Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional

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1 Introdução Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode ser afetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência ou não de um outro evento. Exemplo 1: Considere o seguinte fenômeno aleatório: UAEst/CCT/UFCG E : Lançar um dado honesto e observar o número da face superior. Considere, agora, os dois eventos a seguir: A :{ sair o número 5}. B : {sair um número ímpar}. 1 / 19 2 / 19 Introdução Introdução Suponha, agora, que soubéssemos da ocorrência de B e que quiséssemos calcular a probabilidade de A, ou seja, queremos a P(A B). Assim, P(A B) = De maneira análoga, suponha que soubéssemos da ocorrência de A e que quiséssemos calcular a probabilidade de B. Vamos denotar essa probabilidade como P(B A). Exemplo 2: Seja um lote de comporto por 20 peças defeituosas e 80 peças boas. Suponha-se que escolhemos duas peças desse lote (a) com reposição; (b) sem reposição. Sejam os eventos A :{ a primeira peça é defeituosa} B : {a segunda peça é defeituosa} Qual a probabilidade de B em ambos os casos? Daí, P(B A) = 3 / 19 4 / 19

2 Probabilidade Condicional Note que, no cálculo das probabilidades condicionais, o espaço amostral foi reduzido ao evento B e A, respectivamente. Formalmente, definimos probabilidade condicional da seguinte maneira: P(A B) = Ou, equivalentemente, P(B A) = P (A B), desde que P(B) > 0. P(B) P (A B), desde que P(A) > 0. P(A) P(. A) é, de fato, uma probabilidade Probabilidades condicionais satisfazem todas as propriedades das probabilidades comuns, ou seja se A e B são eventos quaisquer do espaço amostral S, tal que P(A) > 0, então: 0 P(B A) 1; P(S A) = 1; Se B i, i = 1, 2,..., n são eventos mutuamente exclusivos, então ( n ) n P B i A = P(B i A). i=1 i=1 5 / 19 6 / 19 Observações Exemplo 3 Note que, em geral, teremos duas maneiras de calcular a probabilidade condicional P(A B). Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relação ao espaço amostral reduzido B; Utilizando a definição anterior, em que P(A B) e P(B) são calculadas em relação ao espaço amostral original S. Considere o seguinte experimento aleatório: E : Dois dados honestos são lançados, registrando-se o resultado como (x 1, x 2 ), onde x i é o resultado do i-ésimo dado, i = 1, 2. Considere, agora, os dois eventos a seguir: A = {(x 1, x 2 ); x 1 + x 2 = 10}, B = {(x 1, x 2 ); x 1 > x 2 }. (a) Descreva os eventos A, B e A B. Em seguida calcule a probabilidade de ocorrência de cada um destes eventos. (b) Calcule P(A B). (c) Calcule P(B A). 7 / 19 8 / 19

3 Exemplo 4 Teorema da Multiplicação Da definição de probabilidade condicional, podemos dizer que Uma moeda é jogada duas vezes. Supondo que todos os quatro pontos no espaço amostral S = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} sejam igualmente prováveis, onde C representa cara e K representa coroa, qual é a probabilidade condicional de que ocorra cara em ambas as jogadas, dado que (a) saiu cara na primeira jogada? (b) saiu cara em pelo menos uma das jogadas? ou equivalentemente, P (A B) = P(B)P(A B), P (A B) = P(A)P(B A). Este resultado é muitas vezes mencionado como o Teorema da Multiplicação de Probabilidades. O Teorema da Multiplicação de Probabilidades pode ser generalizado para mais de dois eventos da seguinte maneira: P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1 A 2 A n 1 ) 9 / / 19 Exemplos Eventos Independentes (5) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V ). Suponha que são sorteadas três bolas ao acaso, sem reposição. Construa o espaço amostral associado a esse experimento, e a probabilidade de cada ponto amostral. (6) De um baralho comum de 52 cartas retiram-se 4 cartas. Calcule a probabilidade de que estas 4 cartas sejam exatamente 4 ases. Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P(A B) = P(A) ou P(B A) = P(B). Equivalentemente, dizemos que dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P(A B) = P(A)P(B). 11 / / 19

4 Eventos Independentes Vejamos agora o conceito de independência para três eventos. Dizemos que os eventos A, B e C são mutuamente independentes se, e somente se, P(A B) = P(A)P(B), P(A C) = P(A)P(C), P(B C) = P(B)P(C), P(A B C) = P(A)P(B)P(C). OBS.: Se apenas as três primeiras relações acima estiverem satisfeitas, dizemos que os eventos são dois a dois independentes. É possível que três eventos sejam dois a dois independentes mas não sejam mutuamente independentes. A definição pode ser estendida facilmente para um número finito qualquer de eventos. 13 / 19 A teoria da confiabilidade estuda sistemas e seus componentes, como por exemplo sistemas mecânicos e eletrônicos (um automóvel ou um computador) e sistemas biológicos, como o corpo humano. O objetivo da teoria é estudar as relações entre o funcionamento dos componentes e do sistema. A figura abaixo ilustra um sistema composto por dois componentes em série. Neste caso, o sistema funcionará se os componentes 1 e 2 funcionarem simultaneamente. Se um dos componentes falhar o sistema também falhará. 14 / 19 Supondo que os componentes funcionem independentemente, e se p i for a probabilidade de o componente i (i = 1, 2) funcionar, então a probabilidade de o sistema funcionar será P(F ) = P(A 1 A 2 ) = p 1 p 2, onde indicamos por F o evento o sistema funciona e por A i o evento o componente i funciona, i = 1, 2. A probabilidade p i é a chamada confiabilidade do componente i. A probabilidade P(F ) é chamada confiabilidade do sistema. Se os componentes 1 e 2 estiverem em paralelo, então o sistema funcionará se pelo menos um dos componentes funcionar. Ou seja, P(F ) = P(A 1 A 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p / / 19

5 Exemplo 6 Bibliografia A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito abaixo, é dada por p. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R? Probabilidade, Aplicações à Estatística (2 a edição). Paul L. Meyer (1995). LTC. Estatística Básica (7 a edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011). Editora Saraiva. 17 / / 19 Hora da chamada... Augusto Cury Os problemas nunca vão desaparecer, mesmo na mais bela existência. Problemas existem para serem resolvidos e não para perturbar-nos. 19 / 19