PROBABILIDADE CONDICIONAL E TEOREMA DE BAYES

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1 PROBABILIDADE CONDICIONAL E TEOREMA DE BAYES Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br Universidade Estadual de Londrina 08 de junho de 2016

2 Probabilidade Condicional Algumas vezes a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento.

3 Probabilidade Condicional Algumas vezes a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento. Por exemplo, a chance de um paciente com alguma doença sobreviver o próximo ano depende, naturalmente, de ter sobrevivido no presente período.

4 Probabilidade Condicional Algumas vezes a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento. Por exemplo, a chance de um paciente com alguma doença sobreviver o próximo ano depende, naturalmente, de ter sobrevivido no presente período. A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional de A dado B, denota-se por P(A B).

5 Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B, como se mostra a seguir: P(A B) = P(A B), se P(B) > 0 P(B) ou ainda, P(B A) = P(B A), se P(A) > 0 P(A) Na probabilidade condicional, a ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência do outro.

6 Exemplo Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,..., 15. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de que seja o número 9?

7 Regra 4: Probabilidade da intersecção de dois eventos. A probabilidade condicional permite-nos calcular diretamente a probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim, P(A B) = P(B)P(A B) P(A B) = P(A)P(B A) Exemplo Considere os seguintes eventos: A: retirar uma carta de copas do baralho e B: retirar um às do baralho. Determine a probabilidade desses eventos ocorrerem simultaneamente.

8 Independência de Eventos Regra 5: Probabilidade da intersecção de dois eventos independentes. Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não depende da ocorrência do outro, isto é, P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B). Logo, o teorema do produto para dois eventos independentes é dado por: P(A B) = P(A)P(B)

9 Exemplo Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o fator independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser: a) O e Rh+? b) AB ou Rh-?

10 Sejam A 1, A 2, A 3,..., A k eventos mutuamente excludentes cuja união é o espaço amostral Ω, e que suas probabilidades sejam conhecidas. Assim, se B é um evento qualquer, tem-se: P(B) = k P(A i )P(B A i ), i = 1,..., k. i=1 Exemplo Numa certa empresa, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75m de altura, respectivamente, sendo que 60% dos trabalhadores são mulheres. Um trabalhador é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que tenha mais de 1,75m?

11 Probabilidade Condicional Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo. Pode-se dizer que é uma junção da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total. Sejam A 1, A 2, A 3,..., A k eventos mutuamente excludentes cuja união é o espaço amostral Ω, e que suas probabilidades sejam conhecidas. Assim, se B é um evento qualquer, tem-se o seguinte teorema: P(A i B) = P(A i )P(B A i ) k i=1 P(A, i = 1,..., k. i)p(b A i )

12 Exemplo Numa certa empresa, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75m de altura, respectivamente, sendo que 60% dos trabalhadores são mulheres. Um trabalhador é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a probabilidade de que seja homem?

13 Exercícios 1) Em um certo colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é escolhido aleatoriamente. a) se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em matemática? b) se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em química? c) qual a probabilidade de ter sido reprovado em química ou matemática?

14 Exercícios 2) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5 e de sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui 30 anos: a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) pelo menos um esteja vivo. 3) O Londrina Esporte Clube ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não chove. Em agosto a probabilidade de chuva é de 0,3. a) Qual a probablidade do LEC ganhar uma partida em agosto? b) O LEC ganhou uma partida em agosto, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia?