PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/ Produção de Recursos Educacionais Digitais

2 Revisando - Análise combinatória Se um evento pode ocorrer de qualquer um de n 1 modos e se, quando ele ocorre, um outro evento pode realizar-se de qualquer um de n 2 modos, então o número de maneiras segundo as quais ambos os evento podem ocorrer numa dada ordem será n 1 n 2. Exemplo. Se há 2 candidatos a governador e 6 a prefeito, de quantos modos podem ser preenchidos os dois cargos? 2 X 6 = 12 modos

3 Revisando Fatorial de n O fatorial de n, é representado por n!, sendo definido como: n! = n n 1 n 2 1. Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Lembrando que 0! = 1

4 Revisando Permutações Uma permutação de n objetos diferentes, tomados r de cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se em consideração a ordem de sua disposição. Sendo representado por:. n P r ; P n, r ou P n,r e é dado por:. n P r = n! n r!

5 Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras 10 pessoas poderão sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares? R = 10 x 9 x 8 x 7 = O primeiro lugar pode ser preenchido de 10 maneiras, o segundo de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras.

6 Revisando Combinações Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se levando em consideração a ordem de sua disposição. Sendo representado por:. n C r ; C n, r ; C n,r ou n r e é dado por: n r =. n P r r!

7 Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras uma comissão de 5 pessoas pode ser escolhida entre 9? R = n r = 9! 5! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 126

8 Revisando Conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos, usualmente representados por letras maiúsculas. Podendo ser por união ou intersecção. União Exemplo: Definindo C como união de A e B, (denominado algumas vezes a soma de A e B), então: C = A B Desse modo, C será formado de todos os elementos que estejam em A, ou em B, ou em ambos.

9 Intersecção Revisando Conjuntos Exemplo: Definindo D como a intersecção de A e B, (denominada algumas vezes como o produto dea e B), então: D = A B Desse modo D, será formado por todos os elementos que estão em A e em B.

10 Probabilidade Definição clássica: Se um experimento aleatório tem n resultados igualmente prováveis, e n A desses resultados pertencem a certo evento A, então a probabilidade de ocorrência do evento A é definida como: P A = n A n

11 Probabilidade Definição experimental: Seja um experimento aleatório com espaço amostral Ω e um evento A de interesse, onde esse experimento é repetido n vezes e o evento A ocorreu n(a) vezes. Então a frequência relativa do evento A é dada por: f A = n(a) n

12 Exemplo 1. (SPIEGEL) Se em lances de uma moeda resultam 529 caras, a frequência relativa das caras é de 529/1.000 = 0,529. Se em outros lances resultam 493 caras, a frequência relativa no total dos lances é de ( )/2.000 = 0,511. De acordo com a definição estatística poder-se-á chegar cada vez mais próximos de um número que será denominado probabilidade de ocorrer uma cara no único lance de uma moeda, de acordo com os resultados apresentados até agora ele será de 0,5.

13 Espaço Amostral Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento. Sendo representado por S ou Ω. Ao se estudar um número de resultados em um espaço amostral, surgem 2 possibilidades: O espaço amostral será discreto quando este for finito ou infinito numerável. O espaço amostral será contínuo quando este for infinito não numerável.

14 Espaço Amostral Finito Condições: (a) p i 0, i = 1, 2,, k (b) p 1 + p p k = 1

15 Espaço Amostral Finito Exemplo 2. (MEYER) Suponha que somente três resultados sejam possíveis em um experimento, a saber, a 1, a 2, a 3. Além disso, suponha que a 1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que a 2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que a 3. Então: p 1 = 2p 2 e p 2 = 2p 3. p 1 + p 2 + p 3 = 1 4p 3 + 2p 3 + p 3 = 1 p 3 = 1 7 ; p 2 = 2 7 e p 1 = 4 7

16 Espaço Amostral Infinito Numerável Exemplo 3. Uma moeda ser lançada sucessivas vezes até que ocorra uma cara (K). Ω = { K, CK, CCK, CCCK, CCCCK,...,}

17 Espaço Amostral Infinito Não Numerável Exemplo 4. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada, observar o seu tempo de vida. Ω = t R t 0

18 Eventos Definição: Um evento é um subconjunto de um espaço amostral. Quando o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento. Quando o espaço amostral for infinito não enumerável, nem todo subconjunto poderá ser considerado um evento.

