Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS

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Domingos Amado Godoi
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1 Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente impede a ocorrência do outro evento (ou eventos). Por exemplo, suponhamos que consideramos os dois eventos ás e rei com relação a uma carta retirada de um baralho. Estes dois eventos são mutuamente exclusivos porque qualquer carta não pode ser ao mesmo tempo um ás e um rei. Dois eventos são não exclusivos, ou conjuntos, quando é possível que ambos ocorram simultaneamente. Note que esta definição não indica que tais eventos devam necessariamente sempre ocorrer juntos. Por exemplo, suponhamos os dois possíveis eventos ás e espadas. Estes eventos não são mutuamente exclusivos, porque uma dada carta pode ser ambos, um ás e uma espada; contudo, isto não implica que cada ás seja uma espada ou que cada espada seja um ás. Um grupo de estudantes foi classificado de acordo com as variáveis curso que freqüentam (Contabilidade ou Economia) e sexo (masculino ou feminino). Qualquer que seja o número de estudantes, todos eles são classificados em uma das categorias da variável sexo, portanto, são eventos mutuamente exclusivos. O mesmo ocorre para o curso que freqüentam. Mas, os eventos masculino e curso de contabilidade são mutuamente exclusivos. Dessa forma: Curso Sexo Masculino Feminino Total Administração Economia Total Do total de 90 estudantes, 20 deles são masculinos e cursam administração AS REGRAS DE ADIÇÃO As regras de adição são utilizadas quando desejamos determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou outro (ou ambos) em uma só observação. Simbolicamente, podemos, representar a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B por p (Aou B). Na linguagem da teoria dos conjuntos, isto é conhecido como união de A e B, e a probabilidade é designada por p (A U B). A regra de adição para eventos mutuamente exclusivos é: P(A ou B)= P(A U B)= p(a)+p(b)

Por exemplo, suponhamos que consideramos os dois eventos ás e rei com relação a uma carta retirada de um baralho.

2 Ao retirar uma carta de baralho, os eventos ás (A) e rei (K) são mutuamente exclusivos. A probabilidade de tirar um ás ou um rei numa única tentativa é: p(a ou K)= p(a)+p(k)= + = = A figura 1(a) Diagrama de Venn, ilustra o raciocínio implícito a essa regra de adição para eventos mutuamente exclusivos; Fig. 1 A B A regra da adição para eventos não mutuamente exclusivos é: (a) P(A ou B)= p(a)+p(b)-p(a e B), onde p(a e B) é a intersecção de A e B, cuja probabilidade é indicada por p(a I B). Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos ás não são mutuamente exclusivos. A probabilidade de retirar um ás (A) ou uma espada (E) (ou ambos) em uma só tentativa é: p(aou E)= p(a)+p(e)-p(a e E)= + - = = A figura 1(b), ilustra o raciocínio implícito a essa região de adição para eventos não mutuamente exclusivos: Fig.1 A A e B B Note- se que existe uma superposição dos dois conjuntos de eventos; tal área de superposição é contada em dobro, de modo que precisa ser subtraída, para obtenção do resultado correto. (b)

3 EVENTOS INDEPENDENTES, EVENTOS DEPENDENTES E PROBABILIDADE CONDICIONAL Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. Os resultados associados com dois lançamentos sucessivos ou não-ocorridos de uma moeda não viciada são considerados como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades respectivas de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento. A retirada de duas cartas sem reposição de um baralho são eventos dependentes, porque as probabilidades associadas coma segunda tirada são dependentes do resultado da primeira tirada. Especificamente, se na primeira tirada ocorreu um ás, então a probabilidade de ocorrer um ás na segunda tirada é a razão do número de ases ainda no baralho sobre o número total de cartas remanescentes, ou 3/51. Os eventos independentes e dependentes são chamados de Com e Sem reposição, respectivamente. Com Reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem; é isto que mantêm a probabilidade de sorteio constante, portanto não altera a probabilidade de sorteio do evento seguinte. Sem Reposição (condicional) significa o não retorno do evento sorteado ou seu conjunto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte. É freqüente a confusão quanto á distinção entre eventos mutuamente exclusivos e não-exclusivos, de um lado, e, de outro, os conceitos de dependência e independência. A exclusão mútua significa que dois eventos não podem ocorrer conjuntamente, enquanto independência indica que a probabilidade de ocorrência de um evento não é afetada pala ocorrência de outro. Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade é empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão p(b/a) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido o evento A. Note que B/A não é uma fração. AS REGRAS DE MULTIPLICAÇÃO As regras de multiplicação relacionam-se com a determinação da probabilidade da ocorrência conjunta de A e B. Como mencionado anteriormente, isto é a intersecção de A e B, sendo a probabilidade designada por p (A B). Existem duas variações da regra de multiplicação, conforme os eventos sejam independentes ou dependentes. A regra de multiplicação para eventos independentes é:

Os resultados associados com dois lançamentos sucessivos ou não-ocorridos de uma moeda não viciada são considerados como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem

4 P(a e B)= p (A B)= p(a).p(b) Pela fórmula, se uma moeda não viciada é lançada duas vezes, a probabilidade de que ambos os resultados seja cara é (1/2).(1/2)=(1/4). O diagrama de árvore é particularmente útil como um método para descrever os possíveis eventos associados com observações ou tentativas seqüenciais. A figura 2 é um exemplo de um desses diagramas para eventos associados com dois lançamentos possíveis de uma moeda e indica os resultados possíveis a as probabilidades em cada ponto da sequência. Com referência á figura 2, vemos que existem 4 tipos de seqüências, ou eventos conjuntos, possíveis: C e C, E e O, O e C e, O e O. Pela regra de multiplicação para eventos independentes, a probabilidade de ocorrência conjunta par qualquer uma destas seqüências é, neste caso, igual a ¼ ou. Uma vez que estas são as únicas seqüências mutuamente exclusivas, pela regra da adição a soma das quatro probabilidades deveria ser 1, como de fato é: primeiro lançamento segundo lançamento Evento Conjunto Probabilidade do evento conjunto C e C C e O O e C Fig.2 O e O /1,00 Para eventos dependentes, a probabilidade da ocorrência conjunta de A e B é a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade condicional de B dado A. O mesmo valor será obtido se os dois eventos estiverem em posições inversas. Portanto, a regra de multiplicação para eventos dependentes é: p (A e B) = p(a) p(b/a) ou p(a e B) = p(b) p(a/b)

A figura 2 é um exemplo de um desses diagramas para eventos associados com dois lançamentos possíveis de uma moeda e indica os resultados possíveis a as probabilidades em cada ponto da sequência.

5 Suponha que um conjunto de 10 peças contenha oito em boas condições (B) e duas defeituosas (D). O diagrama de árvore da figura 3 representa as seqüências de possíveis resultados e as probabilidades, associadas ao experimento, de serem retiradas duas peças aleatoriamente e sem reposição( os subscritos representam a posição seqüencial dos resultados). Segundo a regra para a multiplicação de eventos dependentes, a probabilidade de que as duas peças selecionadas sejam boas é: P(B₁ e B₂) = p(b₁) p(b₂/b₁) = x = = primeiro lançamento segundo lançamento Evento Conjunto Probabilidade do evento conjunto B₁ e B₂ 56/90 B₁ e B₂ 16/90 D₁ e B₂ 16/90 Fig. 3 D₁ e D₂

aleatoriamente e sem reposição( os subscritos representam a posição seqüencial dos resultados).

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