Introdução à Probabilidade

Transcrição

1 A Teoria de Probabilidade é responsável pelo estudo de fenômenos que envolvem a incerteza (é impossível prever antecipadamente o resultado) e teve origem na teoria de jogos, servindo como ferramenta para modelar jogos de azar, como cartas e dados.

2 Um experimento é dito determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. Um experimento que repetido sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes são ditos experimentos nãodeterminísticos ou aleatórios. Fenômenos aleatórios ocorrem constantemente no nosso dia a dia.

3 Exemplo 1: O lançamento de uma moeda é um experimento aleatório, uma vez que, em cada lançamento, mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima.

4 Exemplo 2: Se colocarmos uma panela com água para ferver e anotarmos a temperatura de ebulição da água, o resultado será sempre 100⁰C. Logo, este é um experimento determinístico.

5 A Teoria das Probabilidades é responsável por criar, desenvolver e pesquisar modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenônemos aleatórios. Antes, vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios:

6 E 1 : Joga-se um dado e observa-se o número mostrado na face de cima. E 2 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observase o número de caras obtido. E 3 : joga-se um dado até se obter um seis e conta-se o número de lançamentos.

7 E 4 : Em uma linha de produção, fabrica-se peças em série e conta-se o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. E 5 : Compra-se uma lâmpada e verifica se ela queima ou não antes de 100h de uso.

8 Experimentos Aleatórios Os experimentos aleatórios apresentam as seguintes características: a) cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. b) apesar de não ser possível afirmar que resultado particular ocorrerá, podemos descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.

9 Experimentos Aleatórios c) quando o experimento for realizado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de forma acidental. No entanto, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento.

10 Experimentos Aleatórios Definição: Denominamos de espaço amostral, o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Geralmente, representamos o espaço amostral por Ω. Quando o espaço amostral é finito ou infinito enumerável, ele é chamado espaço amostral discreto. Caso contrário, isto é, quando Ω é não-enumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral contínuo.

11 Experimentos Aleatórios Definição: Os subconjuntos de Ω serão chamados de eventos. Os elementos de Ω são chamados eventos elementares. Os eventos, sendo conjuntos, serão representados por letras maiúsculas, enquanto os elementos de um evento serão representados por letras minúsculas.

12 Exemplo 3: Como exemplo ilustrativo, consideremos um espaço amostral com três elementos: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }. O possíveis eventos aleatórios são: Ø, {ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }, {ω 1, ω 2 }, {ω 1, ω 3 }, {ω 2, ω 3 }, {ω 1, ω 2, ω 3 }. Neste caso, os eventos elementares são: {ω 1 }, {ω 2 } e {ω 3 }.

13 Exemplo 4: Lança-se uma moeda e observa-se a face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral é: Ω = {cara, coroa} Temos 4 eventos possíveis: Ø, A ={cara}, B = {coroa} e Ω

14 Operações com eventos: Sejam A e B eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Então: a)aubéoevento que ocorre se, e somente se, ocorre o evento A ou ocorre o evento B, isto é, ocorre pelo menos um dos eventos A e B. Note que isso significa que pode ocorrer somente A, ou somente B ou A e B simultaneamente.

15 b)a Béoevento que ocorre se, e somente se, ocorrem ambos os eventosaeb. c) A B é o evento que ocorre se, e somente se, ocorre o evento A mas não ocorre o evento B. d) A c, chamado de evento complementar de A, é o evento que ocorre se, e somente se, o evento A não ocorre.

16 e) SeA 1,A 2,...,A n for qualquer coleção finita de eventos, então n A j será o evento que ocorrerá se, e somente se, ocorrer pelo menos um dos eventosa j. j= 1 f) SeA 1,A 2,...,A n for qualquer coleção finita de eventos, então n j= 1 será o evento que ocorrerá se, e somente se, todo os eventos A j ocorrerem. A j

17 g) SeA 1,A 2,..., for qualquer coleção infinita (enumerável) de eventos, então j=1 A j será o evento que ocorrerá se, e somente se, ocorrer pelo menos um dos eventosa j. h) SeA 1,A 2,..., for qualquer coleção infinita (enumerável) de eventos, então será o evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventosa j ocorrerem. j= 1 A j

18 Definição: Dizemos que dois eventos A e B são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos ou disjuntos), se eles não puderem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, quando a ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro. Isto significa dizer que os eventos A e B não têm elementos em comum e escrevemos : A B =Ø.

