulino, qual a probabilidade de ser rapaz? d) Se for corintiano, qual a probabilidade de ser moça? 6. Seja um espaço amostral. Se pa ( 1), pa ( 2), pa ( 3) pa ( ) é probabilidade definida no espaço S, então o valor de 4. Se p é uma função de (A) 0 (B) 1/3 (C) -1/6 (D)1/6 (E) 5/6 79

21 7. Se metade dos alunos da disciplina de Estatística possui automóvel, um terço possui bicicleta e um quarto possui ambos, então a probabilidade de se encontrar um aluno dessa sala e que possua meio de transporte próprio é (A) 7/12 (B) 4/12 (C) 3/12 (D) 2/12 (E) 1/12 8. Se A e B são eventos de S e pa ( ) 3/8, pb ( ) 5/8 e p( AB) 3/4, então p( A/ B ) é igual a (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 2/5 (E) 2/6 9. Em uma sala de Estatística existem 10 garotas e 20 rapazes. Se uma comissão de 3 alunos é formada, então a probabilidade da comissão ter exatamente 2 rapazes é (A) 0,47 (B) 0,44 (C) 0,37 (D) 0,34 (E) 0, Dos alunos do segundo semestre do Curso de Estatística 12% foram reprovados em Matemática e 15% em Estatística e 10% em ambas as disciplinas. Um aluno dessa turma é selecionado aleatoriamente. Se ele foi reprovado em Estatística, então a probabilidade de ter sido reprovado em Matemática é (A) 12/17 (B) 15/17 (C) 10/17 (D) 2/3 (E)1/3 80

22 11. Se uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas bem misturadas, então a probabilidade de sair um rei preto, dado que a carta retirada foi uma figura é (A) 2/5 (B) 1/5 (C) 1/6 (D) 1/3 (E) 2/3 12. Dez fichas numeradas de 1 a 10 são colocadas em uma caixa. Se duas fichas são extraídas sucessivamente sem reposição, então a probabilidade da soma ser 10 é (A) 0,1777 (B) 0,1111 (C) 0,0888 (D) 0,0666 (E) 0, Considere as igualdades abaixo: I. p( A B) p( A B) II. p( A B) p( A B) III. p( A B) 1 p( A B) Podemos afirmar que: (A) As igualdades II e III são verdadeiras. (B) As igualdades I e II são verdadeiras. (C) Apenas a igualdade I é verdadeira. (D) Apenas a igualdade III é verdadeira. (E) Apenas a igualdade II é verdadeira. 81