NOÇÕES DE PROBABILIDADE

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1 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

2 Experimento Aleatório Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de um dado; 3. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 4. Condições climáticas do próximo domingo;. Taxa de inflação do próximo mês; 6. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

3 Espaço Amostral (Ω):( conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. Ω {1,, 3, 4,, 6}. Exame de sangue (tipo sangüíneo). Ω {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar. Ω {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada. Ω {t: t 0}

4 Eventos: subconjuntos do espaço amostral Ω Notação: A, B, C... Alguns eventos: (conjunto vazio): evento impossível Ω: evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: Ω {1,, 3, 4,, 6} A: sair face par A {, 4, 6} Ω B: sair face maior que 3 B {4,, 6} Ω C: sair face 1 C {1} Ω

5 Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

6 A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B e A B Ω O complementar de A é representado por A c.

7 Exemplo: Lançamento de um dado Ω {1,, 3, 4,, 6} Eventos: A {, 4, 6}, B {4,, 6} e C {1} sair uma face par e maior que 3 A B {, 4, 6} {4,, 6} {4, 6} sair uma face par e face 1 A C {, 4, 6} {1} sair uma face par ou maior que 3 A B {, 4, 6} {4,, 6} {, 4,, 6} sair uma face par ou face 1 A C {, 4, 6} {1} {1,, 4, 6} não sair face par A C {1, 3, }

8 Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis:. Freqüências de ocorrências 3. Suposições teóricas.

9 Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das freqüências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1)... P(face 6) 1/6.

10 No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral Ω {w 1,w,... } A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P(w ) i 1 e P ( Ω ) P ({w 1, w,...}) i 1 P(w ) i 1.

11 Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então P (A) Se Ω {w, w,..., w } e 1 N w j A P (w 1 P (w ) (pontos equiprováveis), então i N j ) P (A) nº. nº. de elementos de A de elementos de Ω

12 Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 0 e 4 anos. Sexo Alfabetizado Sim Não Masc Fem Total Fonte: IBGE- Censo 1991 Total Um jovem entre 0 e 4 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.

13 Ω : conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 0 e 4 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos ir para a tabela P(M) ,474 P(F) ,6 P(S) ,843 P(N) ,17

14 Sexo Masc. Fem. Total Alfabetizado Sim Não Total

15 Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino? M S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino nº. de elementos em M LS 3977 P(M L) S) nº. de elementos em Ω Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino P(M L) S) nº. de elementos em M LS nº. de elementos em Ω , ,389

16 Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de Ω. Então, P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Conseqüências: Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) P(A) + P(B). Para qualquer evento A de Ω, P(A) 1 - P(A c ).

17 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A B) e definida por P(A B) P(A B), P(B) > P(B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P(A B) P(B) P(A B). 0. Analogamente, se P(A) >0, P(A B) P(A) P(B A).

18 Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Sexo Alfabetizada Sim Não Total Masc Fem Total temos P(S M) / ,8. Pela definição, P(S M) P(S M) P(M) ,8.

19 Exemplo: Em uma urna, há bolas: brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A)??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

20 3 B V 4 4 V B V B 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados e (A) P + Temos. 4 1 C) (A P

21 Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a bola sorteada é reposta na urna antes da a extração. Nesta situação, temos B Resultados Probabilidade B 3 V 3 V B BB BV VB V V Total V

22 Neste caso, P(A) P(branca na ª) e P(A C) P( branca na ª branca na 1ª) P(A) P(A C c ) P(branca na ª vermelha na 1ª) P(A) ou seja, o resultado na a extração independe do que ocorre na 1 a extração.

23 Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A B) P(A), P(B) > 0. Temos a seguinte forma equivalente: P(A B) P(A) P(B).

24 Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é /3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A B) P(A) x P(B) 1/3 x /3 /9 Qual foi a suposição feita?