19 Operações entre eventos

20 Evento mutuamente excludentes Definição: Dois eventos são denominados excludentes se eles não puderem ocorrer juntos. Logo evento A e B serão mutuamente excludentes em: A B =

21 Exemplo 5. (MEYER) Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. Admitindo que o espaço amostral seja { t t 0}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira: A = {t t < 100}; B = { t 50 t 200}; C = { t t > 150}.

22 Portanto: A B = {t t 200}; A B = {t 50 t < 100}; B C = {t t 50}; B C = { t 150 < t 200}; A C = ; A C = { t t < 100 ou t > 150}; Ᾱ = { t t 100}; C = { t t 150}.

23 Exemplo 6. Se E1 é o evento extração de um às de um baralho e E2 é o da extração de um rei, logo: P(E 1 ) = 4 52 = 1 13 e P E 2 = 4 52 = 1 13, então, a probabilidade de se extrair ou um às, ou um rei, em um lance único é: P(E 1 + E 2 ) = P E 1 + P E 2 = = 2 13

24 Propriedades (1) 0 P(A) 1. (2) P (Ω) = 1. (3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(A B) = P(A) + P(B).

25 Teoremas Teorema 1. Se for o conjunto vazio, então P( ) = 0 Demonstração: para qualquer evento (A), podemos escrever A = A, uma vez que ambas são mutuamente excludentes, e decorre da propriedade 3, que: P A = P A = P A + P( )

26 Teoremas Teorema 2. Se Ᾱ for o evento complementar de A, então: P A = 1 P(Ᾱ) Demonstração: pode-se escrever Ω = A Ᾱ e, empregando as propriedades 2 e 3, tem-se: 1 = P A + P(Ᾱ)

27 Teoremas Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então: P A B = P A + P B P A B. Demonstração: esse teorema consiste em decompor A B e B em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, a aplicação da Propriedade 3, logo: A B = A B Ᾱ, B = A B B Ᾱ

28 Resulta em: P A B = P A + P B Ᾱ, P(B) = P(A B + P B Ᾱ Subtraindo a segunda igualdade da primeira, têm-se: P A B P B = P A P(A B)

29 Teoremas Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então: P A B C = P A + P B + P C P A B P A C P B C + P(A B C) Demonstração: esse teorema consiste em escrever A B C na forma (A B) C e aplicar o resultado do teorema 3.

30 Teoremas Teorema 5. Se A B, então P(A) P(B) Demonstração: pode-se decompor B em dois eventos mutuamente excludentes, da seguinte forma: B = A B Ᾱ Portanto, Pois, P B = P A + P B Ᾱ P(A) P B Ᾱ 0 pela propriedade 1.

31 Probabilidade condicional Consiste em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento (A) condicionada à ocorrência prévia de um evento (B). Essa probabilidade é representada por P(A B), ou seja, probabilidade de A dado B. Sendo assim, seja A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0, a probabilidade condicional pode ser definida por: P A B = P(A B) P(B)

32 Probabilidade condicional Exemplo 7. (BARBETTA, pg 103) Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das faces voltadas para cima. Calcule: a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5. b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais.

33 Ω = (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) E1 = faces iguais 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, (6,6) E2 = soma das faces é menor ou iguail a 5 = 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 2,1, 2,2, 2,3, 3,1, 3,2, (4,1)

34 Portanto, E1 E2 = { 1,1, 2,2 }, esquematicamente:

35 a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5. P E 1 E 2 = P E 1 E 2 P(E 2 ) = = 2 10 = 0, 2

36 b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais. P E 2 E 1 = P E 2 E 1 P(E 1 ) = = 2 6 = 0, %

37 Regra do produto A regra do produto é uma consequência da probabilidade condicional, obtida ao isolar a probabilidade da intersecção. P A B = P(A B) P(B) P(A B) = P B. P(A B) ou P B A = P(B A) P(A) P(A B) = P A. P(B A)

38 Exemplo 8. (BARBETTA, pg 105) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retira-se ao acaso, 2 cartões um após o outro, sem reposição. Qual a probabilidade que ambos sejam amarelos? R= Chamando de A i o evento que representa cartão amarelo na i -ésima extração, e V i, o evento que representa cartão vermelho na i -ésima extração (i = 1, 2), logo: Ω = A 1, A 2, A 1, V 2, V 1, A 2, (V 1, V 2 )

