PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves

Transcrição

1 PROBABILIDADE ENEM 2016 Prof. Marcela Naves

2 PROBABILIDADE NO ENEM As questões de probabilidade no Enem podem cobrar conceitos relacionados com probabilidade condicional e probabilidade de eventos simultâneos.

3 Experimento Aleatório Experimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incerto Exemplos: Jogar uma moeda Sortear um número inteiro de um a cem Lançar um dado

4 Espaço amostral (ou de probabilidades) O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) Jogar uma moeda S = {cara, coroa} Sortear um número inteiro de um a cem S = {1,2,...,100} Lançar um dado S = {1,2,3,4,5,6}

5 Evento Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral E = {cara} (sortear cara) E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28) E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)

6 União de eventos Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorre A B

7 Interseção de Eventos Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamente A B

8 Complemento do evento Ocorre quando não ocorre o evento a A

9 Eventos mutuamente excludentes A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica necessariamente na não-ocorrência do outro (i.e., não há elementos comuns entre eles) Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.

10 Probabilidade (objetiva) Proporção de ocorrência de um evento Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis) Assume valores entre 0 e 1

11 Probabilidade (subjetiva) Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas

12 Probabilidade da União Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(A B) =0 P(A B) = P(A) + P(B) Eventos não excludentes P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

13 Probabilidade do complemento Complemento de A: qualquer evento que não seja A P(não A) = 1 P(A), ou P(A ) = 1 P(A)

14 Probabilidade Condicionada Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B P(A B) = P(A B) / P(B)

15 Probabilidade da Interseção Ocorrência simultânea de A e B P(A B) = P(A B) * P(B)

16 Eventos independentes A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente: P(A B) = P(A) Pela expressão anterior, se A e B são independentes: P(A B) = P(A).P(B) Note que neste caso A B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos

17 Variável aleatória O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

18 Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)

19 Tipos de Variável Aleatória Variável aleatória discreta Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.) Variável aleatória contínua Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)

20 Cálculos com distribuições de probabilidade Distribuição binomial Distribuição normal

21 Distribuição Binomial (discreta) De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra. P(compra) = P(C) = 0,40 Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras? S = {(CC), (CC ), (C C), (C C )}

22 Binomial: forma geral E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros? P(x) = C n, x p x q (n-x) Onde C n,x = n! / (x!(n-x)!) p = probabilidade de sucesso q = (1 p) = probabilidade de insucesso

23 Enem 2012 Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

24 Enem 2013 Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a) b) c) d) e) 7. 15