19 Exemplo: Consideremos o experimento lançamento de dois dados e sejam os eventos A = soma das faces é ímpar e B = duas faces iguais. Então, A e B são mutuamente exclusivos porque a soma de dois números iguais é sempre um número par.

20 Definição: Suponha que um experimento seja repetido n vezes e seja A um evento associado a ele. Considere n A o número de vezes que o evento A ocorre nas n repetições. Denominamos frequência relativa do evento A nas n repetições do experimento como sendo o número: f A = n A n

21 Propriedades: A frequência relativa f A apresenta as seguintes propriedades:

22 Definição frequencista de probabilidade: Nosso objetivo é associar um número a cada evento A de um espaço amostral Ω, o qual nos indicará quão provável será a ocorrência de A quando o experimento for realizado. Uma maneira seria repetir o experimento um grande número de vezes, calcular a frequência relativa f A e utilizar esse número.

23 De acordo com a definição frequencista, a probabilidade de um evento A é definida como sendo o limite de f A quando n tende ao infinito, ou seja:

24 1) A definição frequencista de probabilidade pressupõe a realização de experimentos e a observação dos resultados obtidos. 2) Na definição frequencista, a probabilidade é o limite de uma frequência relativa, ou seja, a probabilidade de um evento A é o valor para o qual a freqüência relativa de A converge.

25 2) Isso porque, em um número grande de realizações de um experimento aleatório, a frequência relativa de um evento tende a se estabilizar. Esse valor de estabilidade é a probabilidade do evento e, é independente de quem realiza o experimento. A probabilidade assim determinada é denominada probabilidade estatística.

26 3) A frequência relativa de um evento é um valor associado a um evento que já ocorreu. Por outro lado, a probabilidade é um valor associado a um evento que ainda não ocorreu. Por isso, a relação entre incerteza e probabilidade (medida da incerteza).

27 4) Com a realização de novos experimentos (mantido invariável o conjunto de condições sob as quais o experimento é realizado) as probabilidades frequenciais podem mudar. Por exemplo, quando jogamos uma moeda equilibrada 10 vezes, é possível que venha ocorrer 9 caras e 1 coroa.

28 4) Neste caso, a frequência relativa do evento A={ocorrer cara} seria igual 9/10. Entretanto, é evidente que nas próximas 10 jogadas o padrão de caras e coroas pode inverter. O que desejamos é um meio de obter a probabilidade sem recorrer à experimentação.

29 5) A definição frequencista de probabilidade não é suficiente, pois pressupõe que o espaço amostral seja enumerável. 6) Quando dizemos que o experimento deve ser realizado um grande número de vezes, temos um problema. Quantas vezes deve-se repetir o experimento: 500, 1000, ? Essa quantidade de realizações é fixa de experimento para experimento? Além disso, o número que estamos procurando não deve depender do experimentador e nem de sorte.

30 Definição axiomática de Probabilidade Definição: Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Para cada evento A associaremos um número real denotado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça às seguintes condições: 1) 0 P(A) 1 para todo evento A Ω. 2) P(Ω) = 1. 3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos entãop(a UB) =P(A) +P(B).

31 Definição axiomática de Probabilidade Por enquanto não sabemos como calcular P(A). Antes disso, veremos algumas propriedades de P(A) que serão úteis em diversos problemas e que decorrem das condições acima e não dependem da maneira pela qual se calculap(a).

32 Definição axiomática de Probabilidade Propriedades:

33 Probabilidades para Espaços Amostrais Finitos Exemplo 1: Suponhamos que somente três resultados sejam possíveis em um experimento, a saber, a 1, a 2 e a 3. Além disso, suponha que a 1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que a 2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que a 3. Determinep 1,p 2 ep 3.

34 Resultados Igualmente Prováveis Em muitos experimentos, é natural supor que todos os resultados para espaços amostrais finitos sejam igualmente prováveis, ou seja, tem a mesma chance de ocorrer. Mas essa hipótese não pode ser tomada como segura. Ela deve ser cuidadosamente justificada. Há vários experimentos para os quais tal hipótese é verdadeira, mas existem outras situações experimentais nas quais seria absolutamente errado aceitar tal suposição.

35 Por exemplo, não seria real supor que seja igualmente provável ocorrerem chamadas telefônicas em um centro entre 1 e 2 horas da madrugada e entre 17 e 18 horas da tarde.

36 Definição axiomática de Probabilidade Exemplo 2: Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas caras?

37 Definição axiomática de Probabilidade Exemplo 3: Um número de 1 a 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.