Probabilidade Condicional

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1 Disciplina: robabilidade ondicional rof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTiSeR-r 1

2 robabilidade condicional Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. informação do que ocorreu em determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas sucessivas. Neste casos, dizemos que ganhamos informação e podemos recalcular as probabilidades de interesse. 2

3 Exemplo 1 Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano passado: urso \ Sexo Homens H Mulheres F Total urso Matemática pura M Matemática aplicada Estatística E omputação Total Sexo Dado que um estudante, escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que seja mulher? 85 mulher F 0,

4 Dado que um estudante, escolhido ao acaso, está matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher? urso \ Sexo Homens H Mulheres F Total urso Matemática pura M Matemática aplicada Estatística E omputação Total Sexo Do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Logo, 20 2 mulher Estatística F E ,6667 robabilidade condicional 4

5 robabilidade condicional Dados dois eventos quaisquer e, a probabilidade condicional de dado que ocorreu é representada por e é dada por:, 0 OS: Se = 0 usaremos = asta pensar que o espaço amostral ficou reduzido, ou restrito ao evento, o qual já ocorreu. Ω 5

6 Voltando ao exemplo... urso \ Sexo Homem H Mulher F Total urso Matemática pura M Matemática aplicada Estatística E omputação Total Sexo Sejam: Evento E: aluno está matriculado em estatística, e Evento F: aluno é mulher, então: F E F E E 20/ / F E 0, O aluno está matriculado em estatística e do sexo feminino. omo havíamos obtido!!! 6

7 Da definição de probabilidade condicional, deduzimos a regra do produto de probabilidades: Regra do produto de probabilidade Sejam e eventos de Ω. Então, 0, com 0, 7

8 Independência de eventos Definição: Dois eventos e são independentes se a informação da ocorrência ou não de não altera a ocorrência de, ou seja, Ou de forma equivalente: =, para > 0 =. Não confundir com eventos disjuntos!!!! 8

9 Independência de eventos Definição: Três eventos, e são independentes se, e somente se: =. =. =. =.. Se apenas as três primeiras equações forem satisfeitas, os eventos, e são mutuamente independentes. 9

10 Exemplo 4 Uma empresa possui duas máquinas I e II para produzir peças que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. ara cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste ela ficará sem operar nesse dia. Qual é a probabilidade da empresa conseguir cumprir com suas metas de produção? 10

11 Seja O i o evento da máquina i estar operando, i = 1, 2. elas informações disponíveis temos: O 1 = 0,95 e O 2 = 0,90 0,95 O 1 0,90 0,10 O 2 O 2 Árvore de probabilidades, representa os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações. 0,05 O 1 0,90 0,10 O 2 O 2 ada um dos caminhos da árvore representa uma possível ocorrência Então as possíveis ocorrências são: = {O 1 O 2, O 1 O 2, O 1 O 2, O 1 O 2 } 11

12 OS: ssumimos independência entre O 1 e O 2, pois acreditamos que uma eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra O 1 O 2 = O 1 Realizações disjuntas!!! Eventos robabilidade O 1 O 2 O 1 O 2 = O 1 O 2 O 2 O 1 O 2 O 1 O 2 = O 1 O 2 O 2 O 1 O 2 O 1 O 2 = O 1 O 2 O 2 O 1 O 2 O 1 O 2 = O 1 O 2 O 2 ara obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos 1 máquina operando. Isto corresponde a união dos 3 primeiros eventos: [O 1 O 2 O 1 O 2 O 1 O 2 ] = = O 1 O 2 + O 1 O 2 + O 1 O 2 = 0, , ,045 = 0,995 Existe outra maneira de resolver essa situação? 12

13 artição do espaço amostral Definição: Os eventos 1, 2,..., n formam uma partição do espaço amostral : a Se eles NÃO tem intersecção entre si; e b Se a sua união é igual ao espaço amostral. n i1 i j = para i j e i artição do espaço amostral n=5 Ω 13

14 Lei da probabilidade total Suponha que os eventos 1, 2,..., n formam uma partição do espaço amostral e todos têm probabilidade positiva i > 0, i, i=1,...,n Então, n i1 i i 14

15 Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo teorema de ayes. versão mais simples é: Teorema de ayes tualiza a probabilidade inicial multiplicando-a por: 15

16 Teorema de ayes Suponha que os eventos 1, 2,..., n formem uma partição do espaço amostral e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento, se conheçam as probabilidades j para todo j. Então, para qualquer j, j j j, n j1 j j j 1,2,..., n = Regra do produto de probabilidades Lei da probabilidade total 16

17 Exemplo 5 Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido por F1 está com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a proporção era de 5% e 2%. ontudo, na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F1? Resposta: 0,

18 Exercícios a Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F 2? b Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F 3? Resposta: a 0,2308; b 0,

19 Tarefa 1 Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas extrações de 1 bola ao acaso e sem reposição. onsidere os seguintes eventos: 1 : sair bola branca na primeira extração; 2 : sair bola branca na segunda extração; 1 : sair bola preta na primeira extração; 2 : sair bola preta na segunda extração. a onstrua o espaço amostral. Utilize a árvore de probabilidades e faça uma tabela com: i os possíveis resultados eventos em palavras; ii sua notação usado teoria de conjuntos; e iii indique as probabilidades associadas a cada um dos pontos amostrais. b alcule a probabilidade de sair branca na 1. a extração e preta na 2. a extração. c alcule a probabilidade de sair bola branca na 2. a extração. d alcule a probabilidade de sair bola preta na 2. a extração. e alcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2. a extração sabendo-se que dado que saiu bola branca na primeira extração. f alcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2. a extração sabendo-se que dado que saiu bola preta na primeira extração. g Os eventos 1 e 2 são independentes? rove para justificar sua resposta. h Os eventos 1 e 2 são independentes? rove para justificar sua resposta. 19

20 Tarefa 2 Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas extrações de 1 bola ao acaso e com reposição da 1. a bola extraída, antes da extração da 2. a bola. onsidere os seguintes eventos: 1 : sair bola branca na primeira extração; 2 : sair bola branca na segunda extração; 1 : sair bola preta na primeira extração; 2 : sair bola preta na segunda extração. a Refaça os itens da tarefa 1 para esse experimento. Os resultados foram os mesmos? b alcule as seguintes probabilidades: b ; h ; b ; h