Estatística Planejamento das Aulas

Transcrição

1 7 de outubro de 2018

2 Fatorial Para n inteiro não negativo. O fatorial de n é definido por: Convenciona-se: Para n = 0, 0! = 1 Para n = 1, 1! = 1 Exemplos: 1. 6! = = ! = = 24 n! = n (n 1) (n 2) ! = ! = ! 5. 10! = !

3 Permutação Simples Exemplo Numa sala estão disponíveis 8 cadeiras para uma reunião entre oito alunos. De quantos modos distintos os oito alunos podem se sentar

4 Permutação Simples Coleção de todos os agrupamentos formados com os n elementos de um conjunto. P n = n (n 1) (n 2) = n!

5 Arranjos Simples Distribuição de k elementos em m posições, (p < m). A ordem dos elementos gera agrupamentos diferentes, por exemplo abc cba A s (m, k) = m! (m k)! Exemplo: Quantos números distintos pode se formar com 3 algarismos?

6 Combinações Simples Distribuição de k elementos em m posições, (p < m). A ordem dos elementos não gera agrupamentos diferentes, por exemplo abc = cba m! 1 C(m, k) = (m k)! k! Exemplo: Numa competição distribui se 4 medalhas entre os 10 competidores. Quantas distribuições são possíveis?

7 Probabilidade Relaciona a medida de um eventual resultado com todos os resultados possíveis P(A) = número de casos favoráveis do evento número de evento no espaço amostral

8 Espaço amostral, Ω Conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de um moeda Ω = {Cara, Coroa} Tamanho do congestionamento em São Paulo Ω = {100km a 200km}

9 Exemplos Experimento: Lançamento de uma moeda Espaço amostral é: Ω = {Cara, Coroa} Evento: Aparecer cara A = {Cara} P(A) = número de casos favoráveis do evento A número de evento no espaço amostralω = n(a) n(ω) = 1 2

10 Exemplos Experimento: Lançamento de três moedas O espaço amostral é: (Cara, Cara, Cara), (Cara, Coroa, Cara) (Cara, Cara, Coroa), (Cara, Coroa, Coroa) Ω = (Coroa, Cara, Cara), (Coroa, Coroa, Cara) (Coroa, Cara, Coroa ), (Coroa, Coroa, Coroa) Evento: Aparecer exatamente duas caras. O conjunto de casos favoráveis será: A = {(Cara, Cara, Coroa), (Cara, Coroa, Cara), (Coroa, Cara, Cara)} P(A) = número de casos favoráveis do evento número de evento no espaço amostral = n(a) n(ω) = 3 8

11 Axiomas de Probabilidade Dado os eventos A e B no espaço amostral. O número real p indica a probabilidade de P(A) ou P(B) se e somente se: 0 p 1 P(Ω) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

12 Teoremas 1. Se φ é um evento impossível, então P(φ) = 0 2. Para dois eventos complementares, A e A então P(A) + P(A) = 1 3. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

13 Probabilidade Condicional Em alguns experimentos, dois eventos podem se relacionar de modo que a probabilidade de ocorrência de um afeta a ocorrência do outro Dado dois eventos A e B associados ao espaço amostral Ω com P(A) 0 e P(B) 0. A probabilidade de ocorrência do evento B, condicionada ao evento A, ou seja a probabilidade de ocorrer B dado que A ocorreu é indicada por: P(A B) = P(A B) P(B) probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu P(B A) P(B A) = P(A)

14 Teorema do Produto E possível determinar a probabilidade da ocorrencia de dois eventos simultaneos ou de um seguido por outro. Basicamente é uma interpretação da probabilidade condicionada. Dados os dois eventos A e B associados a Ω, a probabilidade de ocorrência simultanea de A e B P(A B) é dada por: P(A B) = P(A) P(A B) P(B A) = P(B) P(B A)

15 Exemplos Considere uma urna com 3 bolas verdes e 2 amarelas. Retirada uma ao acaso e em seguida uma segunda bola, sem reposição da primeira, é possível determinar a probabilidade de retirar uma bola amarela e em seguida uma verde? A urna tem 5 bolas, assim a probabilidade da primeira ser amarela é: P(Am) = casos favoráveis casos possíveis Depois retirada da bola amarela na primeira extração, sobram 4 bolas. Assim a probabilidade de retirar uma bola verde será: 2 5 P(Vd) = casos favoráveis casos possíveis 3 4 P(Vd Az) = P(Am) P(Vd Am) = = 3 10

16 Exemplos Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retiradas 2 peças do lote, sem reposição. Qual a probabilidade das duas serem boas? Na primeira extração, a probabilidade uma peça ser boa é: P(Boa1) = casos favoráveis casos possíveis 8 12 P(Boa2) = casos favoráveis casos possíveis P(Boa 2 Boa 1) = P(Boa 1) P(Boa 2 Boa 1) = =

17 Independência Estatística Dois eventos são estatisticamente independentes quando a ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro Indução P(A B) = P(A) P(A B) = P(B) P(B A) P(A B) = P(A) P(B) = P(B) P(A) P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B) P(B) = P(A)