39 Como a probabilidade de interesse é P (A 1, A 2 ), aplicando a regra do produto, têm-se: P A 1 = 4 12 = 1 3 existe 4 cartões amarelos dentre os 12 cartões, e P A 2 A 1 = 3 11 supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na 1ª extração, restando 3 amarelos dentre 11 cartões, logo: P A 1 A 2 = P A 1 P A 2 A 1 = = 1 11

40 Eventos Independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade de ocorrência dos outros eventos. Portanto P A B = P A e P B A = P B logo evento independente pode ser definido como: A e B são independentes P A B = P A P(B)

41 Exemplo 9. (SPIEGEL), Sejam E 1 e E 2 os eventos cara na quinta jogada e cara na sexta jogada de uma moeda, respectivamente. Então E 1 e E 2 são eventos independentes, de modo que a probabilidade de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e sexta, é admitindo-se que a moeda é honesta, logo: P = E 1 E 2 = P E 1. P E 2 = = 1 4

42 Exemplo 10. (MEYER), Admita-se que dentre 6 parafusos, dois sejam menores do que um comprimento especificado. Se dois dos parafusos forem escolhidos ao acaso, qual será a probabilidade de que os dois parafusos mais curtos sejam extraídos? Seja A i o evento (o i-ésimo parafuso escolhido é curto), i = 1, 2. P A 1 A 2 = P A 2 A 1 P A 1 = = 1 15

43 Teorema da Probabilidade Total Seja E 1, E 2, E 3,, E n eventos que constituem uma partição do espaço amostral Ω, então: a) E 1 E j = para todo i j b) P(E i ) > 0, para i = 1, 2, 3, k c) E 1 E 2 E k = Ω

44 Teorema da Probabilidade Total Pela regra do produto têm-se a equação do teorema da probabilidade total. P F = k i=1 P E i P(F E i )

45 Exemplo 11. As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%, respectivamente, da produção de uma empresa. A máquina A produz 2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças defeituosas. Calcule o percentual de peças defeituosas na produção desta empresa. Solução: P(A) = 70%; P(B) 30%; P(D A) = 2%; P(D B) = 8% P D = P D A. P A + P D B. P B Teorema da Probabilidade Total P D = 0,02.0,70 + 0,08.0,030 = 0, 038 3, 8%

46 Exemplo 12. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho. A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de uma pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade de o aluno fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a questão. Solução P(Sucesso sem pesquisa) = 40%; P(Fracasso sem pesquisa) = 60%; P(Sucesso com pesquisa) = 70%; P(Fracasso com pesquisa) = 30%; P(com pesquisa) = 80%; P(sem pesquisa) = 20%

47 P sucesso = P sucesso sem pesquisa + P sucesso com pesquisa = P(sucesso sem pesquisa). P(sem pesquisa) + P(sucesso sem pesquisa). P(sem pesquisa) Teorema da Probabilidade Total P D = 0,40 0,20 + 0,70 0,08 = 0,08 + 0,56 = 0, 64 64%

48 Teorema de Bayes Considere eventos E 1 mutuamente excludentes e um evento F qualquer cuja união representa o espaço amostral Ω, isto é, um dos eventos necessariamente deve ocorrer. Ou seja, o Teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um dos eventos E i ocorra, sabendo-se que o evento F ocorreu. Portanto, P(E i F) = P E i P(F E i ) P(F)

49 Teorema de Bayes Exemplo 13. As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? Solução A: peça produzida por A B: peça produzido por B d: peça defeituosa P(d A) = 3% = 0,03 P(d B) = 7% = 0,07 P(A) = 60% = 0,60 P(B) = 40% = 0,40

50 O exercício pede a probabilidade P(B d). Pelo Teorema de Bayes, P(B d) = P d B. P(B) P d A P A + P d B P(B) P B d = 0,07 0,4P B 0,03 0,6 + 0,07 0,4 = 0, , 87%

51 Teorema de Bayes Exemplo 14. (MEYER), Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas (1, 2, 3). Sabe-se que a peça 1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1?

52 Pelo Teorema de Bayes P(B i A) = P A B i P(B i ) k P A B j P(B j ) i=1 i = 1, 2,, k P B i A = 0,02 0, , , = 0,40 40%

53 Referências SPIEGEL, M. R. Estatística.3ª Edição. São Paulo -SP, BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro RJ, Bertolo, L.A. Probabilidades, Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes. IMES- Catanduva. Disponível em: < o.pdf>. Acesso em Outubro de 2013.