Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Probabilidade Análise Combinatória Independência de eventos Aula de hoje Independência de eventos Prob. Condicional Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Variáveis Aleatórias

2 Probabilidade Condicional Relacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos S Evento A Evento B Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu? Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A? Espaço amostral passa a ser o evento B

3 Probabilidade Condicional Definição: Probabilidade de A dado B P [ A B ]= P [ A B] P[ B]

4 Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S A e B são independentes se P [ A B ]=P [ A]P [B ] Note que se A e B são independentes, então P [ A B ]= P [ A B ] P[ B] = P [ A]P [B ] P [B ] =P [ A] 2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro

5 Exemplo: Dado e moeda Evento A: resultado do dado é ímpar Evento B: resultado da moeda é cara Eventos A e B são independentes? S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} A B P [ A B ] = {(1,Ca), (3,Ca), (5,Ca) } = 3/12 = 1/4 P[A] = 1/2, P[B] = 1/2 6 resultados em 12 P [ A B]=P [ A] P[ B]=1/4 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=1/2 3 resultados em 6 A e B são independentes!

6 Exemplo: Dois dados Evento A : os dois dados são pares Evento B : soma dos dados é menor que 7 A e B são independentes? A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), (6,6)} B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)} P [ A B ] A B = 3/36 = 1/12 = {(2,2), (2,4), (4,2) } P[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12 P [ A B ] P [ A]P [B ] A e B não são independentes!

7 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Experimento Aletório: Jogar um dado e uma moeda S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} Evento A: resultado da moeda é cara P(A) = 1/2 Evento B: resultado da moeda é coroa P(B) = 1/2 Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos? A B= A e B são mutuamente exclusivos!

8 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Evento A: resultado do dado é maior do que 2 Evento B: resultado da moeda é cara S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} A B = { (3,Ca), (4,Ca), (5,Ca), (6,Ca)} 8 resultados em 12 P [ A B] = 4/12 = 1/3 P[A] = 8/12 = 2/3, P[B] = 1/2 P [ A B]=1/3=P [ A]P [ B]=2 /6 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=2 /3 A e B são independentes! 2 resultados em 3

9 Condicionamento Relacionar eventos para calcular probabilidade Sejam A e B dois eventos, temos que P [ A]=P [ A B A B ] = P [ A B] P [ A B] definição de conjuntos mutuamente exclusivos = P [ A B ]P [ B] P[ A B] P [B ] Definição de probabilidade condicional

10 Teorema da Probabilidade Total Generalização do conceito Seja B i (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral mutuamente exclusivos, união é igual ao espaço amostral B 1 B 2 BA 3... B n-1 B n Considere o evento A probabilidade de A ocorrer (em função de B i )? i= n P [ A]= i =1 P[ A B i ] P [B i ] Teorema da Probabilidade Total

11 Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso Uso do teorema da probabilidade total P [B i / A]= P [ A/B i] P[ B i ] i=n i=1 P [ A B i ] P[ B i ]

12 Exemplo Técnica (imperfeita) para acusar defeitos em processadores 95% verdadeiro positivo 2% falso positivo 1% dos processadores possuem defeitos Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo? Eventos D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo teste acusa defeito quando processador está defeituoso teste acusa defeito quando processador está ok

13 Exemplo (continuação) D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo Pergunta: P[D T]? P [D ]=0.01 P [T D]=0.95 P [T D]=0.02 P [D T ]= P[ D T ] P [T ] = P[T D] P[ D] P [T ] P [T ]=P [T D] P [D] P [T D] P [D]

14 Variáveis Aleatórias Necessidade de expressar eventos de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear eventos em números reais! A B C D E reais

15 Exemplo: 1 dado Considere um dado Ganha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou

16 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S X : S R v.a. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um para um)

17 Exemplo: 2 dados Considere dois dados (vermelho e preto) Espaço amostral: S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados X i, j =i j Inversa de X eventos que levam a um certo valor de X X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

18 Função probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? {s X s =x } Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x p X x =P [ X =x]=p [{s X s =x }]= X s =x P [s] notação de pmf (probability mass function)

19 Propriedades da função probabilidade de massa onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir

20 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X p X x =P [ X =x] Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? p 2 =P [ X =2] X p 3 =P [ X =3] X p 4 =P [ X =4] x... = 1/36 = 2/36 = 3/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,2), (2,1)} X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

21 pmf, graficamente Exemplo: 2 dados P [X = x] x (valor que X pode assumir)